Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Розрахункова робота
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
ФМ
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2015
Тип роботи:
Розрахункова робота
Предмет:
Вища математика
Група:
Зі 22
Варіант:
3
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»
Розрахункова робота
з дисципліни: «Вища математика, ч.4.
Теорія ймовірностей та математична статистика»
3 варіант
Задано щільність розподілу випадкової величини :
, ;
, .
Знайти сталу , а також і якщо.
Розв’язання:
Стала з умови нормування:
,
( інтеграл від непарної функції по симетричному відрізку)
Тоді
Знайти характеристичну функцію для випадкової величини
, ;
, .
За знайденою характеристичною функцією знайти та
Розв’язання:
Характеристична функція:
Розкладаємо в ряд Тейлора до 2-го порядку:
Тоді коефіцієнт при : ,
Коефіцієнт при : ,
І тоді дисперсія :
а) Дано ,. Оцінити.
б) Послідовність незалежних випадкових величин задана законом розподілу:
Чи можна для цієї послідовності застосувати теорему Чебишова ?
Розв’язання:
а) Оцінимо: б) Знайдемо є не константа, всі різні, тому теорему Чебишева застосовувати не можна.
Дано розподіл двовимірного дискретного випадкового вектора :
-4
0
4
-2
0
0,2
-1
0,1
0,1
0,1
0,3
0
0,1
0,1
0
0,2
0,2
0,3
Знайти невідому сталу , розподіл компонент, коваріацію, коефіцієнт кореляції. Переві рити чи компоненти є незалежними.
Розв’язання:
Стала з умови нормування , отже
Розподіл компонент з останнього рядка і останнього стовпця розширеної таблиці:
-4
0
4
0,2
0,5
0,3
-2
-1
0
0,5
0,3
0,2
Обчислюємо характеристики:
Тоді коваріація:
І коефіцієнт кореляції:
Дано щільність двовимірного неперервного випадкового вектора :
, ;
, .
Знайти невідому сталу , розподіл компонент, коваріацію, умовну щільність компоненти за умови, що .
Розв’язання:
Стала з умови нормування:
, тому
Розподіл компонент:
,
,
,
,
Коваріація:
, бо , і - незалежні.
Умовна щільність:
,
,
Кількість відсутніх на заняттях у 25 групах 14 грудня виявилась такою: 4, 5, 4, 3,7, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 4, З, 5, 4, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 3, 2, 7, 2. Записати статистичний і варіаційний ряд. Знайти розмах вибірки, моду, медіану. Обчислити середнє значення, вибіркову і незміщену дисперсії, асиметрію, ексцес, коефіцієнт варіації, емпіричну функцію розподілу і полігон частот.
Розв’язання:
Статистичний ряд:
0
1
2
3
4
5
7
1
2
5
6
6
3
2
Варіаційний ряд ( 25 чисел в порядку зростання):
0112222233333344444455577
Мода:
( два сусідніх значення та мають найбільшу частоту 6)
Медіана:
(рівно 13-те значення варіаційного ряду, посередині із 25-ти значень).
Розмах вибірки:
Полігон частот:
/
Запишемо таблицю:
0
1
0
0
0
0
1
2
2
2
2
2
2
5
10
20
40
80
3
6
18
54
162
486
4
6
24
96
384
1536
5
3
15
75
375
1875
7
2
14
98
686
4802
25
83
345
1649
8781
3,32
13,8
65,96
351,24
В останньому рядку маємо початкові моменти вибірки перших чотирьох порядків.
Дисперсія:
Тоді центральні моменти вибірки для 3 і 4 порядків обчислимо:
Асиметрія:
Ексцес:
Коефіцієнт варіації:
Незміщена дисперсія:
Рейтинг студентів у навмання вибраній групі є таким: 13, 40, 80, 45, 98, 75, 48, 39, 85, 67, 39, 45, 38, 70, 79, 88, 98, 49, 85, 67, 39, 45, 64, 59, 55. Згрупувати дані. За згрупованими даними знайти середнє значення і порівняти його із дійсним середнім значенням. Побу дувати гістограму.
Розв’язання:
Дійсне середнє значення:
Число інтервалів групування:
Вибираємо . Тоді
Інтервальний розподіл:
Інтервал
[13,30)
[30,47)
[47,64)
[64,81)
[81,98]
1
8
5
6
5
центр інтервалу
21,5
38,5
55,5
72,5
89,5
Середнє груповане значення:
Бачимо, що та приблизно рівні.
Обчислимо:
Гістограма:
/
Методом моментів і методом максимальної правдоподібності знайти параметри
а) - біномного розподілу;
б) - геометричного розподілу;
в) - розподілу Пуассона
з реалізації вибірки завдання 6
Маємо дискретний розподіл
а) Маємо вибірку із елементів
За методом моментів теоретичні моменти треба прирівняти до статистичних моментів. Беремо 2 моменти 1 і 2 порядку, бо треба оцінити два параметри
Теоретичні моменти біноміального - розподілу є і , але зручніше брати і центральний момент другого порядку . Відповідні статистичні моменти, обчислені в задачі 6, є середнє та незміщена дисперсія .
Тоді з системи рівнянь:
маємо
звідки
та
За методом максимальної правдоподібності
Теоретичні ймовірності для біноміального розподілу рівні:
Утворюємо функцію правдоподібності:
Тоді
Оцінюємо 2 параметри . Тоді будемо мати 2 рівняння правдоподібності:
Поділивши на , отримали ,
звідки .
Друге рівняння правдоподібності:
Оскільки похідну від взяти не можна, то замінимо факторіали за формулою Стірлінга:
Тоді
Тоді
Перетворюємо друге рівняння правдоподібності:
Це рівняння розв’язати неможливо, тоді оскільки перше рівняння правдоподібності є , таке саме як в методі моментів, то вважатимемо, що друге рівняння є теж таке саме, і тому оцінки методу максимальної правдоподібності будуть такі самі як в методі моментів, а саме
б) для геометричного розподілу теоретичні ймовірності
,
Оцінюємо один параметр :
За методом моментів теоретичний момент 1 порядку :
Прирівнюємо перший статистичний момент до теоретичного , звідки , і тому
За методом максимальної правдоподібності
Функція правдоподібності:
. Тоді
Рівняння правдоподібності:
звідси ,
і отже оцінка
в) для розподілу Пуассона теоретичні ймовірності
,
За методом моментів при оцінці одного параметра прирівнюємо перший статистичний момент до теоретичного моменту:
Отже,
За методом максимальної правдоподібності
Утворюємо функцію правдоподібності:
Тоді
Рівняння правдоподібності:
, звідси
Методом моментів і методом максимальної правдоподібності знайти невідомі параметри
а) і рівномірного розподілу;
б) - показникового розподілу;
в) і нормального розподілу з реалізації вибірки завдання 7.
Досліджується неперервно розподілена величина.
а) для рівномірного розподілу теоретична ймовірнісна щільність розподілу:
1
18.04.2016 15:04-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора