МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ КАФЕДРА РАДІОТЕХНІКИ Лабораторна робота №2 З дисципліни «Теорія ймовірностей та математична статистика» ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ Перевірив: Асистент Клопотовський П.А. Виконали: Студент[ім’я автора приховано] Лопушанська В.Р. Хоменко В.В. Євтушенко І.О.   Черкаси 2014 ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ Мета роботи: ознайомитися з особливостями формування та опису випадкових величин. Засвоїти основні прийоми опису дискретних та безперервних випадкових величин в MathCad. Теоретичні відомості Разом з поняттям випадкової події в теорії ймовірності використовується і зручніше поняття випадкової величини. Випадковою величиною називається величина, що приймає в результаті досліду одне зі своїх можливих значень, причому заздалегідь невідомо, яке саме. Позначають випадкові величини заголовними буквами латинського алфавіту (Х, Y,Z,…), а їх можливі значення – відповідними малими буквами (xi, yi,…). Випадкова величина називається дискретною, якщо вона приймає окремі, ізольовані можливі значення з певною ймовірністю. Випадкова величина називається безперервною, якщо безліч її можливих значень цілком заповнює деякий кінцевий або нескінченний проміжок. Дискретні випадкові величини. Для надання дискретної випадкової величини потрібно знати її можливі значення і ймовірності, з якими приймаються ці значення. Відповідність між ними називається законом розподілу випадкової величини. Він може мати вид таблиці, формули або графіка. Таблиця, в якій перераховані можливі значення дискретної випадкової величини і відповідні їм ймовірності, називається рядом розподілу: Xi X1 X2 … Xn …  Pi P1 P2 … Pn …  Відмітимо, що подія, що полягає в тому, що випадкова величина прийме одне зі своїх можливих значень, є достовірною, тому
. Графічно закон розподілу дискретної випадкової величини можна представити у вигляді багатокутника розподілу – ламаною, що сполучає точки площини з координатами (xi, pi). Функція розподілу. Функцією розподілу F(x) випадкової величини Х називається ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, менше х: F (x) = p (X< x). Властивості функції розподілу. 1) 0 ≤ F(x) ≤ 1 Дійсно, оскільки функція розподілу є ймовірністю, вона може приймати тільки ті значення, які приймає ймовірність. 2) Функція розподілу є неубуваючою функцією, тобто F(x2) ≥ F(x1) при х2 > x1. Це витікає з того, що F(x2) = p(X < x2) = p(X < x1) + p(x1 ≤ X < x2) ≥ F(x1). 3)
,
Зокрема, якщо всі можливі значення Х лежать на інтервалі [а, b], то F(x)= 0 при х ≤ а і F(x)= 1 при х ≥ b. Дійсно, X < а – подія неможлива, а X < b – достовірна. 4) Ймовірність того, що випадкова величина прийме значення з інтервалу [а, b], рівна різниці значень функції розподілу на кінцях інтервалу: p (а < X < b) = F(b) – F(a). Справедливість цього твердження виходить з визначення функції розподілу (див. властивість 2). Для дискретної випадкової величини значення F(x) в кожній точці є сумою ймовірності тих її можливих значень, які менше аргументу функції. Визначення і властивості функції розподілу зберігаються і для безперервної випадкової величини, для якої функцію розподілу можна вважати одним з видів надання закону розподілу. Але для безперервної випадкової величини ймовірність кожного окремого її значення рівна 0. Це витікає з властивості 4 функції розподілу: р(Х=а)= F(a) – F(a)= 0. Тому для такої випадкової величини має сенс говорити тільки про ймовірність її попадання в деякий інтервал. Другим способом надання закону розподілу безперервної випадкової величини є так звана щільність розподілу (щільність ймовірності, диференціальна функція). Функція f(x), звана щільністю (густиною) розподілу безперервної випадкової величини, визначається по формулі: p (x) = F′(x) тобто є похідною функції розподілу. Властивості щільності розподілу. 1) p (x) ξ ≥ 0, оскільки функція розподілу є такою, що не убуває. 2)
що виходить з визначення щільності розподілу. 3) Ймовірність попадання випадкової величини в інтервал (а, b) визначається формулою
. Дійсно,
=
4)
(умова нормування). Її справедливість виходить з того, що
, а
. 5)
, оскільки F(x)→const при x→±∞. Таким чином, графік щільності розподілу є кривою, яка розташована вище за вісь Ох, причому ця вісь є її горизонтальною асимптотою при x→±∞ (останнє справедливо тільки для випадкових величин, безліччю можливих значень яких є вся безліч дійсних чисел). Площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком цієї функції, рівна одиниці. Повернемося до заданої на початку розділу випадкової величини. Функція розподілу випадкової величини з заданим розподілом має вигляд:
Приклад 2.1 Створити робочий документ MathCad з визначенням розподілу випадкової величини, її функції розподілу і графіком функції розподілу для випадкової величини з розподілом: X 0 0.1 0.5 1 1.1  P 0.1 0.2 0.45 0.2 0.05   При створенні документу використовуються такі інструменти MathCad: Розподіл випадкової величини збережений у матриці А. А1,I – значення випадкової величини, А2,I – відповідні ймовірності. Для створення матриці використовується панель Матриці:
Функцію розподілу, задану різними виразами на різних інтервалах, визначаємо так: розкриваємо панель програмних елементів
та панель знаків відношень
Вводимо ім’я функції F(x) і знак присвоювання := , клацаємо по кнопці Add Line панелі програмних елементів, вводимо в поміченій позиції відповідне значення, клацаємо по кнопці if панелі програмних елементів і вводимо нерівність, що визначає інтервал зміни аргументу. Символ ∞ можна ввести, використовуючи панель елементів матаналізу. Графік функції F(x) будуємо, використовуючи панель графічних елементів:
а саме першу її кнопку Декартів графік. Задавши компоненту графіка, проставимо її визначальні властивості: у центральному пункті осі Х ім’я змінної Х, у нижній лівій точці – нижню межу зміни Х мінус 0.1, у нижній правій точці верхню межу зміни Х 1.2, у центральному пункті осі Y ім’я змінної F(X). Клацнемо за межами графіка для його побудови. Відредагувати графік, вибравши вид ліній, спосіб простановки міток і т.д. можна, двічі по ньому клацнувши. В загальному випадку, визначення функції розподілу в MathCad можливе двома способами: з використанням імен змінних (дивись вище) з використанням конкретних значень цих змінних. Фрагмент документу MathCad з виконаними розрахунками, які описані вище матиме наступний вигляд:
Результати виконання лабораторної роботи Варіант 1 1. Реалізувати приклад наведений в теоретичних відомостях.


2. Створити робочий документ MathCad з визначенням розподілу дискретної випадкової величини, її функції розподілу і графіком функції розподілу для випадкової величини з розподілом: Xi 1 1.3 1.4 1.5 2.1 3.3 4 4.2  pi 0.1 0.2 0.05 0.2 0.15 0.05 0.2 0.05  


3. Створити робочий документ MathCad з визначенням функції розподілу F(x), щільності розподілу p(x) неперервної випадкової величини, її та їх графіками.




4. Створити робочий документ MathCad з визначенням щільності розподілу неперервної випадкової величини p(x), її функції розподілу F(x) та їх графіками. Параметр a знаходять врахувавши 4 властивість щільності розподілу (умову нормування), вирішивши відповідне рівняння (межі інтеграла в цьому випадку співпадають з межами х при ненульовій щільності розподілу). Значення функції розподілу знаходять врахувавши 2 властивість щільності розподілу.




Висновок: в ході виконання роботи ознайомлено з особливостями формування та опису випадкових величин. Засвоєно основні прийоми опису дискретних та безперервних випадкових величин в MathCad.