Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
РОЗРАХУНОК ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ У ЛІНІЙНИХ І НЕЛІНІЙНИХ КОЛАХ 1-ГО ПОРЯДКУ ЧИСЛОВИМ МЕТОДОМ ЗМІННИХ СТАНУ
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2008
Тип роботи:
Лабораторна робота
Предмет:
ТЕОРІЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ ТА СИГНАЛІВ
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки України
Національний університет „Львівська політехніка”
Звіт
Про виконання лабораторної роботи
Тема: РОЗРАХУНОК ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ У ЛІНІЙНИХ І НЕЛІНІЙНИХ КОЛАХ 1-ГО ПОРЯДКУ ЧИСЛОВИМ МЕТОДОМ ЗМІННИХ СТАНУ
1. Мета роботи:
Ознайомлення із методикою розрахунку перехідних процесів на елементарних RC-ланках при довільній формі вхідного сигналу.
2. Теоретичні відомості
Перехідний режим (або процес) — це процес, що виникає в електричній ланці при переході від одного стаціонарного стану до іншого, не подібного на попередній. Напруги і струми, що виникають у цей час також називаються перехідними. Зміна стаціонарного стану може відбутися в результаті зміни зовнішніх сигналів, вмикання чи вимикання зовнішнього впливу, або може бути спричинено перемиканнями всередині самого електричного кола. Будь-яку зміну в електричному колі, яка призводить до виникнення перехідного процесу будемо називати комутацією. У більшості випадків можна вважати, що комутація відбувається миттєво. Перехідні процеси в реальних колах є швидкоплинними, тривалість їх становить десяті, соті, а рідше і мільйонні частки секунди. Особливе значення перехідні процеси мають у приладах, призначених для підсилення, формування і перетворення імпульсних сигналів, коли тривалість діючих на електричне коло сигналів сумірна з тривалістю перехідних процесів. Перехідні процеси є причиною спотворення форми імпульсів при проходженні їх через лінійні ланки кола. Розрахунок і аналіз пристроїв автоматики неможливий без розрахунку перехідних режимів. У низці пристроїв виникнення перехідних процесів, в принципі, небажане і небезпечне. Розрахунок перехідних режимів тут дозволяє визначити можливі небажані напруги і струми, що можуть виникати і в декілька раз перевищувати напруги та струми стаціонарних режимів.
Наростання реальних вхідних сигналів можна описати аналітично і виділити три типу впливу:
східчастий:
при ,
при ; (1)
лінійний:
при ,
при , (2)
при ;
експоненційний:
при ,
при . (3)
Сигнали у вигляді східців зазвичай використовують як контрольні для оцінки перехідних характеристик кіл. Практично такий вплив не реалізується, однак до нього зводяться ближчі до реальних впливів (2) та (3), якщо (ф0 та (ф значно менші часу наростання перехідної характеристики кола в області малих часів.
Вирази (1-3) описують характер виникнення впливу. По закінченні впливу часова залежність може бути стрибкоподібною, лінійною чи експоненційною. Для багатьох лінійних кіл реакція на аналітично задані впливи виду (1-3) може визначитись аналітично. У цьому випадку легко розрахувати вихідні напруги за відомими формулами на ЕОМ.
Аналіз перехідних процесів у лінійних колах ускладнюється з ускладненням вхідного впливу. Особливий інтерес викликає аналіз при довільному (заданому графічно чи за допомогою таблиць) впливі, який доцільно проводити численними методами. Відповідь нелінійних кіл навіть на прості впливи, як правило, не розраховується аналітично, що робить числові методи принципово необхідними. Перехідні процеси зручно розраховувати класичним методом змінних стану, якими виступають напруги на конденсаторах, струми індуктивних елементів та інші параметри кіл, які не можуть змінюватись миттєво через обмеження, які накладають на них закони комутації.
Досить часто доводиться розраховувати перехідні процеси в елементарних RC — та RL — ланках при довільному Uвх(t), заданому дискретними значеннями. Ланка RC описується рівняннями стану:
, (4)
, (5)
де ( = RC — стала часу ланки. Якщо досліджувати Uвих(t) на конденсаторі, то ланка буде інтегруючою, якщо на резисторі — диференціюючою.
Розрахунок перехідних процесів у нелінійних та імпульсних приладах переважно базується на розв’язанні систем диференційних рівнянь. Це рішення аналогічне рішенню одного диференційного рівняння 1-го порядку, поданого в нормальному вигляді:
. (6)
Залежність y(x) при відомих початкових умовах y(0) та x(0) знаходиться інтегруванням (6) із кроком h = (x:
(7)
Числові методи розв’язування (6) відрізняються лише обчисленням інтеграла (7). За змінну x при розрахунку перехідних процесів служить час t або нормований час t/(, де ( — найбільш характерна стала часу перехідного процесу. Змінна y — струм чи напруга, що змінюються.
Обраховуючи інтеграл в (7) методом прямокутника отримаємо:
,
що відповідає простому методу Ейлера 1-го порядку.
Інтегрування модифікованим методом прямокутника дає формулу модифікованого методу Ейлера 2-го порядку:
Ще точніша параболічна апроксимація f(x,y) приводить до рівнянь методу Рунне – Кутта 4-го порядку:
,
де
(8)
Чим вище порядок методу, тим більше кроків містить його програмна реалізація і тим більше часу необхідно на один крок інтегрування. Однак точність обчислень росте швидше, ніж час їх проведення. Тому при заданій (не дуже низькій) точності результат можна отримати швидше методами вищого порядку.
Для розрахунків перехідних процесів в RC-ланці доцільно скласти окрему програму. Для цього, позначивши
, (9)
(10)
після простих перетворень наведемо основні рівняння метода Рунге-Кутта 4-го порядку (8) при x=t та y = Uc :
, (11)
де
,
,
.
Підставляючи k1 — k4 в (11) отримаємо систему рівнянь:
,
; (n+1 = (n + ((.
Перехідні процеси можна розраховувати також неявними методами. Так, неявний метод Ейлера реалізується виразом
, (12)
де yn+1 входить як в ліву так і в праву частину виразу.
У загальному випадку для розв’язку (12) на кожному кроці необхідно використовувати той чи інший ітераційний метод. Це значно ускладнює реалізацію неявного методу і веде до великих втрат часу на кожному кроці. Тому для розрахунку на калькуляторах цей метод (за винятком окремих випадків) не використовується. Перевагою неявних методів є відсутність числової нестійкості розв’язку при великих h.
В окремих випадках рівняння (12) можна розв’язати відносно yn+1 аналітично. Так, для розглянутої RC — ланки (12) набуває вигляд (y = Uc, h = (t, x = t):
.
Розв’язавши це рівняння відносно Ucn+1 , отримаємо
. (13)
Порівняємо (13) із рівнянням простого методу Ейлера для заданого кола:
. (14)
Із (14) видно, що при великих (t/( приріст Ucn+1 — Ucn може змінити нормальний знак, а при (t/( > 2 виникає наростаюча нестійкість розв’язку. Згідно із (13) така ситуація при неявному методі принципово неможлива. Однак ця перевага практично не реалізується, оскільки при великих (t похибка стає недопустимо великою (а при малих (t перевага надається простішим явним методам).
Абсолютні похибки явного і неявного методів близькі, але протилежні за знаком. Обчисливши півсуму результатів, отриманих цими методами, можна отримати суттєво меншу похибку при великих (t/(. Такий комбінований метод реалізує програма *. У таблиці порівнюються результати розрахунку контрольного прикладу — розрахунку Uвих(t) диференціювальної RC-ланки при стрибковому впливі для Uвх(t) = 1B при t ( 0 і (t/( = 0.5. За точністю комбінований метод поступається методу Рунне – Кутта 4-го порядку, але є значно кращим за явний та неявний методи Ейлера.
Таблиця 1
t/(
e-t/(
Uвх(() в методі
(точний розв’язок)
Ейлера
явний
Ейлера
неявний
Ейлера
комбінований
Рунне –Кутта
4-го порядку
0,5
0,066530
0,5
0,6666666
0,5833333
0,60677
1
0,367879
0,25
0,4444444
0,3472222
0,36817
1,5
0,223130
0,125
0,2962563
0,2106482
0,223395
2
0,1355535
0,0625
0,1975308
0,1300154
0,135545
Нелінійні RC-ланки в загальному описуються нелінійними диференційними рівняннями виду
, (15)
де R(UR) — нелінійний опір і C(Uc) — нелінійна ємність RC-ланки. Розв’язок (15) із нелінійним R(UR) розглядається в лабораторній роботі зі схемою тунельного діода. Розглянемо розрахунок перехідного процеса в RC-ланці із нелінійною ємністю (варікапом), що описується залежністю:
,
де (к — контактна різниця потенціалів, Uc — зворотна напруга. Уявімо, що Uвх(t) зростає за експоненційним законому зі сталою часу (вх і граничним рівнем Um.
При експоненційній зміні Uвх(t), застосовуючи простий метод Ейлера, отримаємо наступні результати для числового моделювання нелінійної RC-ланки:
;
;
.
На кожному кроці послідовно обраховуємо tn, Uвх(tn), Uc(tn) та UR(tn).
Необхідно зауважити, що при аналізі нелінійних кіл крок необхідно брати менший сталої часу (min.
3. Завдання і порядок виконання роботи
1. Отримати у викладача форму вхідного сигналу.
2. Увести вхідні дані.
3. Проаналізувати результат.
Висновок: Ознайомився із методикою розрахунку перехідних процесів на елементарних RC-ланках при довільній формі вхідного сигналу і змоделював це задопомогою компютерної прогами.
03.06.2014 20:06-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора