Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
КН
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2014
Тип роботи:
Розрахунково - графічна робота
Предмет:
Чисельні методи
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»
Розрахунково-графічна робота
з курсу «Чисельні методи»
Варіант 9
ЗАВДАННЯ
Розв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса за схемою Халецького наведену у Додатку 1 згідно варіанту індивідуального завдання отриманого у викладача. Навести хід розв’язку. Здійснити перевірку розв’язку СЛАР за допомогою 2 ітерацій методом простої ітерації. Написати програму.
Побудувати графік функції наведеної у додатку 2 згідно варіанту індивідуального завдання отриманого у викладача. На заданому інтервалі для 5 різних точок побудувати інтерполяційний поліном (степінь див. додаток 2). За допомогою інтерполяційного полінома дослідити вплив степені полінома на точність одержаних результатів. Навести хід розв’язку. Написати програму
Дати розгорнуту відповідь на контрольні запитання наведені у додатку 3.
Варіант9:
Додаток 1:9
Додаток 2:№ вар.11,степ.пол.5, степ.пол.6
Додаток 3:1 пит.-47,2 пит.-19
47. Зведення задачі інтегрування системи звичайних диференціальних рівнянь до послідовності задач інтегрування диференціальних рівнянь першого класу.
19. Інтегральна квадратична апроксимація на відрізку.
Завдання 1
9.
Хід розв’язку:
Заповнюю таблицю коефіцієнтів і таблицю вільних членів, відповідно до завдання;
Отримую розв’язок системи рівнянь за методом Гауса
Задаюточність обчислення для методу простих ітерацій;
Знаходжу розв’язки системи рівнянь за допомогою методу простих ітерацій, а також ітерацію, на якій цей розв’язок було знайдено;
Результати даних дій почергово виводяться на екран, для методу простих ітерацій на екран виводяться матриці знормованої системи;
Аналізую отримані результати;
Код програми (MATLAB)
clear all;
clc;
disp('Таблиця коефіцієнтів:')
A=[-11 1 -6 4; -6 15 -4 3; 1 1 11 1; -4 1 1 -11]
disp('Таблиця вільних членів:')
B=[-9; 4; -2; 4]
r=4;
disp('Метод Гауса')
Od=rref([A B]); %отримання одиничної матриці з розширеної
X=Od(1:r,(r+1)) %корені системи рівнянь
disp('Метод простих ітерацій')
%зведення системи до нормальної
AA=A'*A;
BB=A'*B;
e=0.00001;
t=0;
iter=0;
% кількість ітерацій
disp('Матриця A знормованої системи(A"A)');
disp(AA); %вивід матриці коефіцієнтів
disp('Матриця B знормованої системи(A"B)');
disp(BB); %вивід матриці вільних членів
NumIter=30;
for i=1:4,
for j=1:4,
if i==j
c(i,j)=0;
else
c(i,j)=-AA(i,j)/AA(i,i);
end;
end;
end;
for i=1:4,
d(i)=BB(i)/AA(i,i);
end;
for i=1:4,
sum1=0;
for j=1:4,
sum1=sum1+c(i,j);
end;
s1(i)=sum1;
end;
for i=2:4,
if s1(i)>sum1
sum1=s1(i);
end;
end;
if abs(sum1)<1
for i=1:4,
x0(i)=d(i);
end;
for i=1:4,
s=0;
for j=1:4,
s=s+c(i,j)*x0(j);
end;
xk(i)=s;
end;
for i=1:4,
xk(i)=xk(i)+d(i);
end;
while((t<4)||(t>4))
iter=iter+1;
for i=1:4,
x0(i)=xk(i);
z(i)=x0(i);
end;
for i=1:4,
s=0;
for j=1:4,
s=s+c(i,j)*z(j);
xk(i)=s+d(i);
z(i)=xk(i);
end;
end;
t=0;
for i=1:4,
if(abs(xk(i)-x0(i))<e)
t=t+1;
end;
if t==4
for j=1:4,
disp(['X',num2str(j),' = ', num2str(xk(j))]);
end;
disp(['Ітерація ',num2str(iter)]);
end;
end;
end;
else
disp('Система не вирішена');
end;
clear all;
clc;
disp('Таблиця коефіцієнтів:')
A=[-3 1 -11 4; -4 -3 -3 0; 1 -7 -13 -2; 4 -5 3 -4 ]
disp('Таблиця вільних членів:')
B=[1; -4; -1; 0]
r=4;
disp('Метод Гауса')
Od=rref([A B]); %отримання одиничної матриці з розширеної
X=Od(1:r,(r+1)) %корені системи рівнянь
disp('Метод простих ітерацій')
%зведення системи до нормальної
AA=A'*A;
BB=A'*B;
e=0.00001;
t=0;
iter=0;
% кількість ітерацій
disp('Матриця A знормованої системи(A"A)');
disp(AA); %вивід матриці коефіцієнтів
disp('Матриця B знормованої системи(A"B)');
disp(BB); %вивід матриці вільних членів
NumIter=30;
for i=1:4,
for j=1:4,
if i==j
c(i,j)=0;
else
c(i,j)=-AA(i,j)/AA(i,i);
end;
end;
end;
for i=1:4,
d(i)=BB(i)/AA(i,i);
end;
for i=1:4,
sum1=0;
for j=1:4,
sum1=sum1+c(i,j);
end;
s1(i)=sum1;
end;
for i=2:4,
if s1(i)>sum1
sum1=s1(i);
end;
end;
if abs(sum1)<1
for i=1:4,
x0(i)=d(i);
end;
for i=1:4,
s=0;
for j=1:4,
s=s+c(i,j)*x0(j);
end;
xk(i)=s;
end;
for i=1:4,
xk(i)=xk(i)+d(i);
end;
while((t<4)||(t>4))
iter=iter+1;
for i=1:4,
x0(i)=xk(i);
z(i)=x0(i);
end;
for i=1:4,
s=0;
for j=1:4,
s=s+c(i,j)*z(j);
xk(i)=s+d(i);
z(i)=xk(i);
end;
end;
t=0;
for i=1:4,
if(abs(xk(i)-x0(i))<e)
t=t+1;
end;
if t==4
for j=1:4,
disp(['X',num2str(j),' = ', num2str(xk(j))]);
end;
disp(['Ітерація ',num2str(iter)]);
end;
end;
end;
else
disp('Система не вирішена');
end;
disp(['Метод зейделя'])
%зведення системи до нормальної
disp('Матриця A знормованої системи(A"A)');
disp(AA); %вивід матриці коефіцієнтів
disp('Матриця B знормованої системи(A"B)');
disp(BB); %вивід матриці вільних членів
e=0.000001; % точність обчислення
for i=1:4,
xx(i)=BB(i,1)/AA(i,i);
end;
yy=xx;
%disp([xx])
for k=1:300, % кількість ітерацій
x(1)=(BB(1,1)-AA(1,2)*xx(2)-AA(1,3)*xx(3)-AA(1,4)*xx(4))/AA(1,1);
xx(1)=x(1);
x(2)=(BB(2,1)-AA(2,1)*xx(1)-AA(2,3)*xx(3)-AA(2,4)*xx(4))/AA(2,2);
xx(2)=x(2);
x(3)=(BB(3,1)-AA(3,1)*xx(1)-AA(3,2)*xx(2)-AA(3,4)*xx(4))/AA(3,3);
xx(3)=x(3);
x(4)=(BB(4,1)-AA(4,1)*xx(1)-AA(4,2)*xx(2)-AA(4,3)*xx(3))/AA(4,4);
if ((abs(yy(1)-x(1))<=e)&&(abs(yy(2)-x(2))<e)&&(abs(yy(3)-x(3))<e)...
&&(abs(yy(4)-x(4))<e))
disp(['Кількість ітерацій = ',num2str(k)]);
for l=1:4,
disp(['X',num2str(l),' = ',num2str(x(l))]);
end;
break;
else
yy=x;
end;
end;
Результат виконання:
Таблиця коефіцієнтів:
A =
-3 1 -11 4
-4 -3 -3 0
1 -7 -13 -2
4 -5 3 -4
Таблиця вільних членів:
B =
1
-4
-1
0
Метод Гауса
X =
1
0
0
1
Метод простих ітерацій
Матриця A знормованої системи(A"A)
42 -18 44 -30
-18 84 74 38
44 74 308 -30
-30 38 -30 36
Матриця B знормованої системи(A"B)
12
20
14
6
X1 = 1.27334
X2 = 0.850281
X3 = -0.304236
X4 = -0.77703
Перевірка розв’язку СЛАР за допомогою 2 ітерацій методом простої ітерації:
Розв'язок:
Нехай дана система Ax = b. Перетворимо її до вигляду: x = Qx + c
де Q = E - D • A, c = D • b
Тут D - деяка матриця. Нам необхідно підібрати таку матрицю D, щоб виконувалася умова | Q | <1.
Щоб отримати | Q | <1, використовуємо наступний спосіб.
Маємо СЛАР
A x = b (1)
Припускаючи, що aii ≠ 0 дозволимо нове рівняння системи (1) щодо x1, друга - щодо x2, ..., n-е рівняння - щодо xn. В результаті отримаємо:
x1 = β1 - α12x2 - α13x3 - ... - α1nxn
x2 = β2 - α21x1 - α23x3 - ... - α2nxn
xn = βn - αn1xn - αn3x3 - ... - αnn-1xn-1
де βi = bi / aii; αij = aij / aii при i ≠ j; αii = 0
Система (2) в матричній формі має вигляд:
x = β - αx
Систему будемо вирішувати методом послідовних наближень. Нехай x0 = β, тоді:
x1 = b - a x0
x2 = b - a x1
....
xk +1 = b - a xk
Перш ніж застосовувати метод, необхідно переставити рядки вихідної системи таким чином, щоб на діагоналі стояли найбільші за модулем коефіцієнти матриці.
-11
1
-6
-3
-6
15
-4
3
1
1
11
1
-4
1
1
-11
Наведемо до вигляду:
x1=0.82-0.0909x2+0.55x3+0.27x4 x2=0.27-0.4x1-0.27x3+0.2x4 x3=-0.18+0.0909x1+0.0909x2+0.0909x4 x4=-0.36+0.36x1-0.0909x2-0.0909x3
Покажемо обчислення на прикладі кількох ітерацій.
N=1 x1=0.82 - 0 • (-0.0909) - 0 • 0.55 - 0 • 0.27=0.82 x2=0.27 - 0 • (-0.4) - 0 • (-0.27) - 0 • 0.2=0.27 x3=-0.18 - 0 • 0.0909 - 0 • 0.0909 - 0 • 0.0909=-0.18 x4=-0.36 - 0 • 0.36 - 0 • (-0.0909) - 0 • (-0.0909)=-0.36 N=2 x1=0.82 - 0.27 • (-0.0909) - (-0.18) • 0.55 - (-0.36) • 0.27=1.04 x2=0.27 - 0.82 • (-0.4) - (-0.18) • (-0.27) - (-0.36) • 0.2=0.62 x3=-0.18 - 0.82 • 0.0909 - 0.27 • 0.0909 - (-0.36) • 0.0909=-0.25 x4=-0.36 - 0.82 • 0.36 - 0.27 • (-0.0909) - (-0.18) • (-0.0909)=-0.65 N=3 x1=0.82 - 0.62 • (-0.0909) - (-0.25) • 0.55 - (-0.65) • 0.27= 1.19 x2=0.27 - 1.04 • (-0.4) - (-0.25) • (-0.27) - (-0.65) • 0.2= 0.75 x3=-0.18 - 1.04 • 0.0909 - 0.62 • 0.0909 - (-0.65) • 0.0909= -0.27 x4=-0.36 - 1.04 • 0.36 - 0.62 • (-0.0909) - (-0.25) • (-0.0909)= -0.71
Ці значення коренів дещо відрізняються від отриманих програмно,хоч і не на значну величину,тому що для отримання більшої точності потрібно здійснити більше ітерацій при обрахунках.
Перевірка правильності розв'язків методом Гауса за схемою Халецького:
Ax=d
, матриця С – нижня трикутна, В – верхня трикутна, причому діагональ ні коефіцієнти матриці В дорівнюють одиниці.
Починаємо заповнювати матриці В та С., а також матрицю Y. Робимо це за такими загальними формулами:
Перевіривши обрахунки за даним методом ми отримали значення невідомих, які практично збігаються зі значеннями обрахованими у пограмі, оскільки при обрахунку вручну деякі значення були заокруглені.
Завдання 2
Додаток 2:№ вар.11,степ.пол.5, степ.пол.6
Створюю два масиви точок для заданих проміжків, враховуючи точки інтерполяції та екстраполяції.
Будую графік функції по точних значеннях функції.
Створюю два масиви точок для заданих проміжків для поліномів.
Вибираю такі степені полінома n1 = 5; n2 =6;
Вираховую за заданою формулою інтерполяційні многочлени 1-її формули Ньютона 5 та 6 степенів.
Знаходжу абсолютні похибки поліномів різних степенів відносно точної функції;
Знаходжу відносні похибки;
Будую графік, де будуть зображені поліноми різних степенів та точна функція;
Будую графік, де будуть відображатися абсолютні похибки.
Будую графік, де будуть відображатися відносні похибки.
Вище вказану послідовність дій повторюю для двох заданих проміжків.
Код програми (MATLAB)
clc
clear all
format compact
%Точна функція на проміжку [-3 3]
x=[-3 0 3.5]
y=[0 0 3.5]
plot(x,y,'LineWidth',1.5)
hold on
axis([-4 5 -1 5])
xx=[-3.5 -0.1 0.1 1.6 3.5]
yy=[0 0 0.1 1.6 3.5]
%наближена функція при n1=2, h=3
x2=[-3.5 -0.1 0.1 1.6 3.5]
y2=x2.^2/6+x2/2
plot(x2,y2,':')
grid
%наближена функція при n2=4, h=1.5, проміжок [-3 3]
y3 = -0.0246*x2.^4+0.0002*x2.^3+0.3883*x2.^2+0.499*x2
plot(x2,y3,'o')
%наближена функція при n3=7, h=0.8571, проміжок [-3 3]
y4=0.0000004*x2.^7+0.003*x2.^6-0.0001003*x2.^5-0.0531*x2.^4-0.000596*x2.^3+0.3778*x2.^2+0.5055*x2+0.1361
plot(x2, y4,'k:','LineWidth',1.5)
legend('Точна функція','Наближена функція при n=2','Наближена функція при n=4','Наближена функція при n=7')
%абсолютна похибка
figure(2)
absPoh2 = abs(yy - y2)
absPoh4 = abs(yy - y3)
absPoh7 = abs(yy - y4)
semilogy(x2, absPoh2,':')
hold on
semilogy(x2, absPoh4, 'LineWidth',1.5)
semilogy(x2, absPoh7);
legend('Абсолюнта похибка при n1=2','Абсолюнта похибка при n2=4','Абсолюнта похибка при n3=7')
%відносна похибка
figure(3)
vidPoh2 = abs(yy- y2)./abs(yy)
vidPoh4 = abs(yy - y3)./abs(yy)
vidPoh7 = abs(yy - y4)./abs(yy)
semilogy(x2, vidPoh2,':')
hold on
semilogy(x2, vidPoh4, 'LineWidth',1.5)
semilogy(x2, vidPoh7);
legend('Відносна похибка при n1=2','Відносна похибка при n2=4','Відносна похибка при n3=7')
%Точна функція на проміжку [3 10]
a1 = [2 7.5 10.5];
b1=a1;
figure(4)
plot(a1,b1)
axis([0 11.5 0 11.5])
hold on
%наближена функція при n1=2, h=3.5, проміжок [3 10]
a2 = [2 4 6 7 10.5];
b2=a2;
plot(a2,b2,'g*')
%наближена функція при n2=4, h=1.75, проміжок [3 10]
b3=a2
plot(a2,b3,'o')
%наближена функція при n2=7, h=1, проміжок [3 10]
b4=a2
plot(a2,b4,'r:')
legend('Точна функція','Наближена функція при n=2','Наближена функція при n=4','Наближена функція при n=7')
grid
Отримані результати:
Рис. 1 Графіки точної функції та функцій, утворених поліномами на проміжку [-3 3]
Рис. 2 Графіки абсолютних похибок на проміжку [-3 3]
Рис. 3 Графіки відносних похибок на проміжку [-3 3]
Рис. 4 Графіки точної функції та функцій, утворених поліномами на проміжку [ 3 10]
З графіка видно, що всі функції співпадають, отже абсолютні і відносні похибки рівні 0
Проаналізувавши отримані графіки,абсолютну та відносну похибку можна зробити висновок,що зі збільшенням степеня полінома у точках інтерполяції значення полінома прямує до точних значень функції, а у точках екстраполяції похибка суттєво збільшується, бо не можна спрогнозувати значення полінома в цих точках.
Завдання 3
Додаток 3:1 пит.-47,2 пит.-19
1 питання: 47. Зведення задачі інтегрування системи звичайних диференціальних рівнянь до послідовності задач інтегрування диференціальних рівнянь першого класу.
Інтегровні типи диференціальних рівнянь першого порядку, розв(язаних відносно похідної
Неповні рівняння.
а) Диференціальне рівняння, яке не містить шуканої функції
має вигляд
, . (2.33)
Припустимо, що f(x) являється неперервною функцією на . Тоді функція
(2.34)
є загальним розв`язком диференціального рівняння (2.33) в області
a < x < b, -< y < + . (2.35)
Особливих розв’язків диференціальне рівняння (2.33) не має.
Разом з диференціальним рівнянням (2.33) розглянемо початкові умови
. (2.36)
Проінтегруємо диференціальне рівняння (2.34) від до x
.
Знаходимо с з умови (2.36)
(2.37)
– загальний розв(язок диференціального рівняння (2.33) в формі Коші.
Якщо f(x) – неперервна на за виключенням точки , в якій приймає нескінченне значення, то замість диференціального рівняння (2.33) будемо розглядати рівняння
. (2.33()
Пряма є розв(язком диференціального рівняння (2.33() і ми цей розв(язок повинні приєднати до розв(язку диференціального рівняння (2.33). Цей розв(язок може бути частинним або особливим в залежності від того зберігається чи порушується в будь-якій його точці єдиність. Якщо – частинний розв(язок, то його часто можна отримати з загального при нескінченних значеннях с, якщо ж він є особливим, то його отримують з загального при .
Рівняння, яке не містить незалежної змінної має вигляд
. (2.38)
Припускаємо, що функція визначена і неперервна на інтервалі . Замість (2.38) розглянемо диференціальне рівняння
. (2.39)
Диференціальне рівняння (2.39) не містить шуканої функції і воно розв(язується аналогічно диференціальному рівнянню (2.33).
Якщо , y є (c,d), то
(2.40)
– загальний розв(язок диференціального рівняння (2.39) в області
c < y < d, -< x < + .
Аналогічно
(2.41)
– загальний інтеграл в формі Коші.
Якщо неперервна на (c,d) і приймає нульове значення при , то ми повинні розглядати диференціальне рівняння (2.38). Розв(язок буде частинним, якщо в кожній його точці зберігається єдиність і особливим, якщо в кожній його точці порушується єдиність. Якщо частинний розв(язок, то ми його отримуємо при нескінченних значеннях , якщо особливий, то при .
Якщо в точці перетворюється в нескінченність , то розглядаємо диференціальне рівняння (2.39), яке має неперервну праву частину на (c,d). При цьому диференціальне рівняння на має єдиний розв(язок (мал. 2.5).
2 питання: 19. Інтегральна квадратична апроксимація на відрізку.
Нехай величина "y" є функцією аргумента "х", тобто будь−якому значенню "х" з області визначення поставлено у відповідність значення "у".
На практиці досить часто бувають випадки, коли неможливо записати зв'язок між "х" та "у" у вигляді деякої залежності у = f(x). Най-більш поширеним випадком, коли вид зв'язку між параметрами х та у невідомий, є задання цього зв'язку у вигляді таблиці {xi, yi}. Це означає, що дискретній множині значень аргумента {xi} поставлена у відповідність множина значень функції {yi} (і=). Цими значеннями можуть бути, наприклад, експериментальні дані. На практиці можуть бути потрібні значення величини у і в інших точках, відмінних від вузлів xi. Однак одержати ці значення можна тільки експериментальним шляхом, що не завжди зручно і вигідно.
З точки зору економії часу та засобів доцільно було б використати наявні табличні дані для наближеного обчислення шуканого параметра "у" при будь−якому значенні (з деякої області, звичайно) визначального параметра "х", оскільки точний зв'язок у = f(x) невідомий.
Цій меті служить задача про наближення (апроксимацію) функцій:
– дану функцію f(x) потрібно наближено замінити (апроксимувати) деякою функцією φ(х) так, щоб відхилення (в певному розумінні) φ(х) від f(x) в заданій області було найменшим. При цьому функція φ(х) називається апроксимуючою.
Наприклад, в тому випадку, коли функція f(x) задається у вигляді таблиці значень, задача апроксимації полягає в наступному: за табличними даними підібрати таку аналітичну залежність φ(х), яка мала б просту структуру, згладжувала б особливості заданої експериментальної таблиці і найкращим чином відбивала б загальний хід зміни f(x) в середньому. Тобто основна мета апроксимації – одержати швидкий (економний) алгоритм обчислення значень f(x) для значень x, що не містяться в таблиці даних. Основне питання апроксимації – як вибрати φ(х) і як оцінити відхилення φ(х) від f(x) .
На практиці досить часто φ(х) вибирається з класу алгебраїчних поліномів (многочленів)
φ(х)=a0 + a1x + a2x2 +…+ amxm (1)
Якщо початкова функція задана таблично, тобто на множині окремих точок, то апроксимація називається точковою. Якщо ж початкова функція задана на неперервній множині точок (наприклад, на відрізку [a; b]), то апроксимація називається інтегральною (неперервною).
Одним з основних типів точкової апроксимації є інтерполяція. Вона полягає в наступному: для даної функції у = f(x) будуємо функцію φ(х), яка в заданих точках хі (і =) приймає ті ж значення, що і функція f(x), тобто
φ(хі) = f(xi),
а в решті точок відрізку [a; b] з області визначення f(x), наближено представляє f(x) з деякою похибкою. Точки xі називають вузлами інтерполяції, а φ(х) – інтерполюючою функцією. Найчастіше інтерполюючу функцію φ(х) виражають через алгебраїчний многочлен степені m.
Інтерполяція в цьому випадку називається алгебраїчною. Якщо використовується один многочлен φ(х) = Pn(x) для інтерполяції функції f(х) на всьому інтервалі зміни аргумента х, тобто коли m = n (m – максимальний степінь інтерполяційного многочлена), то це – глобальна інтерполяція.
Інтерполяційні многочлени можуть будуватися окремо для різних частин інтервалу зміни х. В цьому випадку маємо кускову (локальну) інтерполяцію. Як правило, інтерполяційні многочлени використовують для апроксимації функцій у проміжних точках між крайніми вузлами інтерполяції, тобто х0 < х < хn. Однак іноді вони використовуються і для наближеного обчислення функції зовні інтервалу (х < х0, x > хn). Це наближення називається екстраполяцією.
Таким чином, при інтерполюванні основною умовою є проходження графіка інтерполяційного многочлена через дані значення функції у вузлах інтерполяції. Однак виконання цієї умови в деяких випадках є недоцільним. Наприклад, при великому числі вузлів інтерполяцї одержуємо високу степінь полінома у випадку глобальної інтерполяції (це пов’язано з рядом неприємностей – осциляція функції). Крім того, табличні дані можуть містити в собі похибки (якщо ці дані одержані шляхом вимірювань). Отже, інтерполюючий многочлен теж повторював би ці похибки. Вихід із цього становища може бути знайдений вибором такого многочлена, графік якого близько проходить від даних точок.
Середньо-квадратичне наближення. Степінь полінома m при цьому, як правило, значно менша від n. На практиці не вище 5,6. Мірою відхилення многочлена φ(х) від заданої функції f(х) на множині точок (xi, yi) (і =) є величина S, яка дорівнює сумі квадратів різниць між значеннями многочлена та функції в даних точках
При побудові апроксимуючого многочлена потрібно підібрати коефіцієнти а0, а1, … , аm так, щоб величина S була мінімальна. В цьому полягає ідея методу найменших квадратів.
Рівномірне наближення. В багатьох випадках, особливо при обробці експериментальних даних, середньоквадратичне наближення зручне, оскільки воно згладжує деякі неточності функції f(х) і дає достатньо правильне уявлення про неї. Однак, іноді ставиться більш жорстка умова і вимагається, щоб у всіх точках деякого відрізку [a, b] модуль відхилення многочлена φ(х) від f(х) був менший від деякого ε
|f(x) – φ(х)| < ε,
В цьому випадку маємо рівномірну апроксимацію. Тепер введемо такі поняття. Абсолютним відхиленням Δ многочлена φ(х) від функції f(х) на відрізку [a, b] називається максимальне значення абсолютної різниці між ними на даному відрізку:
Δ = max | f(х) – φ(х)| ,
За аналогією можна ввести середньоквадратичне відхилення
.
На малюнку показано відмінність цих двох видів наближень.
рівномірне середньоквадратичне
Існує також поняття найкращого наближення функції f(х) многочленом φ(х) фіксованої степені m. В цьому випадку коефіцієнти многочлена а0, а1, … , аm слід вибирати так, щоб на заданому відрізку [a, b] значення абсолютного відхилення Δ було мінімальне. Многолен φ(х) при цьому називається многочленом найкращого рівномірного наближення.
Інтерполяція
Під апроксимацією розуміють операцію знаходження невідомих чисельних значень якоїсь величини за відомими її значеннями і чисельними значеннями інших величин, які пов’язані з розглядуваною.
Інтерполяція - частковий випадок апроксимації. Нехай в точках х0, х1, х2, … , хn відомі значення f(x0), f(x1), f(x2)… f
23.05.2016 19:05-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора