Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Лабораторна робота №6
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2006
Тип роботи:
Лабораторна робота
Предмет:
Теорія автоматичного керування
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”
Лабораторна робота №6
ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧНОГО РЕГУЛЮВАННЯ
з дисципліни ‘ Теорія автоматичного керування ‘
Львів - 2006
Мета роботи: дослідити стійкість систем автоматичного регулювання (САР) за допомогою критеріїв Гурвіца та Найквіста, проаналізувати фактори, що можуть викликати втрату стійкості САР, дослідити вплив зміни параметрів елементів САР на її стійкість.
Необхідна теоретична підготовка: поняття стійкості динамічних систем, критерії стійкості систем.
ПОСЛІДОВНІСТЬ ВИКОНАННЯ РОБОТИ
Змістом виконання роботи є дослідження стійкості заданої системи автоматичного регулювання. За допомогою критеріїв Гурвіца (частина 1) і Найквіста (частина 2) необхідно визначити критичні значення коефіцієнтів настроювання автоматичного регулятора, а також значення параметрів настроювання, що забезпечують заданий запас стійкості за амплітудою або за фазою. Далі в середовищі Matlab-Simulink складають структурну схему системи і в результаті моделювання отримують перехідні функції замкнутої системи. Вихідними даними для виконання лабораторної роботи є функція передачі об’єкту регулювання з конкретними числовими значеннями параметрів, та функція передачі автоматичного регулятора з невідомими параметрами настроювання.
В частині 1 лабораторної роботи студентові необхідно:
1. Скласти характеристичне рівняння заданої САР, розрахувати числові значення його коефіцієнтів.
2. Скласти визначник Гурвіца та розрахувати критичні значення параметрів настроювання регулятор.
3. Скласти структурну схему замкнутої системи в Simulink, встановити задані та розраховані значення коефіцієнтів моделей.
4. Здійснити моделювання САР при одиничній стрибкоподібній зміні вхідної величини та отримати перехідну функцію САР.
5.Дослідити вплив зміни параметрів настроювання регулятора на перехідний процес в замкнутій системі. Порівняти перехідні функції, отримані принаймні при трьох значеннях параметрів настроювання регулятора (рівних, менших та більших за критичне значення), визначаючи кожний раз характер та вигляд перехідної функції, а також коефіцієнт заникання перехідного процесу, де А1, А3 – відповідно перша та третя амплітуди коливного процесу.
В частині 2 лабораторної роботи студентові необхідно:
1. На основі критерію Найквіста, розрахувати критичні значення параметрів настроювання заданого регулятора.
2. Розрахувати значення параметрів настроювання регулятора на заданий викладачем запас стійкості по фазі або по амплітуді.
3. Побудувати в середовищі Matlab амплітудно-фазові характеристики розімкнутої САР при розрахованих значеннях параметрів настроювання регулятора та оцінити графічно запас стійкості системи за фазою та амплітудою.
4. Скласти структурну схему замкнутої САР в Simulink, встановити задані значення параметрів об’єкта регулювання та розраховані значення параметрів регулятора.
5. Здійснити моделювання САР при одиничній стрибкоподібній зміні вхідної величини та отримати перехідні функції САР для критичного значення параметру регулятора та для параметра регулятора, що забезпечує заданий запас стійкості.
6. Дослідити вплив зміни параметрів об’єкта регулювання (наприклад, збільшення запізнення, збільшення-зменшення сталих часу, збільшення-зменшення коефіцієнта передачі) на перехідний процес в САР. Для цього порівняти перехідні функції при різних значеннях параметрів системи, кожний раз визначаючи коефіцієнт заникання та запас стійкості САР за амплітудою і фазою.
ВИКОНАННЯ ЗАВДАННЯ
а) Дослідження стійкості САР за допомогою критерію Гурвіца
Завдання: Дослідити стійкість системи автоматичного регулювання з П-регулятором, структурна схема якої показана на рис.11. Функція передачі об’єкту регулювання
,
де - коефіцієнт передачі об’єкту регулювання; сталі часу аперіодичних ланок.
Функція передачі автоматичного П-регулятора
,
де - коефіцієнт передачі регулятора.
Для дослідження стійкості системи автоматичного регулювання за критерієм Гурвіца необхідно отримати характе-ристичне рівняння замкнутої САР. Функція передачі заданої САР має вигляд
.
Характеристичне рівняння одержимо, прирівнявши знаменник отриманої функції передачі (характеристичний поліном системи) до нуля
.
Після розкриття дужок отримаємо
.
Загальний вигляд характеристичного рівняння третього порядку є таким
.
Тобто для досліджуваної системи ; ; ; . Як бачимо, всі коефіцієнти є одного знаку (додатними) при будь-яких значеннях коефіцієнта передачі П-регулятора, отже необхідна умова стійкості виконується.
Для визначення умов стійкості сформуємо головний визначник Гурвіца
та визначники діагональних мінорів нижчих порядків
,
.
Досліджувана система буде стійкою, якщо >0 і >0 і >0. Визначник є додатний, знак визначається тільки знаком , тому для того, щоб САР була стійкою достатньо щоб >0. Якщо , то САР буде на границі стійкості, при - нестійка.
Знайдемо критичне значення коефіцієнта передачі П-регулятора, при якому система буде знаходитися на границі стійкості з рівняння
.
Для забезпечення стійкості САР, значення коефіцієнта передачі П-регулятора повинно бути меншим від критичного . Якщо коефіцієнт передачі регулятора виявиться більшим за критичне значення , то система буде нестійкою.
Змоделюємо досліджувану САР в середовищі Simulink:
Рис 12. Структурна модель САР з П-регулятором.
Перехідна функція, отримана при критичному значенні =10.0571, показана на рис.1.
Рис. 1. Перехідна функція САР, отримана при =10.0571.
Перехідна функція є коливною із незаникаючими коливаннями. Усталені коливання здійснюються відносно значення вихідної величини 1,286. Амплітуда усталених коливань А=0,08, період коливань 30 с.
Змоделюємо перехідну функцію САР із значенням коефіцієнта передачі П-регулятора, меншим за критичне значення =10.0571, наприклад при =8
Усталене значення вихідної величини після завершення перехідного процесу (статична похибка регулювання) дорівнює 2. Період коливань становить 15 с, коефіцієнт заникання коливань 0,26.
Рис. 2. Перехідна функція САР, отримана при =8.
Далі змоделюємо перехідну функцію САР із значенням коефіцієнта передачі П-регулятора, більшим за критичне значення, наприклад при =12 (рис. 3). Отриманий перехідний процес в САР є коливним, розбіжним. Коливання здійснюються відносно значення регульованої величини, що дорівнює 1. Період коливань 12 с.
Рис. 3. Перехідна функція САР, отримана при =12.
Висновок: Таким чином, розраховане критичне значення параметра настроювання П-регулятора =10.0571дійсно виводить систему на границю стійкості. Якщо =8, то САР є стійкою, при =12>10.0571 САР стає нестійкою. Отримані перехідні функції САР підтверджують правильність розрахунку критичного значення коефіцієнта передачі П-регулятора за критерієм Гурвіца. Перехідні процеси в САР є коливними, період коливань зменшується із збільшенням коефіцієнта передачі П-регулятора. Дослідження заданої САР показує, що із зменшенням коефіцієнта передачі П-регулятора статична похибка регулювання збільшується, що чітко обґрунтовується теоретично.
б) Дослідження стійкості САР за допомогою критерію Найквіста
Завдання: Об’єктом дослідження в другій частині лабораторної роботи є та сама САР, що і в першій частині.
Задане значення запасу стійкості САР: запас стійкості по фазі (=.
За допомогою критерію Найквіста розрахувати критичне значення параметра настроювання П-регулятора, а також таке його значення, що забезпечує заданий запас стійкості САР. Дослідити перехідну функцію САР із заданим запасом стійкості, а також дослідити вплив збільшення коефіцієнта передачі ОР.
Для того щоб спростити знаходження виразів частотних характеристик, функцію передачі об’єкта регулювання доцільно представити як добуток функцій передачі інтегруючої і двох аперіодичних ланок, тобто представити послідовним з’єднанням цих ланок, як показано на рис.4.
Рис. 4. Структурна схема досліджуваної САР.
Згідно з критерієм Найквіста амплітудно-фазова-характеристика (АФХ) САР, що знаходиться на границі стійкості проходить через точку (-1,і0), тобто виконується умова (25)
або
,
де - амплітудно-фазова характеристика розімкнутої системи; амплітудно-частотні характеристики об’єкта регулювання і автоматичного регулятора відповідно; фазочастотні характеристики відповідно об’єкта регулювання і автоматичного регулятора.
Визначимо необхідні амплітудно- і фазочастотні характеристики. Відомо, що АЧХ послідовного з’єднання елементів дорівнює добутку амплітудно-частотних характеристик елементів, що складають з’єднання, а ФЧХ – сумі їх фазочастотних характеристик. Відповідно АЧХ і ФЧХ об’єкту регулювання матимуть вигляд
,
АЧХ і ФЧХ П-регулятора -
.
Знайдені вирази характеристик підставимо в систему (25)
З врахуванням заданих значень параметрів моделей запишемо
З другого рівняння системи визначимо частоту а з першого - критичне значення коефіцієнта передачі П-регулятора
.
Друге рівняння системи, як бачимо, аналітично не розв’язується, тому значення знайдемо числовим методом із застосуванням функції fzero в Matlab.
Для розрахунку параметрів, при яких САР буде на границі стійкості, та побудови АФХ виконаємо наступну програму в Matlab:
%знаходження
T1=5; T2=15;
T3=7; k1=1;
wp0=1;
wpi=fzero('fun62',wp0)
A1=1/sqrt(1+wpi^2*T1^2);
A2=1/sqrt(1+wpi^2*T2^2);
A3=1/sqrt(1+wpi^2*T3^2);
k2=1/A1/A2/A3
w=[0:0.01:5];
fi1=-atan(w*T1);
fi2=-atan(w*T2);
fi3=-atan(w*T3);
fi4=0;
A1=1./sqrt(1+w.^2*T1^2);
A2=1./sqrt(1+w.^2*T2^2);
A3=1./sqrt(1+w.^2*T3^2);
A4=k2;
fi=fi1+fi2+fi3+fi4;
A=A1.*A2.*A3.*A4;
polar(fi,A);
де
function y=fun62(w);
T1=5;T2=15;T3=7;
fi1=-atan(w*T1);
fi2=-atan(w*T2);
fi3=-atan(w*T3);
y=fi1+fi2+fi3+pi;
function y=fun621(w);
T1=5;T2=15;T3=7;
fi1=-atan(w*T1);
fi2=-atan(w*T2);
fi3=-atan(w*T3);
ga=pi/3*pi/180;
y=fi1+fi2+fi3+pi-ga;
В результаті виконання програми отримаємо розв’язок системи: , На рис. 5 показана амплітудно-фазова характеристики розімкнутої системи, яка підтверджує, що розрахунок критичного значення П-регулятора виконаний правильно, оскільки АФХ проходить через точку з радіусом 1 і кутом 1800, що відповідає точці (-1, і0) в декартових координатах.
Для розрахунку значення коефіцієнта , при якому забезпечується заданий запас стійкості системи по фазі , частоту зрізу розраховують з другого рівняння системи
,
а з першого визначають значення .
Рис. 5. АФХ розімкнутої САР (замкнута САР на границі стійкості).
Для розрахунків скористаємося наведеною вище програмою, яка відрізнятиметься від неї лише виглядом допоміжної функції y, а саме
В результаті виконання програми отримуємо значення частоти зрізу і коефіцієнта передачі П-регулятора k = 10.0571. Запас стійкості САР становить.
Статична похибка регулювання дорівнює 4,08, А1 = 5,55-4,08=1,47, А3 = 4,3-4,08=0,22 і коефіцієнт заникання коливань .
Далі оцінимо вплив збільшення коефіцієнта передачі ОР ( =0,48) на перехідну функцію. Як видно із рис. 20, для перехідної функції системи регулювання із статична похибка регулювання дорівнює 4,08, перша амплітуда , третя амплітуда , коефіцієнт заникання коливань .
Висновок: Знайдене критичне значення параметру П-регулятора за допомогою критерію Найквіста збігається з розрахованим за критерієм Гурвіца, що підтверджує правильність розрахунків. Застосування критерію Найквіста дозволяє розраховувати САР на заданий запас стійкості. Дослідження заданої САР показують, що із збільшенням коефіцієнта передачі ОР запас стійкості САР зменшується і по фазі, і по амплітуді.
ПЕРЕЛІК ЗАВДАНЬ
Дослідити стійкість системи автоматичного регулювання з об’єктом регулювання із самовирівнюванням та інтегральним регулятором.
Дослідити стійкість системи автоматичного регулювання з об’єктом регулювання із самовирівнюванням та пропорційним регулятором.
Дослідити стійкість системи автоматичного регулювання з об’єктом регулювання без самовирівнюванням та пропорційним регулятором.
Дослідити стійкість системи автоматичного регулювання з об’єктом регулювання без самовирівнюванням та пропорційно-інтегральним регулятором.
Дослідити стійкість системи автоматичного регулювання з об’єктом регулювання із самовирівнюванням та пропорційно-інтегральним регулятором.
ПРОТОКОЛ
лабораторної роботи (частина 1)
Досліджується САР з функціями передачі об’єкта регулювання
= ____________________
та регулятора
= ____________________.
Розраховане критичне значення параметра настроювання регулятора ______________.
В звіт до лабораторної роботи необхідно додати:
- структурну схему досліджуваної САР;
- функцію передачі замкнутої САР та її характеристичне рівняння;
- формули та розрахунки критичних значень параметрів регулятора;
- перехідні функції САР при різних значеннях параметрів регулятора;
- визначені характеристики перехідних процесів;
- висновки.
ПРОТОКОЛ
лабораторної роботи (частина 2)
Досліджується замкнута система автоматичного регулювання з об’єктом регулювання, функція передачі якого має вигляд
= ____________________
і автоматичним регулятором з функцією передачі
= ____________________.
Задане значення запасу стійкості САР ______________________
Задані зміни параметрів ОР _______________________________
Розраховане критичне значення параметра настроювання регулятора _____________.
Значення параметра настроювання регулятора, при якому досягається заданий запас стійкості ___________________________________________ .
До протоколу лабораторної роботи необхідно додати:
- функції передачі замкнутої та розімкнутої системи автоматичного регулювання;
- формули та розрахунки критичних значень параметрів настроювання автоматичного регулятора та значень параметрів, що забезпечують заданий запас стійкості САР;
- амплітудно-фазові характеристики розімкнутої САР при розрахованих значеннях параметрів настроювання регулятора (на границі стійкості та із заданим запасом стійкості);
- структурну схему досліджуваної САР;
- перехідні функції САР при обчислених значеннях параметрів настроювання регулятора та визначені за ними характеристики перехідного процесу;
- перехідні функції САР при заданих значеннях параметрів об’єкта регулювання та визначені за ними характеристики перехідного процесу;
- висновки.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора