Міністерство освіти і науки України Національний Університет “Львівська Політехніка”
Кафедра ЕОМ ДОСЛІДЖЕННЯ ДИСКРЕТНОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР’Є ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТЕЙ розрахункова робота з дисципліни “Методи та засоби опрацювання сигналів” ВИКОНАННЯ Завдання Сигнал задано наступним чином: 12 
  Аналітичні вирази для знаходження частотного спектру заданого варіантом сигналу: Виходячи із заданого графіка, сигнал описується фінітною функцією, тривалістю 14с. Перші 7с амплітуда змінюється лінійно від 0 до -7. Наступні 7с. – амплітуда змінюється лінійно від 7 до 0. Таким чином, маємо кускову функцію, що описує заданий сигнал:
; Для знаходження частотного спектру слід підставити аналітичний вираз вхідного сигналу у формулу:
, де
- основна гармоніка, де Т=14. Виходячи з завдання, маємо: T=14;
. Тому :
; Нехай
, тоді
Підставимо
замість A
256 спектральних коефіцієнтів, таблиця значень: Для знаходження спектральних характеристик в дискретних точках слід створити програму для виконання у SCILAB, використавши отримані аналітичні вирази. Текст програми приведено нижче. Таблиця значень спектральних коефіцієнтів. № Значення № Значення № Значення   0.02734375 87. -0.025908944224262032  -0.012954472112131016   2.2281692032865346  0.02561114026766132  0.012879590770442395   -1.1140846016432673  -0.025320104582801532  -0.01280557013383066   0.7427230677621782  0.0250356090256914  0.012732395447351627   -0.5570423008216336  -0.02475743559207261  -0.012660052291400766   0.44563384065730693  0.024485375860291585  0.012588526572240308   -0.3713615338810891  -0.02421923047050582  -0.0125178045128457   0.31830988618379064  0.023958808637489618  0.012447872644058852   -0.2785211504108168  -0.0237039276945376  -0.012378717796036305   0.24757435592072605  0.02345441266617405  0.012310327089980855   -0.22281692032865347  -0.02321009586756807  -0.012242687930145798   0.20256083666241226  0.02297081652872716  0.012175787996101283   -0.18568076694054456  -0.022736420441699334  -0.01210961523525291   0.17139763102204114  0.022506759629156915  0.012044157855602892   -0.15915494309189532  -0.022281692032865348  -0.011979404318744813   0.14854461355243564  0.02206108122065876  0.011915343333083077   -0.1392605752054084  -0.021844796110652306  -0.0118519638472688   0.1310687766639138  0.021632710711519752  0.0117892550438441   -0.12378717796036305  -0.021424703877755143  -0.011727206333087025   0.11727206333087026  0.021220659078919377  0.011665807347049919   -0.11140846016432673  -0.02102046418194844  -0.011605047933784035   0.1061032953945969  0.02082401124566855  0.0115449181517437   -0.10128041833120613  -0.020631196326727174  -0.01148540826436358   0.09687692188202324  0.020441919296206743  0.01142650873480274   -0.09284038347027228  -0.020256083666241226  -0.011368210220849667   0.08912676813146139  0.02007359642600482  0.01131050356998241   -0.08569881551102057  -0.019894367886486915  -0.011253379814578458   0.0825247853069087  0.019718311533509152  0.011196830167269018   -0.07957747154594766  -0.01954534388847838  -0.011140846016432674   0.07683342080298394  0.01937538437640465  0.011085418921823555   -0.07427230677621785  -0.019208355200745986  -0.01103054061032938   0.07187642591246886  0.019044181224671237  0.010976202971854853   -0.0696302876027042  -0.018882789858360467  -0.010922398055326153   0.06752027888747075  0.018724110951987685  0.010869118064812364   -0.0655343883319569  -0.018568076694054463  -0.010816355355759881   0.06366197723675815  0.018414621514764747  0.010764102431335918   -0.061893588980181526  -0.018263681994151924  -0.010712351938877571   0.06022078927801446  0.018115196774687273  0.01066109666644275   -0.058636031665435136  -0.01796910647811722  -0.010610329539459689   0.057132543674013714  0.017825353626292277  0.010560043617471728   -0.05570423008216337  -0.01768388256576615  -0.01051023209097422   0.05434559032406182  0.017544639395956966  0.010460888278340538   -0.05305164769729845  -0.01740757190067605  -0.010412005622834276   0.051817888448524065  0.01727262948284136  0.010363577689704811   -0.050640209165603065  -0.017139763102204112  -0.010315598163363587   0.04951487118414522  0.017008925215927746  0.010268060844638409   -0.04843846094101164  -0.016880069721867688  -0.010220959648103371   0.0474078553890752  0.016753151904410037  0.010174288599481895   -0.04642019173513614  -0.016628128382735335  -0.010128041833120613   0.04547284088339867  0.016504957061381737  0.010082213589531831   -0.044563384065730696  -0.016383597082989226  -0.01003679821300241   0.0436895922213046  0.016264008783113394  0.009991790149266972   -0.042849407755510285  -0.016146153647003874  -0.009947183943243457   0.04204092836389688  0.016029994268248453  0.009902974236829044   -0.04126239265345435  -0.015915494309189537  -0.00985915576675458   0.04051216733248245  0.015802618463025067  0.009815723362495747   -0.03978873577297383  -0.015691332417510806  -0.00977267194423919   0.03909068777695675  0.015581602820185558  0.0097299965209019   -0.03841671040149197  -0.015473397245045381  -0.009687692188202325   0.03776557971672093  0.015366684160596791  0.009645754126781534   -0.037136153388108925  -0.015261432899222844  -0.009604177600372993   0.03652736398830385  0.015157613627799556  0.009562957954019463   -0.03593821295623444  -0.015055197319503616  -0.009522090612335618   0.0353677651315323  0.014954155726755267  0.00948157107781504   -0.0348151438013521  -0.014854461355243567  -0.009441394929180233   0.034279526204408224  0.014756087438983675  0.009401557819774408   -0.033760139443735376  -0.014659007916358784  -0.009362055475993843   0.033256256765470664  0.014563197407101535  0.009322883695759558   -0.03276719416597845  -0.014468631190172304  -0.009284038347027231   0.03229230729400775  0.014375285182493772  0.009245515366334169   -0.031830988618379075  -0.01428313591850343  -0.009207310757382374   0.03138266483502161  0.014192160530487481  0.00916942058965652   -0.030946794490090763  -0.014102336729661612  -0.009131840997075962   0.03052286579844568  0.014013642787965628  0.009094568176679734   -0.03011039463900723  -0.013926057520540842  -0.009057598387343638  № Значення № Значення № Значення   0.029708922710487133  0.013839560268860464  0.009020927948528481   -0.029318015832717568  -0.013754130884484784  -0.00898455323905861   0.02893726238034461  0.013669749713414323  0.008948470695929857   -0.02856627183700686  -0.01358639758101546  -0.00891267681314614   0.028204673459323225  0.013504055777494153  0.008877168140583803   -0.027852115041081683  -0.013422706043894785  -0.008841941282883075   0.027508261768969568  0.013342330558602004  0.00880699289836575   -0.02717279516203092  -0.013262911924324612  -0.008772319697978483   0.02684541208778957  0.013184433155541625  0.00873791844426092   -0.026525823848649224  -0.01310687766639138     0.02621375533278276  0.013030229258985582     Графік зміни спектру для заданої кількості коефіцієнтів: На рисунку приведено графіки дійсної та уявної частини комплексного частотного спектру заданого сигналу.
Рис.1. Графіки зміни спектру Отримані результати, обраховані в лабораторній роботі №3: Таблиця значень спектральних коефіцієнтів/i № Значення № Значення № Значення   0.02734375 87. 0.02734375+0.01549*%i  0.02734375-0.0163892*%i   -0.02734375-2.2280573*%i  -0.02734375-0.0150498*%i  -0.02734375+0.0168487*%i   0.02734375+1.1138609*%i  0.02734375+0.0146155*%i  0.02734375-0.0173152*%i   -0.02734375-0.7423875*%i  -0.02734375-0.0141869*%i  -0.02734375+0.0177891*%i   0.02734375+0.5565948*%i  0.02734375+0.0137637*%i  0.02734375-0.0182705*%i   -0.02734375-0.4450744*%i  -0.02734375-0.0133457*%i  -0.02734375+0.0187599*%i   0.02734375+0.3706902*%i  0.02734375+0.0129326*%i  0.02734375-0.0192576*%i   -0.02734375-0.3175265*%i  -0.02734375-0.0125244*%i  -0.02734375+0.019764*%i   0.02734375+0.2776258*%i  0.02734375+0.0121207*%i  0.02734375-0.0202795*%i   -0.02734375-0.2465669*%i  -0.02734375-0.0117213*%i  -0.02734375+0.0208044*%i   0.02734375+0.2216973*%i  0.02734375+0.0113262*%i  0.02734375-0.0213393*%i   -0.02734375-0.201329*%i  -0.02734375-0.010935*%i  -0.02734375+0.0218844*%i   0.02734375+0.1843366*%i  0.02734375+0.0105476*%i  0.02734375-0.0224404*%i   -0.02734375-0.1699411*%i  -0.02734375-0.010164*%i  -0.02734375+0.0230077*%i   0.02734375+0.1575859*%i  0.02734375+0.0097838*%i  0.02734375-0.0235869*%i   -0.02734375-0.146863*%i  -0.02734375-0.0094069*%i  -0.02734375+0.0241784*%i   0.02734375+0.1374663*%i  0.02734375+0.0090332*%i  0.02734375-0.0247829*%i   -0.02734375-0.1291617*%i  -0.02734375-0.0086625*%i  -0.02734375+0.025401*%i   0.02734375+0.1217672*%i  0.02734375+0.0082946*%i  0.02734375-0.0260334*%i   -0.02734375-0.1151391*%i  -0.02734375-0.0079295*%i  -0.02734375+0.0266807*%i   0.02734375+0.1091624*%i  0.02734375+0.007567*%i  0.02734375-0.0273438*%i   -0.02734375-0.1037439*%i  -0.02734375-0.007207*%i  -0.02734375+0.0280232*%i   0.02734375+0.0988076*%i  0.02734375+0.0068493*%i  0.02734375-0.02872*%i   -0.02734375-0.0942905*%i  -0.02734375-0.0064937*%i  -0.02734375+0.029435*%i   0.02734375+0.0901403*%i  0.02734375+0.0061402*%i  0.02734375-0.0301692*%i   -0.02734375-0.0863127*%i  -0.02734375-0.0057887*%i  -0.02734375+0.0309235*%i   0.02734375+0.0827707*%i  0.02734375+0.005439*%i  0.02734375-0.031699*%i   -0.02734375-0.0794824*%i  -0.02734375-0.005091*%i  -0.02734375+0.0324969*%i   0.02734375+0.0764207*%i  0.02734375+0.0047446*%i  0.02734375-0.0333185*%i   -0.02734375-0.073562*%i  -0.02734375-0.0043996*%i  -0.02734375+0.0341649*%i   0.02734375+0.070886*%i  0.02734375+0.0040561*%i  0.02734375-0.0350378*%i   -0.02734375-0.0683751*%i  -0.02734375-0.0037137*%i  -0.02734375+0.0359385*%i   0.02734375+0.0660137*%i  0.02734375+0.0033725*%i  0.02734375-0.0368688*%i   -0.02734375-0.0637881*%i  -0.02734375-0.0030324*%i  -0.02734375+0.0378304*%i   0.02734375+0.0616865*%i  0.02734375+0.0026931*%i  0.02734375-0.0388251*%i   -0.02734375-0.0596981*%i  -0.02734375-0.0023547*%i  -0.02734375+0.0398552*%i   0.02734375+0.0578135*%i  0.02734375+0.002017*%i  0.02734375-0.0409228*%i   -0.02734375-0.0560242*%i  -0.02734375-0.0016799*%i  -0.02734375+0.0420304*%i   0.02734375+0.0543227*%i  0.02734375+0.0013433*%i  0.02734375-0.0431805*%i   -0.02734375-0.0527022*%i  -0.02734375-0.0010071*%i  -0.02734375+0.0443761*%i   0.02734375+0.0511566*%i  0.02734375+6.713E-4*%i  0.02734375-0.0456203*%i   -0.02734375-0.0496803*%i  -0.02734375-3.356E-4*%i  -0.02734375+0.0469165*%i   0.02734375+0.0482685*%i  0.02734375  0.02734375-0.0482685*%i   -0.02734375-0.0469165*%i  -0.02734375+3.356E-4*%i  -0.02734375+0.0496803*%i   0.02734375+0.0456203*%i  0.02734375-6.713E-4*%i  0.02734375-0.0511566*%i   -0.02734375-0.0443761*%i  -0.02734375+0.0010071*%i  -0.02734375+0.0527022*%i   0.02734375+0.0431805*%i  0.02734375-0.0013433*%i  0.02734375-0.0543227*%i   -0.02734375-0.0420304*%i  -0.02734375+0.0016799*%i  -0.02734375+0.0560242*%i   0.02734375+0.0409228*%i  0.02734375-0.002017*%i  0.02734375-0.0578135*%i   -0.02734375-0.0398552*%i  -0.02734375+0.0023547*%i  -0.02734375+0.0596981*%i   0.02734375+0.0388251*%i  0.02734375-0.0026931*%i  0.02734375-0.0616865*%i   -0.02734375-0.0378304*%i  -0.02734375+0.0030324*%i  -0.02734375+0.0637881*%i   0.02734375+0.0368688*%i  0.02734375-0.0033725*%i  0.02734375-0.0660137*%i   -0.02734375-0.0359385*%i  -0.02734375+0.0037137*%i  -0.02734375+0.0683751*%i   0.02734375+0.0350378*%i  0.02734375-0.0040561*%i  0.02734375-0.070886*%i   -0.02734375-0.0341649*%i  -0.02734375+0.0043996*%i  -0.02734375+0.073562*%i   0.02734375+0.0333185*%i  0.02734375-0.0047446*%i  0.02734375-0.0764207*%i   -0.02734375-0.0324969*%i  -0.02734375+0.005091*%i  -0.02734375+0.0794824*%i   0.02734375+0.031699*%i  0.02734375-0.005439*%i  0.02734375-0.0827707*%i   -0.02734375-0.0309235*%i  -0.02734375+0.0057887*%i  -0.02734375+0.0863127*%i   0.02734375+0.0301692*%i  0.02734375-0.0061402*%i  0.02734375-0.0901403*%i   -0.02734375-0.029435*%i  -0.02734375+0.0064937*%i  -0.02734375+0.0942905*%i   0.02734375+0.02872*%i  0.02734375-0.0068493*%i  0.02734375-0.0988076*%i   -0.02734375-0.0280232*%i  -0.02734375+0.007207*%i  -0.02734375+0.1037439*%i   0.02734375+0.0273438*%i  0.02734375-0.007567*%i  0.02734375-0.1091624*%i   -0.02734375-0.0266807*%i  -0.02734375+0.0079295*%i  -0.02734375+0.1151391*%i   0.02734375+0.0260334*%i  0.02734375-0.0082946*%i  0.02734375-0.1217672*%i   -0.02734375-0.025401*%i  -0.02734375+0.0086625*%i  -0.02734375+0.1291617*%i   0.02734375+0.0247829*%i  0.02734375-0.0090332*%i  0.02734375-0.1374663*%i   -0.02734375-0.0241784*%i  -0.02734375+0.0094069*%i  -0.02734375+0.146863*%i  № Значення № значення № значення   0.02734375+0.0235869*%i  0.02734375-0.0097838*%i  0.02734375-0.1575859*%i   -0.02734375-0.0230077*%i  -0.02734375+0.010164*%i  -0.02734375+0.1699411*%i   0.02734375+0.0224404*%i  0.02734375-0.0105476*%i  0.02734375-0.1843366*%i   -0.02734375-0.0218844*%i  -0.02734375+0.010935*%i  -0.02734375+0.201329*%i   0.02734375+0.0213393*%i  0.02734375-0.0113262*%i  0.02734375-0.2216973*%i   -0.02734375-0.0208044*%i  -0.02734375+0.0117213*%i  -0.02734375+0.2465669*%i   0.02734375+0.0202795*%i  0.02734375-0.0121207*%i  0.02734375-0.2776258*%i   -0.02734375-0.019764*%i  -0.02734375+0.0125244*%i  -0.02734375+0.3175265*%i   0.02734375+0.0192576*%i  0.02734375-0.0129326*%i  0.02734375-0.3706902*%i   -0.02734375-0.0187599*%i  -0.02734375+0.0133457*%i  -0.02734375+0.4450744*%i   0.02734375+0.0182705*%i  0.02734375-0.0137637*%i  0.02734375-0.5565948*%i   -0.02734375-0.0177891*%i  -0.02734375+0.0141869*%i  -0.02734375+0.7423875*%i   0.02734375+0.0173152*%i  0.02734375-0.0146155*%i  0.02734375-1.1138609*%i   -0.02734375-0.0168487*%i  -0.02734375+0.0150498*%i  -0.02734375+2.2280573*%i   0.02734375+0.0163892*%i  0.02734375-0.01549*%i     -0.02734375-0.0159364*%i  -0.02734375+0.0159364*%i     На рисунках приведено графіки дійсних та уявних частин спектру заданого сигналу.
Рис.2. Порівняння реальних частин
Рис.3. Порівняння уявних частин Різниця між коефіцієнтами ряду Фур’є та дискретного перетворення Фур’є: Різниця між коефіцієнтами ряду Фур’є та дискретного перетворення Фур’є, зумовлена наступним: Нехай
,
. Тобто, пряме ДПФ наближає (за формулою чисельного інтегрування прямокутників) коефіцієнти розкладу сигналу в ряд Фур'є:
,
. При збільшенні
, зменшенні
, похибка (методу) такого представлення зменшується. Подібне має місце і при оберненому перетворенні, тобто наближенні сигналу відрізком ряду Фур'є, коли обмежуються границі підсумування в формулі (1). Вхідна послідовність за допомогою наближення рядом Фур’є для 256 коефіцієнтів та її графік: Таблиця вхідної послідовності отриманої за допомогою наближення рядом Фур’є. № Значення № Значення № Значення   -0.00877232*%i 87. -0.01326291*%i  -0.0271728*%i   0.00880699*%i  0.01334233*%i  0.02750826*%i   -0.00884194*%i  -0.01342271*%i  -0.02785212*%i   0.00887717*%i  0.01350406*%i  0.02820467*%i   -0.00891268*%i  -0.0135864*%i  -0.02856627*%i   0.00894847*%i  0.01366975*%i  0.02893726*%i   -0.00898455*%i  -0.01375413*%i  -0.02931802*%i   0.00902093*%i  0.01383956*%i  0.02970892*%i   -0.0090576*%i  -0.01392606*%i  -0.03011039*%i   0.00909457*%i  0.01401364*%i  0.03052287*%i   -0.00913184*%i  -0.01410234*%i  -0.03094679*%i   0.00916942*%i  0.01419216*%i  0.03138266*%i   -0.00920731*%i  -0.01428314*%i  -0.03183099*%i   0.00924552*%i  0.01437529*%i  0.03229231*%i   -0.00928404*%i  -0.01446863*%i  -0.03276719*%i  № Значення № Значення № Значення   0.00932288*%i  0.0145632*%i  0.03325626*%i   -0.00936206*%i  -0.01465901*%i  -0.03376014*%i   0.00940156*%i  0.01475609*%i  0.03427953*%i   -0.00944139*%i  -0.01485446*%i  -0.03481514*%i   0.00948157*%i  0.01495416*%i  0.03536777*%i   -0.00952209*%i  -0.0150552*%i  -0.03593821*%i   0.00956296*%i  0.01515761*%i  0.03652736*%i   -0.00960418*%i  -0.01526143*%i  -0.03713615*%i   0.00964575*%i  0.01536668*%i  0.03776558*%i   -0.00968769*%i  -0.0154734*%i  -0.03841671*%i   0.00973*%i  0.0155816*%i  0.03909069*%i   -0.00977267*%i  -0.01569133*%i  -0.03978874*%i   0.00981572*%i  0.01580262*%i  0.04051217*%i   -0.00985916*%i  -0.01591549*%i  -0.04126239*%i   0.00990297*%i  0.01602999*%i  0.04204093*%i   -0.00994718*%i  -0.01614615*%i  -0.04284941*%i   0.00999179*%i  0.01626401*%i  0.04368959*%i   -0.0100368*%i  -0.0163836*%i  -0.04456338*%i   0.01008221*%i  0.01650496*%i  0.04547284*%i   -0.01012804*%i  -0.01662813*%i  -0.04642019*%i   0.01017429*%i  0.01675315*%i  0.04740786*%i   -0.01022096*%i  -0.01688007*%i  -0.04843846*%i   0.01026806*%i  0.01700893*%i  0.04951487*%i   -0.0103156*%i  -0.01713976*%i  -0.05064021*%i   0.01036358*%i  0.01727263*%i  0.05181789*%i   -0.01041201*%i  -0.01740757*%i  -0.05305165*%i   0.01046089*%i  0.01754464*%i  0.05434559*%i   -0.01051023*%i  -0.01768388*%i  -0.05570423*%i   0.01056004*%i  0.01782535*%i  0.05713254*%i   -0.01061033*%i  -0.01796911*%i  -0.05863603*%i   0.0106611*%i  0.0181152*%i  0.06022079*%i   -0.01071235*%i  -0.01826368*%i  -0.06189359*%i   0.0107641*%i  0.01841462*%i  0.06366198*%i   -0.01081636*%i  -0.01856808*%i  -0.06553439*%i   0.01086912*%i  0.01872411*%i  0.06752028*%i   -0.0109224*%i  -0.01888279*%i  -0.06963029*%i   0.0109762*%i  0.01904418*%i  0.07187643*%i   -0.01103054*%i  -0.01920836*%i  -0.07427231*%i   0.01108542*%i  0.01937538*%i  0.07683342*%i   -0.01114085*%i  -0.01954534*%i  -0.07957747*%i   0.01119683*%i  0.01971831*%i  0.08252479*%i