Міністерство освіти і науки України Вінницький національний технічний університет Інститут інформаційних технологій та комп’ютерної інженерії Кафедра КН Лабораторна робота №1 На тему: «Дослідження методу моментів точкового оцінювання параметрів законів розподілу випадкових величин» Мета: набуття навичок точкового оцінювання параметрів законів розподілу випадкових величин методом моментів. Короткі теоретичні відомості 1.Метод моментів для точкового оцінювання параметрів закону розподілу : а) Оцінка одного параметра: Нехай заданий вид щільності розподілу f(x,
), що визначається одним невідомим параметром
. Необхідно знайти точкову оцінку параметра
. Для оцінки одного параметра досить мати одне рівняння відносно цього параметра. Застосовуючи метод моментів, порівнянь, наприклад, прирівняємо початковий теоретичний момент першого порядку
1 початковому емпіричному моменту першого порядку М1 :
1 = М1 Як відомо
1 = М(х) і М1 =
В , отримуємо: М(х) =
В
(1) Математичне сподівання М(Х), як видно нижче М(х) =
х(f(x,
)dx =
є функція від
, і тому вираз (1) можна розглядати як рівняння з одним невідомим
. Розв’язавши це рівняння відносно параметра
, тим самим знайдемо його точкову оцінку
*, що є функцією від вибіркової середньої а також і від об’єму вибірки:
*=
. б) Оцінка двох параметрів: Вид щільності розподілу задано функцією: f(x,
1,
2); де 
1,
2 – невідомі параметри. Для знаходження двох параметрів необхідно два рівняння відносно цих параметрів. Згідно з методом моментів можна прирівняти початковий теоретичний момент першого порядку
1 і початковий емпіричний момент першого порядку М1, а також центральний теоретичний момент другого порядку
і центральний емпіричний момент другого порядку
.
1 = М1;
2=m2 Враховуючи, що:
1 = М(х);
2=D(x), а також: М1 =
В; m2 =D(x) , отримуємо:

Математичне сподівання і дисперсія є функціями від
1,
2, тому рівняння (2) можна розглядати як систему двох рівнянь з двома невідомими
1 та
2. Розв’язавши цю систему відносно невідомих параметрів, отримаємо їх точкові оцінки
*1 та
*2. Ці оцінки є функціями від обсягу вибірки:
*1=

*2=
Хід роботи Завдання для виконання: Знайти методом моментів по вибірці х1, х2, …, хn точкову оцінку невідомого параметра ( показникового розподілу, щільність розподілу якого
. Розвязання: Прирівнюємо початковий теоретичний момент першого порядку початковому емперичному моменту першого порядку: υ1=М1, так як υ1=М(Х), а М1= х в, отримуємо М(Х) = х в. Взявши до уваги, що М(Х)= 1