Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Інші
Предмет:
Інформаційні технології
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Додаток 1
Розв'язок:
Перепишемо систему рівнянь в матричному вигляді і розв'яжемо її методом Гауса
-11
1
-6
-3
-9
-6
15
-4
3
4
1
1
11
1
-2
-4
1
1
-11
4
1-ий рядок ділимо на -11
1
-1/11
6/11
3/11
9/11
-6
15
-4
3
4
1
1
11
1
-2
-4
1
1
-11
4
від 2; 3; 4 рядків віднімаємо 1 рядок, помножений відповідно на -6; 1; -4
1
-1/11
6/11
3/11
9/11
0
159/11
-8/11
51/11
98/11
0
12/11
115/11
8/11
-31/11
0
7/11
35/11
-109/11
80/11
2-ий рядок ділимо на 159/11
1
-1/11
6/11
3/11
9/11
0
1
-8/159
17/53
98/159
0
12/11
115/11
8/11
-31/11
0
7/11
35/11
-109/11
80/11
від 1; 3; 4 рядків віднімаємо 2 рядок, помножений відповідно на -1/11; 12/11; 7/11
1
0
86/159
16/53
139/159
0
1
-8/159
17/53
98/159
0
0
557/53
20/53
-185/53
0
0
511/159
-536/53
1094/159
3-ий рядок ділимо на 557/53
1
0
86/159
16/53
139/159
0
1
-8/159
17/53
98/159
0
0
1
20/557
-185/557
0
0
511/159
-536/53
1094/159
від 1; 2; 4 рядків віднімаємо 3 рядок, помножений відповідно на 86/159; -8/159; 511/159
1
0
0
472/1671
587/557
0
1
0
539/1671
334/557
0
0
1
20/557
-185/557
0
0
0
-17092/1671
4427/557
4-ий рядок ділимо на -17092/1671
1
0
0
472/1671
587/557
0
1
0
539/1671
334/557
0
0
1
20/557
-185/557
0
0
0
1
-13281/17092
від 1; 2; 3 рядків віднімаємо 4 рядок, помножений відповідно на 472/1671; 539/1671; 20/557
1
0
0
0
5441/4273
0
1
0
0
14533/17092
0
0
1
0
-1300/4273
0
0
0
1
-13281/17092
Відповідь:
x1 = 5441/4273
x2 = 14533/17092
x3 = -1300/4273
x4 = -13281/17092
Додаток 3
19. Інтегральна квадратична апроксимація на відрізку.
47. Зведення задачі інтегрування системи звичайних диференціальних рівнянь до послідовності задач інтегрування диференціальних рівнянь першого класу.
Інтегральна квадратична апроксимація на відрізку.
Поняття про наближення функцій
Нехай величина "y" є функцією аргумента "х", тобто будь−якому значенню "х" з області визначення поставлено у відповідність значення "у".
На практиці досить часто бувають випадки, коли неможливо записати зв'язок між "х" та "у" у вигляді деякої залежності у = f(x). Най-більш поширеним випадком, коли вид зв'язку між параметрами х та у невідомий, є задання цього зв'язку у вигляді таблиці {xi, yi}. Це означає, що дискретній множині значень аргумента {xi} поставлена у відповідність множина значень функції {yi} (і=). Цими значеннями можуть бути, наприклад, експериментальні дані. На практиці можуть бути потрібні значення величини у і в інших точках, відмінних від вузлів xi. Однак одержати ці значення можна тільки експериментальним шляхом, що не завжди зручно і вигідно.
З точки зору економії часу та засобів доцільно було б використати наявні табличні дані для наближеного обчислення шуканого параметра "у" при будь−якому значенні (з деякої області, звичайно) визначального параметра "х", оскільки точний зв'язок у = f(x) невідомий.
Цій меті служить задача про наближення (апроксимацію) функцій:
– дану функцію f(x) потрібно наближено замінити (апроксимувати) деякою функцією φ(х) так, щоб відхилення (в певному розумінні) φ(х) від f(x) в заданій області було найменшим. При цьому функція φ(х) називається апроксимуючою.
Наприклад, в тому випадку, коли функція f(x) задається у вигляді таблиці значень, задача апроксимації полягає в наступному: за табличними даними підібрати таку аналітичну залежність φ(х), яка мала б просту структуру, згладжувала б особливості заданої експериментальної таблиці і найкращим чином відбивала б загальний хід зміни f(x) в середньому. Тобто основна мета апроксимації – одержати швидкий (економний) алгоритм обчислення значень f(x) для значень x, що не містяться в таблиці даних. Основне питання апроксимації – як вибрати φ(х) і як оцінити відхилення φ(х) від f(x) .
На практиці досить часто φ(х) вибирається з класу алгебраїчних поліномів (многочленів)
φ(х)=a0 + a1x + a2x2 +…+ amxm (1)
Якщо початкова функція задана таблично, тобто на множині окремих точок, то апроксимація називається точковою. Якщо ж початкова функція задана на неперервній множині точок (наприклад, на відрізку [a; b]), то апроксимація називається інтегральною (неперервною).
Одним з основних типів точкової апроксимації є інтерполяція. Вона полягає в наступному: для даної функції у = f(x) будуємо функцію φ(х), яка в заданих точках хі (і =) приймає ті ж значення, що і функція f(x), тобто
φ(хі) = f(xi),
а в решті точок відрізку [a; b] з області визначення f(x), наближено представляє f(x) з деякою похибкою. Точки xі називають вузлами інтерполяції, а φ(х) – інтерполюючою функцією. Найчастіше інтерполюючу функцію φ(х) виражають через алгебраїчний многочлен степені m.
Інтерполяція в цьому випадку називається алгебраїчною. Якщо використовується один многочлен φ(х) = Pn(x) для інтерполяції функції f(х) на всьому інтервалі зміни аргумента х, тобто коли m = n (m – максимальний степінь інтерполяційного многочлена), то це – глобальна інтерполяція.
Інтерполяційні многочлени можуть будуватися окремо для різних частин інтервалу зміни х. В цьому випадку маємо кускову (локальну) інтерполяцію. Як правило, інтерполяційні многочлени використовують для апроксимації функцій у проміжних точках між крайніми вузлами інтерполяції, тобто х0 < х < хn. Однак іноді вони використовуються і для наближеного обчислення функції зовні інтервалу (х < х0, x > хn). Це наближення називається екстраполяцією.
Таким чином, при інтерполюванні основною умовою є проходження графіка інтерполяційного многочлена через дані значення функції у вузлах інтерполяції. Однак виконання цієї умови в деяких випадках є недоцільним. Наприклад, при великому числі вузлів інтерполяцї одержуємо високу степінь полінома у випадку глобальної інтерполяції (це пов’язано з рядом неприємностей – осциляція функції). Крім того, табличні дані можуть містити в собі похибки (якщо ці дані одержані шляхом вимірювань). Отже, інтерполюючий многочлен теж повторював би ці похибки. Вихід із цього становища може бути знайдений вибором такого многочлена, графік якого близько проходить від даних точок.
Поняття “близько” уточнюється при розгляді окремих видів наближення.
Середньо-квадратичне наближення. Степінь полінома m при цьому, як правило, значно менша від n. На практиці не вище 5,6. Мірою відхилення многочлена φ(х) від заданої функції f(х) на множині точок (xi, yi) (і =) є величина S, яка дорівнює сумі квадратів різниць між значеннями многочлена та функції в даних точках
При побудові апроксимуючого многочлена потрібно підібрати коефіцієнти а0, а1, … , аm так, щоб величина S була мінімальна. В цьому полягає ідея методу найменших квадратів.
Рівномірне наближення. В багатьох випадках, особливо при обробці експериментальних даних, середньоквадратичне наближення зручне, оскільки воно згладжує деякі неточності функції f(х) і дає достатньо правильне уявлення про неї. Однак, іноді ставиться більш жорстка умова і вимагається, щоб у всіх точках деякого відрізку [a, b] модуль відхилення многочлена φ(х) від f(х) був менший від деякого ε
|f(x) – φ(х)| < ε,
В цьому випадку маємо рівномірну апроксимацію. Тепер введемо такі поняття. Абсолютним відхиленням Δ многочлена φ(х) від функції f(х) на відрізку [a, b] називається максимальне значення абсолютної різниці між ними на даному відрізку:
Δ = max | f(х) – φ(х)| ,
За аналогією можна ввести середньоквадратичне відхилення
.
На малюнку показано відмінність цих двох видів наближень.
рівномірне середньоквадратичне
Існує також поняття найкращого наближення функції f(х) многочленом φ(х) фіксованої степені m. В цьому випадку коефіцієнти многочлена а0, а1, … , аm слід вибирати так, щоб на заданому відрізку [a, b] значення абсолютного відхилення Δ було мінімальне. Многолен φ(х) при цьому називається многочленом найкращого рівномірного наближення.
Інтерполяція
Під апроксимацією розуміють операцію знаходження невідомих чисельних значень якоїсь величини за відомими її значеннями і чисельними значеннями інших величин, які пов’язані з розглядуваною.
Інтерполяція - частковий випадок апроксимації. Нехай в точках х0, х1, х2, … , хn відомі значення f(x0), f(x1), f(x2)… f(xn) деякої функції f(x). Потрібно відновити функцію f(x) при інших значеннях х ≠ хі (і = 0, 1, 2, … , n). У цьому випадку будують достатньо просту для обчислення функцію φ(х), яка в заданих точках х0, х1, х2, … , хn приймає значення f(x0), f(x1), f(x2), …, f(xn), а в решті точках відрізку [a, b] (область визначення f(x) ), наближено представляє f(x) з деякою точністю. Задача побудови φ(х) називається задачею інтерполювання. Найчастіше інтерполюючу функцію φ(х) виражають через алгебраїчний многочлен деякої степені n.
Якщо аргумент х знаходиться зовні відрізку [a, b], то поставлена задача називається екстраполюванням (екстраполяція).
Інтерполяція в цьому випадку називається алгебраїчною. Алгебраїчне інтерполювання функції y = f(x) на відрізку [a, b] полягає в наближеній заміні цієї функції на даному відрізку многочленом Рn(х) степені n, тобто
f(x) ≈ Рn(х), (1)
причому в точках х0, х1, х2, … , хn, f(xі) = Рn(хі), (і=).
Відмітимо, що двох різних інтерполяційних многочленів одної й тої ж степені n існувати не може. Якщо вважати протилежне, приходимо до висновку, що різниця двох таких многочленів, що є многочленом степені не вище n, має n + 1 корінь, а отже тотожно дорівнює нулю.
Інтерполяційний поліном Лагранжа
Поставимо задачу: знайти многочлен степені Рn(x) степені n, котрий в n + 1 даних точках х0, х1, х2, … , хn (ці точки називаються вузлами інтерполяції) приймає дані значення у0, у1, … , уn.
Для побудови Рn(х) спочатку розглянемо допоміжні (іноді їх називають фундаментальні) многочлени Qnk(х), тобто многочлени n-ї степені відносно х, котрі задовільняють таким умовам:
при , (к=).
Ця властивість означає, що, наприклад, многочлен Qn0(x) приймає в точці х0 значення, рівне одиниці, а в решті вузлів – нуль; многочлен Qn1(x) в вузлі х1 приймає значення 1, а в решті – нуль і т. д. В загальному випадку многочлен Qnі(x) в вузлі хі приймає значення 1, а в решті вузлів 0. Тоді шуканий многочлен:
Рn(x) = y0Qn0(x) + y1Qn1(x) + y2Qn2(x) + … + ynQnn(x) (2).
Оскільки х0, х1, х2, … , хк-1, хк+1, … , хn – нулі многочлена Qnk(x), то
Qnk(x) = ck(x – x0)(x – x1)(x – x2) … (x – xk-1)(x – xk+1) … (x – xn)
(це просто інша форма запису полінома степені n).
Визначаючи ск з умови Qnk(xк) = 1, одержимо вираз для ск (замість х підставляємо хк)
(2)
Тоді явний вираз для допоміжних многочленів
(3)
Формула (2) з врахуванням (3) приймає вигляд :
(4)
Многочлен, що визначається за формулою (4) називається інтерполяційним многочленом Лагранжа, а допоміжні многочлени (3) – коефіцієнтами Лагранжа.
Введемо позначення
Розглянемо похідну в точці хк
Звідси
Розглянемо інтерполяційну формулу Лагранжа для випадку рівновіддалених вузлів інтерполяції, тобто х1 – х0 = х2 – х1 =…= xn – xn-1 = h. Зробимо заміну x = ht + x0, тоді
t0 = 0; t1 = 1; t2 = 2; … tn = n
x – xk = h(t – k), ((x)=nn+1(*(t)
(*(t) = t(t – 1)(t – 2) … (t – n)
('(xk) = (–1)n-kk!(n – k)!hn
f(x) = f(ht + x0) ( t(t – 1)(t – 2) … (t – n)*
47. Зведення задачі інтегрування системи звичайних диференціальних рівнянь до послідовності задач інтегрування диференціальних рівнянь першого класу.
Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані відносно похідної
1. Поняття диференціального рівняння, його порядок.
Означення 1. Рівняння вигляду
(1)
називається диференціальним рівнянням (наявність похідних тут обов’язкова).
Означення 2.Найбільший порядок похідної, яка входить в диференціальне рівняння (2.1) називається порядком диференціального рівняння.
Означення 3.Функція називається розв’язком (або інтегралом) диференціального рівняння (2.1), якщо вона n-раз неперервно диференційовна на деякому інтервалі і задовільняє диференціальному рівнянню (1) .
Приклад 1. - диференціальне рівняння другого порядку.
При диференціальне рівняння (1) називається диференціальним рівнянням першого порядку і позначається
. (2)
Диференціальне рівняння (2) називається розв’язаним відносно похідної, якщо його можна представити у вигляді
. (3)
Припускаємо, що однозначна і неперервна в деякій області D змінних x,y. Цю область називають областю визначення диференціального рівняння (3).
Якщо в деякій області функція перетворюється в , то розглядають диференціальне рівняння
.
Множину таких точок, а також тих, в яких не визначена, але може бути довизначена до неперервності, будемо приєднувати до області визначення диференціального рівняння (3).
Поряд з (3) будемо розглядати еквівалентне диференціальне рівняння, записане в диференціалах
(4)
або в більш загальному виді
(5)
Інколи розглядатимемо диференціальне рівняння в симетричній формі
(6)
Функції будемо вважати неперервними в деякій області.
Означення 4.Розв’язком диференціального рівняння (3) в інтервалі І назвемо функцію , визначену і неперервно диференційовну на І, яка не виходить з області означення функціїі яка перетворює диференціальне рівняння (3) в тотожність , тобто
Розв’язок називається розв’язком, записаним в явній формі (вигляді).
Процес знаходження розв’язку диференціального рівняння називається інтегруванням.
Не завжди можна отримати розв’язок в явному вигляді.
Означення 5.Будемо говорити, що рівняння
(7)
визначає в неявній формі розв’язок диференціального рівняння (3), якщо воно визначає , яка є розв’язком диференціального рівняння (3).
При цьому на розв’язках диференціального рівняння (3) виконується
. (8)
Означення 6Будемо говорити, що співвідношення
(9)
визначають розв’язок диференціального рівняння (3) в параметричній формі на інтервалі , якщо
. (10)
2. Задача Коші.
Розглянемо диференціальне рівняння (3). Задача Коші заключається в тому, щоб серед всіх розв’язків диференціального рівняння (3) знайти такий , який проходить через задану точку
(11)
Тут - початкове значення незалежної змінної, - функції.
Розв’язати задачу Коші з геометричної точки зору означає (рис. 1) : знайти серед усіх інтегральних кривих диференціального рівняння (3) ту, яка проходить через задану точку .
Означення 7. Будемо говорити, що задача Коші (3), (11) має єдиний розв’язок, якщо число h>0, що на відрізку визначений розв’язок такий, що і не існує другого розв’язку, визначеного в цьому ж інтервалі і не співпадаючого з розв’язком хоча б в одній точці інтервалу , відмінній від точки .
Якщо задача Коші (3), (11) має не один розв’язок або ж зовсім його не має, то говорять, що в точці порушується єдиність розв’язку задачі Коші.
При постановці задачі Коші ми припускаємо, що - обмежені числа, а диференціальне рівняння (3) в точці задає деякий напрямок поля, який не паралельний осі ОУ.
Якщо права частина диференціального рівняння (3) в точці М приймає нескінченне значення, необхідно розглянути диференціальне рівняння (3) і знайти розв’язок (рис. 2)
Рис. 2
Якщо ж в точці М права частина диференціального рівняння (3) має невизначеність, наприклад, типу , тоді звичайна постановка задачі Коші не має смислу, так як через точку М не проходить жодна інтегральна крива. В цьому випадку задача Коші ставиться так : знайти розв’язок (або ), який примикає до точки М.
В деяких випадках треба шукати розв’язок , який задовольняє умовам при при і т.д.
Теорема Пікара.Припустимо, що функція (без доведення) в диференціальному рівнянні (3) визначена і неперервна в обмеженій області
і, отже, вона є обмеженою
(12)
функція має обмежену частинну похідну по у на D
. (13)
При цих умовах задача Коші (3), (11) має єдиний неперервно-диференційовний розв’язок в інтервалі
(14
Зауваження 1.В сформульованій теоремі умову (13) можна послабити (замінити) на те, щоб функція по змінній у задовольняла умові Ліпшіца, тобто
. (15)
Тут L>0 - найменша константа яка задовольняє (15) і називається константою Ліпшіца .
Теорема Пеано.Якщо функція (про існування розв’язку). є неперервною на D, то через кожну точку проходить, по крайній мірі, одна інтегральна крива.
Якщо функція диференційовна і задовольняє (13), то вона задовольняє умові Ліпшіца, з L=K.
Функція може зодовольняти умові Ліпшіца, але не бути диференційовною і, отже, не буде задовольняти (13). Наприклад, .
3. Поняття загального розв’язку, форми його запису.
На прикладах можна переконатися, що диференціальне рівняння (3) має нескінченну множину розв’язків, яка залежить від деякого параметру с
(16)
Це сімейство і називається загальним розв’язком диференціального рівняння (3). При кожному с (16) дає інтегральну криву.
Для розв’язування задачі Коші (3), (11) параметр с можна знайти з рівняння .
Дамо точне визначення загального розв’язку. Припустимо, що на D виконуються умови теореми Пікара.
Означення 8.Функцію
(17)
визначену в деякій області змінних х і с, і яка має неперервну частинну похідну по х будемо називати загальним розв’язком диференціального рівняння (3) в області D, якщо рівняння (17) можна розв¢язати відносно с в області D
(18)
і функція (17) є розв’язком диференціального рівняння (3) при всіх значеннях довільної сталої с, які визначаються формулою (18) коли .
Суть означення 8 в наступному. Припустимо, що задано сімейство кривих F на області D, яке залежить від одного параметра С. Якщо будь-яка крива із F є інтегральною кривою диференціального рівняння (3) і всі криві із F в сукупності покривають D, то F є розв’язком диференціального рівняння (3) в області D (рис. 3).
Рис. 3
Для розв’язування задачі Коші константу С
можна знайти згідно
. (18)
Інколи в формулі (17) роль С грає у0, тоді говорять, що розв’язок представлений у формі Коші
. (19)
Приклад 2. Знайти розв’язок диференціального рівняння
у формі Коші. Загальний розв’язок В указаній області виконуються умови теореми Пікара. Звідки
- розв’язок в формі Коші.
В більшості випадків при інтегруванні диференціального рівняння (3) ми отримуємо загальний розв’язок в неявній формі
(або , (20)
який називається загальним інтегралом диференціального рівняння (3).
Означення 9.Будемо називати співвідношення (20) загальним розв’язком в неявній формі або загальним інтегралом в області D, якщо співвідношенням (20) визначається загальний розв’язок (17) диференціального рівняння (3) в області D.
З означення випливає, що (18) - загальний інтеграл диференціального рівняння (3) в області D.
Інколи при інтегруванні отримуємо сімейство інтегральних кривих, залежне від С, в параметричній формі.
(21)
Таке сімейство інтегральних кривих будемо називати загальним розв’язком диференціального рівняння (3) в параметричній формі.
Якщо в (21) виключити t, то отримаємо загальний розв’язок в неявній або явній формі.
4. Частинні і особливі розв’язки. Знаходження кривих, підозрілих на особливість розв’язку, по диференціальному рівнянню
Означення 10.Розв’язок, який складається з точок єдиності розв’язку задачі Коші називається частинним і його можна отримати з загального при фіксованому С.
Розв’язок задачі Коші, який задовольняє теоремі Пікара, є частинний розв’язок.
Означення 11.Розв’язок, в кожній точці якого порушується єдиність розв’язку задачі Коші, будемо називати особливим.
Геометрично особливому розв’язку відповідають інтегральні криві, які не містяться в загальному розв’язку. Тому особливий розв’язок не може існувати всередині області D існування загального розв’язку. Його не можна отримати з формули загального розв’язку ні при яких числових значеннях С, включаючи . Його можна отримати з загального розв’язку лиш при .
Існують ні частинні ні особливі розв’язки. Їх можна отримати шляхом склеювання кусків частинних і особливих розв’язків.
Рис. 4
Приклад 3.Знайти особливий розв’язок диференціального рівняння
,
.
Отримали загальний розв’язок в області , в якій виконуються умови теореми Пікара. Але розв’язком буде , який ми отримуємо при . Він не міститься в загальному розв’язку при жодному фіксованому С. Отже, згідно означення - особливий розв’язок.
Якщо неперервна на D, то умови підозрілі на особливий розв’язок : необмеженість похідної . Знайшовши таку криву в подальшому треба переконатися :
вона являється інтегральною кривою; 1)
перевірити, що в кожній її точці порушується єдиність розв’язку. 2)
В прикладі 2. при . Поскільки - розв’язок і через нього проходять інтегральні криві з загального розв’язку, то - особливий розв’язок.
Приклад 4.Розглянемо диференціальне рівняння
при . Але не є розв’язком диференціального рівняння, тому і не є особливим розв’язком.
Припустимо, що диференціальне рівняння має однопараметричне сімейство інтегральних кривих . Тоді, якщо це сімейство має обвідну, тобто лінію, яка в кожній точці дотикається сімейства і ні на якому участку не співпадає ні з одною кривою сімейства. Ця обвідна і буде особливим розв’язком. Дійсно через довільну її точку проходить по крайній мірі два розв’язки : обвідна і сам розв’язок.
5. Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.
Нехай
(22)
загальний розв’язок загального диференціального рівняння (3) в області D, в якій виконуються умови теореми Пікара. Тоді на D рівняння (22) можна розв’язати відносно С
. (23)
Функція приймає постійні значення на довільному частинному розв’язку з D, причому значення постійної визначається частинним розв’язком
. (24)
Означення 12.Функція (перше означення інтегралу) , визначена на D і яка не зводиться до константи, називається інтегралом диференціального рівняння (3) в області D, якщо на довільному частинному розв’язку з D, ця функція приймає постійні значення.
Припустимо, що - диференційовна функція. Тоді на довільному частинному розв’язку
(25)
або
(26)
При цьому на D так як в противному . А це означає, що поле диференціального рівняння (3) в відповідній точці не задано.
Означення 13.Функція (друге означення інтегралу). , визначена і неперервна з частинними похідними в області D і така, що в області D, називається інтегралом диференціального рівняння (3) в області D, якщо повний її диференціал, взятий в силу диференціального рівняння (3), тотожньо дорівнює нулю в області D.
З (26) випливає, що
(27)
Функція, яка є інтегралом в смислі означення 12 буде інтегралом і в смислі означення 13. Навпаки не завжди так.
Якщо диференціальне рівняння (3) має один інтеграл, то воно має безліч інтегралів.
Теорема 1.Якщо (про загальний вигляд інтегралу) інтеграл диференціального рівняння (3) в області D і функція диференційовна в D, а - довільна функція визначена і неперервно-диференційовна в області зміни функції коли , то
(28)
є інтегралом диференціального рівняння (3) в області D.
Доведення.
,
причому в області D. Маємо
(29)
З (29) випливає, що - інтеграл диференціального рівняння (3) згідно означення.
Теорема 2.Нехай (про залежність двох інтегралів) два інтеграли диференціального рівняння (3). Тоді існує неперервно диференційовна функція F, що
. (30)
Доведення.Поскільки інтеграли, то
(31)
З (31) випливає, що
. (32)
Формально (32) можна отримати визначаючи dy з одного рівняння системи (31) і підставляючи в друге рівняння. З функціонального аналізу відомо, що з умови (32) витікає (30).
23.05.2016 19:05-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора