МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА» ІКТА КАФЕДРА БІТ
З В І Т до лабораторної роботи №3 з курсу: «Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів і систем» на тему: «ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ» Варіант № 8 Мета роботи – ознайомлення з ітераційними методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ. Метод Зейделя Задано систему лінійних алгебраїчних рівнянь, що зведена до нормального вигляду
. Тоді за методом Зейделя, вибираючи вектор початкових наближень
(як правило, це стовпець вільних членів
), уточнення значень невідомих проводять наступним чином: 1) перше наближення:
2) k + 1 наближення
k = 0, 1, 2, … . Таким чином ітераційний процес подібний до методу простих ітерацій, однак уточнені значення
одразу ж підставляються в наступні рівняння:
– формула методу Зейделя. Іншими словами, метод Зейделя відрізняється від методу простої ітерації тим, що при обчисленні
на “k+1”-му кроці враховуються значення
,
,

, обчислені на цьому самому кроці. З метою економії пам’яті при програмуванні методу Зейделя недоцільно напряму застосовувати подану формулу методу. На відміну від методу простої ітерації в методі Зейделя немає необхідності зберігати в пам’яті повністю вектор попередніх наближень розв’язку. Можна застосовувати один вектор, в якому будуть зберігатися останні наближення розв’язків. При цьому для контролю умови завершення ітераційного процесу по кожному з розв’язків можна застосовувати одну й ту саму допоміжну змінну для тимчасового зберігання попереднього наближення чергового розв’язку. Слід сподіватись, що ітерації за методом Зейделя дадуть при тому ж числі кроків більш точні результати, ніж за методом простої ітерації. Або така ж точність буде досягнута за менше число кроків, оскільки чергові значення невідомих визначаються тут більш точно ітераційний процес припиняється. Наприклад, якщо задано систему
для якої точний розв’язок
Обчислення проведемо згідно формул:
. За початкове наближення вибираємо вектор
Результати обчислень наведемо в таблиці: Ітерації Метод простої ітерації Метод Зейделя   х1 х2 х3 х1 х2 х3  0 0 0 0 0 0 0  1 2 3 4 5 6 1,0000 1,2750 1,1287 1,0187 0,9882 0,99105 1,5000 1,2000 1,0342 0,9922 0,98373 0,99547 0,4000 0,7600 0,9590 1,0394 1,0195 1,0056 1,0000 1,0500 0,9896 1,0010 1,0000 1,3333 0,9473 1,0050 0,9999 1,0000 1,1333 0,9889 0,9999 1,0000 1,0000  Достатні умови збіжності ітераційного методу Зейделя
для всіх
і якщо хоча б для одного і ця нерівність строга

. 2. ЗАВДАННЯ Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методами простої ітерації або Зейделя.

, k=0;
p=2; 3. СПИСОК ІДЕНТИФІКАТОРІВ КОНСТАНТ, ЗМІННИХ, МЕТОДІВ ТА КЛАСІВ, ВИКОРИСТАНИХ У БЛОК-СХЕМІ АЛГОРИТМУ І ПРОГРАМІ, ТА ЇХ ПОЯСНЕННЯ class Program – клас, що містить головний метод Main(); class Labwork – клас, що містить методи koeficienty(), print(), Zejdell_metod(), vuvid(); print() – метод, в якому вводяться дані; koeficienty() – метод, в якому задаються коефіцієнти; Zejdell_metod() – метод, який виконує розв’язок СЛАР методом Зейделя; Vyvid() – метод, в якому матриця виводиться на екран; і – змінна цілого типу, яка вказує на номер рядків; j – змінна цілого типу, яка вказує на номер стовпців; n – число дійсного типу, яке вказує на кількість рівнянь; k, p – коефіцієнти дійсного типу; E – число дійсного типу, що вказує на похибку; a, t – коефіцієнти матриці; S, b – змінні дійсного типу, що складають деякі коефіцієнти матриці;
5. Текст програми using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; namespace Laboratorna_robota3 { class Labwork { public int i, j; public int n = 4; public double m, k, p, f, b, S; public double Sum1 = 0; public double Sum2 = 0; public double E = 0.0001; public double[,] A; public double[] x; public double[,] a; public double[] t; public void koeficienty() { Console.Write("введiть k="); k = Convert.ToInt32(Console.ReadLine()); Console.Write("введiть p="); p = Convert.ToInt32(Console.ReadLine()); S = 0.2 * k; b = 0.2 * p; } public void print() { for (i = 0; i < n; i++) { for (j = 0; j < n; j++) { Console.Write(a[i, j] + "x" + (j + 1)); Console.Write("+"); } Console.WriteLine("=" + t[i]); } Console.WriteLine(); } public void Zejdell_metod() { a = new double[n, n]; t = new double[n]; A = new double[n, n]; x = new double[n]; a[0, 0] = 13.3; a[0, 1] = (2.62 + S); a[0, 2] = 4.1; a[0, 3] = 1.9; a[1, 0] = 3.92; a[1, 1] = 8.45; a[1, 2] = (1.78 - S); a[1, 3] = 1.4; a[2, 0] = 3.77; a[2, 1] = (1.21 + S); a[2, 2] = 8.04; a[2, 3] = 0.28; a[3, 0] = 2.21; a[3, 1] = (3.65 - S); a[3, 2] = 1.69; a[3, 3] = 9.99; t[0] = (-10.55 + b); t[1] = 12.21; t[2] = (15.45 - b); t[3] = -8.3; vuvid(); Console.ReadLine(); Console.WriteLine("Розв’язок системи лiнiйних рiвнянь методом Зейделя:"); Console.WriteLine(); print(); for (i = 0; i < n; i++) { for (j = 0; j < n; j++) { if (i == j) { A[i, j] = 0; } else { A[i, j] = -a[i, j] / a[i, i]; } } t[i] = t[i] / a[i, i]; } Console.WriteLine(); Console.WriteLine("Початкове наближення:"); for (i = 0; i < n; i++) { Console.WriteLine("x" + (i + 1) + "=" + x[i]); } int v = 0; do { m = 0; v = v + 1; for (i = 0; i < n; i++) { Sum1 = 0; Sum2 = 0; for (j = 0; j < i; j++) { Sum1 += A[i, j] * x[j]; } for (j = i; j < n; j++) { Sum2 += A[i, j] * x[j]; } f = x[i]; x[i] = t[i] + Sum1 + Sum2; if ((Math.Abs((x[i] - f)) > m)) m = (Math.Abs(x[i] - f)); } } while (m > E); Console.WriteLine(); Console.WriteLine("Кiлькiсть iтерацiй:"); Console.WriteLine(+v); Console.WriteLine(); Console.WriteLine("кiнцевий результат:"); for (i = 0; i < n; i++) { Console.WriteLine("x" + (i + 1) + "=" + x[i]); } Console.ReadLine(); } public void vuvid() { Console.WriteLine("Вивід елементів матриці"); for (i = 0; i < n; i++) { for (j = 0; j < n; j++) { Console.Write(a[i, j] + "\b"); } Console.WriteLine(); } Console.WriteLine(); Console.WriteLine("Вивід вільних елементів"); for (i = 0; i < n; i++) { Console.WriteLine(t[i]); } } } class Program { static void Main(string[] args) { Labwork got = new Labwork(); got.koeficienty(); got.Zejdell_metod(); } } } 6. Результати роботи програми введiть k=3 введiть p=5 / 7. Висновок