Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
роботи
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Інститут післядипломної освіти
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2014
Тип роботи:
Звіт про виконання лабораторної роботи
Предмет:
Чисельні методи
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Національний університет “Львівська політехніка”
Інститут післядипломної освіти
ЗВІТ
Про виконання лабораторної роботи №1
«Чисельні методи розв’язування нелінійних рівнянь»
з дисципліни «Чисельні методи»
Тема роботи: Чисельні методи розв’язування нелінійних рівнянь.
Мета роботи: Ознайомлення на практиці з методами відокремлення дійсних ізольованих коренів нелінійних рівнянь та ітераційними методами їх уточнення.
1. Теоретичні відомості
Методи відокремлення коренів.
Графічний метод.
Корінь рівняння , вважається відокремленим на відрізку , якщо на цьому відрізку дане рівняння не має інших коренів.
Відокремлення коренів – це розбиття області допустимих значень D(X) на відрізки, у кожному з яких міститься лише один корінь. Відокремлення коренів можна здійснити двома способами – графічним та аналітичним.
Для графічного способу: будують графік функції для рівняння виду або представляють рівняння у вигляді та будують графіки функцій та . Значення дійсних коренів рівняння є абсцисами точок перетину графіка функції з віссю Ох або абсцисами точок перетину графіків функцій та . Відрізки, що містять лише один корінь, легко знаходяться наближено.
Чисельні методи уточнення коренів.
Метод поділу відрізка навпіл.
Постановка задачі. Нехай маємо рівняння , де – неперервна монотонна нелінійна функція, яка має на відрізку єдиний корінь , тобто добуток , причому , де – задана похибка обчислень. Потрібно знайти значення кореня з заданою похибкою .
Нехай і відомо, що рівняння (1) має єдиний корінь . Покладемо a0=a, b0=b, x0=(a0+b0)/2. Якщо , то . Якщо , то покладемо
(3)
(4)
(5)
і обчислимо . Якщо , то ітераційний процес зупинимо і будемо вважати, що . Якщо , то повторюємо розрахунки за формулами (3)-(5).
З формул (3), (4) видно, що і . Тому , а отже шуканий корінь знаходиться на проміжку . При цьому має місце оцінка збіжності
. (6)
Звідси випливає, що кількість ітерацій. які необхідно провести для знаходження наближеного кореня рівняння (1) з заданою точністю ( задовольняє співвідношенню
. (7)
де [c] ( ціла частина числа c.
Серед переваг даного методу слід відзначити простоту реалізації та надійність. Послідовність {xn} збігається до кореня для довільних неперервних функцій f(x). Недоліком є невелика швидкість збіжності методу.
Метод хорд
Метод хорд є одним з найбільш поширених методів розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь. В літературі він також зустрічається під назвою "метод лінійного інтерполювання" і "метод пропорційних частин".
Постановка задачі. Нехай маємо рівняння , де – неперервна нелінійна функція, яка на відрізку монотонна, диференційована та має єдиний корінь , тобто . Потрібно знайти значення кореня з заданою похибкою .
Суть методу хорд полягає в тому, що на достатньо малому відрізку дуга функції замінюється хордою ab, яка її стягує. За наближене значення кореня приймається точка перетину хорди з віссю Ох.
Рівняння хорди, яка проходить через точки a і b має вигляд:
. (8)
Знайдемо значення , для якого y=0, тобто для нерухомого кінця:
. (9)
Тепер корінь знаходиться всередині відрізка . Значення кореня можна уточнити за допомогою методу хорд на відрізку , тоді нове наближене значення кореня знаходиться за формулою
. (10)
Аналогічно для будь-якого (i+1)-го наближення до точного значення кореня заданого рівняння використовується формула:
. (11)
Процес стягування хордою продовжується доти, поки не отримано наближений корінь із заданою точністю: . (12)
де – наближені значення коренів рівняння , відповідно на (і+1) та і-му ітераційному кроці; – задана точність обчислення.
Варто відзначити, що розглянутий випадок (рис.6, а) перетину функції відрізку не є єдиним. Наприклад, на рис.6 (а,б) рухомий кінець відрізку а, а на рис. 6 (в,г) рухомий кінець – b і відповідно формула (10) для нього має вигляд:
. (13)
2. Хід роботи
Завдання (варіант 5). Написати програму розв’язку нелінійного рівняння відповідно до варіанту методами бісецій, та хорд.
Вимоги до звіту
Звіт до лабораторної роботи повинен містити такі структурні елементи: титульний аркуш, тема, мета, короткі теоретичні відомості, відокремлення коренів рівняння (здійснити вручну геометричним або аналітичним способом), текст програми з коментарями, вигляд реалізованої програми, висновки.
Вимоги до програми
Програма має передбачати наступні можливості:
Автоматичний розв’язок нелінійного рівняння з точністю на проміжку , знайденому після відокремлення коренів.
Ввід вхідних даних вручну: задати точність , проміжок . Передбачити вивід повідомлення, якщо вказаний проміжок не містить розв’язку.
Передбачити можливість некоректного введення даних.
Передбачити вивід покрокового виконання для кожного методу.
Відокремлення коренів рівняння (геометричним способом)
Побудуємо графік рівняння скориставшись веб-ресурсом: http://yotx.ru/ (рис. 2.1):
/
Рис. 2.1. Графік функції
Як бачимо приблизний розв’язок рівняння є ~0.8. Щоб знайти точніше, скористаємося програмою розв’язку нелінійного рівняння методами бісецій та хорд.
3. Текст програми на мові програмування JAVA
package _chm_lab1;
import java.util.Scanner;
//Батьківський клас методів
public abstract class _ChM_Lab1 {
//чи показувати проміжні результати
public static final boolean showIntermediateResults = false;
//проміжок та точність
public double a, b, eps, result;
public boolean hasResult;
static void comment(Object obj) {
if(showIntermediateResults) System.out.println(obj);
}
//основна функція
public double f(double x) {
return x*x*x + 0.2*x*x + 0.5*x - 1.2;
}
abstract public void calculate();
//зчитати число з консолі, з врахуванням помилок вводу
private double getDouble(String mes) {
// створимо екземпляр класу Scanner для читання чисел з консолі
Scanner sc = new Scanner(System.in);
while(true) {
System.out.print(mes);
// повертає істину, якщо з потоку можна зчитати число
if(sc.hasNextDouble())
// зчитуємо число
return sc.nextDouble();
/* Якщо користувач ввів не число виводимо відповідне попередження,
* поки не буде введенно коректне значення
*/
System.out.println("It's not double value! Try again...");
sc.next();
}
}
//конструктор з вводом даних
public _ChM_Lab1() {
a = getDouble("a: ");
b = getDouble("b: ");
eps = getDouble("eps: ");
result = 0; hasResult = false;
}
//конструктор копій
public _ChM_Lab1(_ChM_Lab1 copy) {
//скопіюємо параметри
a = copy.a;
b = copy.b;
eps = copy.eps;
result = 0; hasResult = false;
}
public static void main(String[] args) {
//Запуск програми
_ChM_Lab1[] meth = {new Bisections(), null};
meth[1] = new Chords(meth[0]);
for(_ChM_Lab1 m : meth) {
m.calculate();
System.out.println(m);
}
}
//для виводу результату на екран
@Override public String toString() {
if(hasResult)
return "x = " + result + " f(x) = " + f(result);
else
return "No results on this range !";
}
}
//клас методу бісекцій
class Bisections extends _ChM_Lab1 {
public Bisections() {
super();
}
public Bisections(_ChM_Lab1 copy) {
super(copy);
}
//виводу результату на екран
@Override public String toString() {
return "\nBisections method: \n" + super.toString();
}
//розрахунок методом бісекцій
@Override public void calculate() {
double left = a;
double right = b;
double x = 0;
while(Math.abs(left - right) > eps) {
if(f(left) * f(right) > 0) {
// якщо на проміжку від знак функції не змінився
// то цей пром. не містить розв.
hasResult = false;
return;
}else {
x = (left + right) / 2.0;//знаходимо середину відрізка
comment("x = " + x);
if(f(x)==0) break;
else
//беремо той відрізок, на якому змін. знак функції
if(f(left) * f(x) < 0) right = x; else left = x;
}
}
result = x;
hasResult = true;
}
}
//клас методу хорд
class Chords extends _ChM_Lab1 {
public Chords() {
super();
}
public Chords(_ChM_Lab1 copy) {
super(copy);
}
//виводу результату на екран
@Override public String toString() {
return "\nChords method: \n" + super.toString();
}
//розрахунок методом хорд
@Override public void calculate() {
double left = a;
double right = b;
double x = 0;
boolean E = true;
if(f(left) * f(right) > 0) {
hasResult = false;
return;
}
while(E) {
//Знайдемо значення x, для якого y=0
x = left-(f(left)*(right-left)/(f(right)-f(left)));
comment("x = " + x);
//перевірка на точність
E = Math.abs(left-x) > eps;
left = x;
}
result = x;
hasResult = true;
}
}
4. Результат виконання програми
Запустимо програму на виконання без виведення проміжних результатів на екран: для масиву розміром на проміжку [0; 1] (рис. 4.1) та на проміжку [1; 2] (рис. 4.2).
/
Рис. 4.1. Виконання на проміжку [0; 1]
/
Рис. 4.2. Виконання на проміжку [1; 2]
Як бачимо на рисунках, програма виконується в обох випадках правильно. В першому випадку обчислюється результат, в другому – повідомлення, що нема розв’язку.
Спробуємо ввести некоректні дані та запустити програму в режимі виводу проміжних результатів (рис 4.3):
/
Рис. 4.3. Проміжні результати та реакція на помилки
ВИСНОВКИ
В ході даної лабораторної роботи я навчився методам розв’язування нелінійних рівнянь, а саме: графічним методом відокремлення коренів, після чого уточнення коренів методом бісекцій та хорд. А також програмуванню цих методів на мові програмування Java.
02.06.2014 21:06-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора