МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА» ІКТА кафедра ЗІ З В І Т до лабораторної роботи №1 з курсу: «Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів і систем» на тему: «Методи уточнення коренів нелінійних рівнянь» Варіант №3 Мета роботи – ознайомлення з методами уточнення коренів нелінійних рівнянь з одним невідомим. 1. Завдання Знайти корінь рівняння з граничною абсолютною похибкою Е = 10–4, відокремлений на відрізку [a, b]. Методи чисельного розв’язування задаються викладачем. Варіант Рівняння Відрізок  3 sin x – 1/x = 0 [1;1.5]  2. Короткі теоретичні відомості Метод Ньютона Метод послідовних наближень, розроблений Ньютоном, широко використовується при побудові ітераційних алгоритмів. Цей метод відомий своєю швидкою збіжністю (квадратичною збіжністю). Нехай корінь рівняння
відокремлений на відрізку
, причому
і
неперервні і зберігають сталі знаки на всьому відрізку
. Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому, що дуга кривої
замінюється дотичною до цієї кривої. Візьмемо деяку точку x0 відрізка [а, b] і проведемо в точці [x0, f(x0)] дотичну до цього графіку (в прикладі обрано x0=b).
Рис. 3 Її рівняння має вигляд:
. Візьмемо за перше наближення кореня точку перетину дотичної з віссю ОХ (y=0; x=x1 ), одержимо:
(8) Наступне наближення знаходимо відповідно за формулою
Узагальнена ітераційна формула методу Ньютона має вигляд
(9) Зазначимо, що початкове наближення
доцільно вибирати так, щоб виконувалась умова
(10) В протилежному випадку збіжність методу Ньютона не гарантується. Найчастіше
або
, в залежності від того, для якої із цих точок виконується умова (10). Метод Ньютона ефективний для розв’язування тих рівнянь, для яких значення модуля похідної
біля кореня достатньо велике, тобто графік функції
в околі даного кореня має велику крутизну. Метод Ньютона, як і метод хорд є методом одностороннього наближення. Причому якщо в методі хорд наближення відбувається справа, то в методі Ньютона – зліва, і навпаки. Алгоритм методу Ньютона 3. Блок-схема алгоритму програми
4. Текст програми using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; using System.Threading.Tasks; namespace ConsoleApplication2 { class Program { public static double f(double x) { return Math.Sin(x)-1/x; } public static double fp(double x) { double dx = 0.0001; return (f(x + dx) - f(x)) / dx; } public static double f2p(double x) { double dx = 0.0001; return (fp(x + dx) - fp(x)) / dx; } static void Main(string[] args) { double a, b, Eps, x, dx; int Kmax; Console.WriteLine("a="); a = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); Console.WriteLine("b="); b = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); Console.WriteLine("Vvedit tochnist Eps="); Eps = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); Console.WriteLine("Vvedit max kilkist iteratsiy Kmax="); Kmax = Convert.ToInt32(Console.ReadLine()); x = a; if (f(x) * f2p(x) < 0) { x = b; } if (f(x) * f2p(x) < 0) { Console.WriteLine("Zbizhnist ne garantuyetsya"); } for (int i = 1; i <= Kmax; i++) { dx = f(x) / fp(x); if (Math.Abs(dx) < Eps) { Console.WriteLine("x={0},\nKmax={1}", x, i); Console.ReadLine(); return; } x = x - dx; } Console.WriteLine("Za zadanu kilkist iteratsiy tochnist ne dosyagnuto"); Console.ReadLine(); return; } } } 5. Результати роботи програми