Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
роботи
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Інститут післядипломної освіти
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2014
Тип роботи:
Звіт про виконання лабораторної роботи
Предмет:
Чисельні методи
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Національний університет “Львівська політехніка”
Інститут післядипломної освіти
ЗВІТ
Про виконання лабораторної роботи №3
«Ітераційні методи розв’язування системи лінійних рівнянь»
з дисципліни «Чисельні методи»
Тема роботи: Ітераційні методи розв’язування системи лінійних рівнянь.
Мета роботи: Ознайомлення на практиці з ітераційнними методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
1. Теоретичні відомості
Метод послідовних наближень (Якобі)
Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь виду:
/
Для розв’язання системи методами послідовних наближень необхідно виконати наступні кроки:
Кожне рівняння системи розділити на діагональний елемент де k=1,2...n, n – кількість рівнянь в системі, і перетворити кожне рівняння системи відносно координат вектора, індекс якого співпадає з номером рівняння:
/
Якщо ввести перепозначення
/, /,
де k=1,2…n; i=1,2…n, то система матиме вигляд:
/
Така система називається зведеною до нормального вигляду.
.
Якщо деяким чином визначити, так званий, вектор початкових значень , який знаходиться в правій частині, то можна отримати певні значення вектора ,,…
.
Вибір початкового наближення
В якості вектора початкових наближень вибирають:
вектор, в якого всі координати хі дорівнюють 0;
вектор, в якого всі координати хі дорівнюють 1;
вектор, координати /якого дорівнюють координатам вектора вільних членів /;
координати вектору / вибирають в результаті аналізу особливостей об’єкту дослідження та задачі, яка розв’язується.
Умова закінчення ітераційного процесу
.
Умови збіжності ітераційного процесу (теорема про збіжність)
Ітераційний процес пошуку розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду (1) наближеними методами збігається, якщо будь-яка канонічна норма матриці .
Канонічні норми матриці
/
Норма матриці - додатне число, яке визначається за такими умовами:
перша канонічна норма – це максимальна з сум модулів елементів матриці коефіцієнтів / по стрічках:
/
друга канонічна норма – це максимальна з сум модулів елементів матриці коефіцієнтів / по стовбцях:
/,
третя канонічна норма – це корінь квадратний з сум квадратів модулів всіх елементів матриці коефіцієнтів /:
/.
Метод Зейделя
Метод можна розглядати як модифікацію метода Якобі.
Основна ідея - при обчисленні чергового (n+1)-го наближення до невідомого xi при i >1 використовують вже знайдені (n+1)-е наближення до x1, x2, ..., xi - 1, а не n-е наближення, як в методі Якобі.
Розрахункова формула методу:
/,
i = 1, 2, ... m..
Умова збіжності і критерій закінчення ітерацій аналогічні як в методі Якобі.
Якщо матриця A - симетрична і додатньо визначена, то при будь-якому виборі початкового наближення метод Зейделя збіжний.
2. Хід роботи
Завдання 1 (варіант 5). Розв’язати систему лінійних рівнянь методом ітерацій з точністю до 0,001, наперед оцінивши число необхідних для цього кроків.
Система рівнянь вже перетворена до вигляду:
, зручному для ітерацій. Кількість кроків визначити із співвідношення:
Завдання 2. Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Зейделя з точністю до 0,001.
Звіт до лабораторної роботи повинен містити такі структурні елементи:
Титульний аркуш.
Тема.
Мета.
Короткі теоретичні відомості.
Алгоритм розв’язку СЛАР.
Текст програми з коментарями.
Вигляд реалізованої програми.
Висновки.
3. Текст програми методу Якобі
#include <iostream>
#include <conio.h>
#include <clocale>
#include <math.h>
#include <cmath>
using namespace std;
int const N = 4;
const double eps = 0.001;
//якщо 0 - то ввід вхідних даних з клавіатури
int const testMode = 1;
double A[N][N], X[N], F[N];
//зчитування масиву з клавіатури
void input(double a[N][N], int n, int m) {
for(int i=0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < m; j++) {
cout << "a[" << i << "][" << j << "]: ";
cin >> a[i][j];
}
}
//виведення матриці на екран
void display(double a[N][N], int n, int m) {
for(int i=0; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < m; j++)
cout << a[i][j] << "\t";
if(m > 1) cout<<endl;
}
}
void inputVector(double a[N], int m) {
for(int j = 0; j < m; j++) {
cout << "f[" << j << "]: ";
cin >> a[j];
}
}
void displayVector(double X[N], int n) {
for(int j = 0; j < n; j++)
cout << X[j] << "\t";
}
//перевірка на евклідову норму матриці
int EvklidTest(double a[N][N]) {
double alpha[N][N];
for(int i=0; i < N; i++)
for(int j = 0; j < N; j++)
if(i!=j) alpha[i][j] = (-a[i][j])/(a[i][i]);
else alpha[i][j] = 0;
double Ek = 0;
for(int i=0; i < N; i++) {
for(int j = 0; j < N; j++)
Ek += alpha[i][j] * alpha[i][j];
}
Ek = pow(Ek,0.5);
if(Ek > 1.0) {
cout<<"\n\n\nЕвклiдову норма матрицi "<<Ek<<" > 1; Програму буде завершено !\n";
_getch();
return 0;
}
return 1;
}
void main() {
setlocale(LC_ALL, "Ukrainian");
if(testMode) {
A[0][0] = -0.82;
A[0][1] = -0.34;
A[0][2] = -0.12;
A[0][3] = 0.15;
A[1][0] = 0.11;
A[1][1] = -0.77;
A[1][2] = -0.15;
A[1][3] = 0.32;
A[2][0] = 0.05;
A[2][1] = -0.12;
A[2][2] = -0.86;
A[2][3] = -0.18;
A[3][0] = 0.12;
A[3][1] = 0.08;
A[3][2] = 0.06;
A[3][3] = -1.0;
F[0] = -1.33;
F[1] = 0.84;
F[2] = -1.16;
F[3] = 0.57;
} else {
cout<<"Введiть матрицю А:\n";
input(A, N, N);
cout<<"\nВведiть стовпець F:\n";
inputVector(F, N);
}
//Вивід a та f
cout<<"А:\n";
display(A, N, N);
cout<<"\nB:\n";
displayVector(F, N);
if(!EvklidTest(A)) return;
double TempX[N];
//норма, розрахована як найбільша різниця компонент стовпця іксів сусідніх ітерацій
double norm;
//обчислення розвязків
do {
for (int i = 0; i < N; i++) {
TempX[i] = F[i];
for (int g = 0; g < N; g++) {
if (i != g)
TempX[i] -= A[i][g] * X[g];
}
TempX[i] /= A[i][i];
}
norm = fabs(X[0] - TempX[0]);
for (int h = 0; h < N; h++) {
if (fabs(X[h] - TempX[h]) > norm)
norm = fabs(X[h] - TempX[h]);
X[h] = TempX[h];
}
} while (norm > eps);
//виведення результату
cout<<"\n\nX:\n";
displayVector(X, N);
_getch();
}
4. Текст програми методу Зейделя
#include <iostream>
#include <conio.h>
#include <clocale>
#include <math.h>
#include <cmath>
using namespace std;
int const N = 3;
const double eps = 0.001;
//якщо 0 - то ввід вхідних даних з клавіатури
int const testMode = 1;
double A[N][N], X[N], F[N];
//зчитування масиву з клавіатури
void input(double a[N][N], int n, int m) {
for(int i=0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < m; j++) {
cout << "a[" << i << "][" << j << "]: ";
cin >> a[i][j];
}
}
//виведення матриці на екран
void display(double a[N][N], int n, int m) {
for(int i=0; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < m; j++)
cout << a[i][j] << "\t";
if(m > 1) cout<<endl;
}
}
void inputVector(double a[N], int m) {
for(int j = 0; j < m; j++) {
cout << "f[" << j << "]: ";
cin >> a[j];
}
}
void displayVector(double X[N], int n) {
for(int j = 0; j < n; j++)
cout << X[j] << "\t";
}
//перевірка на евклідову норму матриці
int EvklidTest(double a[N][N]) {
double alpha[N][N];
for(int i=0; i < N; i++)
for(int j = 0; j < N; j++)
if(i!=j) alpha[i][j] = (-a[i][j])/(a[i][i]);
else alpha[i][j] = 0;
double Ek = 0;
for(int i=0; i < N; i++) {
for(int j = 0; j < N; j++)
Ek += alpha[i][j] * alpha[i][j];
}
Ek = pow(Ek,0.5);
if(Ek > 1.0) {
cout<<"\n\n\nЕвклiдова норма матрицi "<<Ek<<" > 1; Програму буде завершено !\n";
_getch();
return 0;
}
return 1;
}
void main() {
setlocale(LC_ALL, "Ukrainian");
if(testMode) {
A[0][0] = 1.0;
A[0][1] = 3.9;
A[0][2] = 1.0;
A[1][0] = 1.0;
A[1][1] = 2.7;
A[1][2] = -2.0;
A[2][0] = 2.0;
A[2][1] = -4.4;
A[2][2] = 1.0;
F[0] = -10.2;
F[1] = -11.0;
F[2] = -5.0;
} else {
cout<<"Введiть матрицю А:\n";
input(A, N, N);
cout<<"\nВведiть стовпець F:\n";
inputVector(F, N);
}
//Вивід a та f
cout<<"А:\n";
display(A, N, N);
cout<<"\nB:\n";
displayVector(F, N);
if(!EvklidTest(A)) return;
double norm, v, s;
int i;
for (i = 0; i < N; i++) X[i] = 0;
do {
norm = 0;
for (i = 0; i < N; i++) {
s = 0;
for (int j = 0; j < N; j++)
if (i != j) s += A[i][j] * X[j];
v = X[i];
X[i] = (F[i] - s) / A[i][i];
norm = fabs(X[i] - v);
}
} while (norm > eps);
//виведення результату
cout<<"\n\nX:\n";
displayVector(X, N);
_getch();
}
5. Результати виконання програм
Запустимо програму методу Якобі на виконання (рис. 5.1):
/
Рис. 5.1. Метод Якобі
Запустимо програму методу Зейделя на виконання (рис. 5.2):
/
Рис. 5.2. Метод Зейделя
ВИСНОВКИ
В ході даної лабораторної роботи я оволодів ітераційними методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь, а саме:
1)методом Якобі;
2)методом Зейделя.
02.06.2014 21:06-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора