Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Метод Гаусса для розв’язування систем Лінійних алгебраїчних рівнянь
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
ІКТА
Факультет:
УІ
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2014
Тип роботи:
Звіт до лабораторної роботи
Предмет:
Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»
ІКТА
кафедра БІТ
З В І Т
до лабораторної роботи №2
з курсу: «Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем»
на тему: «Метод Гаусса для розв’язування систем
Лінійних алгебраїчних рівнянь»
Варіант № 6
Львів -2014
МЕТА РОБОТИ – ознайомлення з прямими методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
1. КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ.
Класичний метод Гаусса.
Розглянемо систему рівнянь четвертого порядку:
(1)
Зауважимо, що елементи вектора-стовпчика вільних членів занесені в матрицю коефіцієнтів А.
Будемо вважати, що . З першого рівняння знаходимо х1:
, (2)
де , .
З допомогою рівняння (2) можна виключити з решти рівнянь, для чого достатньо підставити праву частину (2) замість в друге, третє і четверте рівняння системи. Це і є першим кроком – кроком виключення невідомого .
Перехід від початкової системи (1) до новоствореної:
відбувається за такою формулою:
Другий крок – виключення невідомого відбувається аналогічно:
Третій крок – виключення невідомого
,
;
Останнє рівняння модифікованої системи можна переписати у вигляді:
де
або .
Отже, в результаті прямого ходу одержимо систему рівнянь:
Знаходження невідомих проводиться в оберненому ході методу Гаусса шляхом зворотніх підстановок.
Якщо п – кількість рівнянь (порядок) системи, то програмування обчислювального процесу проводиться так:
L – кількість кроків виключення ;
j – позначення другого індексу при визначенні коефіцієнта ;
і – номер рядка системи ;
k – номер стовпця.
Можна записати, що для всіх
Обернений хід: ; , .
Отже, обчислювальна схема прямого ходу методу Гаусса має вигляд:
Для
Для
Для
Для
i піддається спрощенню.
Початкове обчислення всіх коефіцієнтів c не є обов’язковим. Це випливає з наступного. Наприклад, перехід від початкової системи коефіцієнтів до наступної відбувається так:
Наприклад, коефіцієнти першого чи другого стовпця нової системи утворюються за правилом
,
або
Отже, визначивши, наприклад c12 зразу ж можна переходити до визначення коефіцієнтів нової системи і т.п. Таким чином цикли по J i по K можна об’єднати (оскільки J i K змінюються в однакових межах).
Якщо замінити на (адже верхній рядок коефіцієнтів матриці А на наступному кроці виключення не перераховується, а тому може бути перерахований і використаний як коефіцієнти ) та цикли по J та по K об’єднати в один, одержимо загальну форму методу виключення Гаусса із стовпцевою формою розкладу матриці А до трикутного вигляду:
В кінці цих перетворень (зворотній хід методу) одержимо:
Таким чином, стовпцева форма розкладу зображується наступною обчислювальною схемою:
Для до
Для до +1
(3)
Для до
В цій обчислювальній схемі права частина системи (1) також обробляється в ході зведення матриці А до трикутного вигляду. Тобто коефіцієнти приєднані до і-го рядка матриці А (член ) (саме тому в циклі по "k" верхня межа зростає до ). Можна залишити на місці, не вносячи в масив А. В цьому випадку в результаті виконання прямого ходу методу Гаусса одержується система рівнянь:
(4)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
.
Обернений хід при стовпчиковій формі розкладу описується загальною формулою:
, (5)
Розглянемо тепер рядкову форму розкладу матриці А. Вона базується на зведенні системи лінійних рівнянь до трикутного вигляду. Для цього спочатку нормують перше рівняння системи (1), ділячи його на а11(0), тобто роблять коефіцієнт при х1 рівним 1. Потім це перше рівняння домножують відповідно на коефіцієнт аі,1(0) при х1 всіх інших рівнянь і послідовно віднімають від усієї решти рівнянь. В результаті х1 буде виключене із всіх рівнянь, крім першого. На другому кроці виключають х2 з третього, четвертого, ..., п –го рівнянь. Цю процедуру повторюють до тих пір, доки вся система не буде зведена до такого трикутного вигляду:
(6)
Рядкова форма зображається наступною обчислювальною схемою (у випадку внесення коефіцієнтів b в матрицю A):
Для до
Для до
(7)
Для до +1
Тобто, на відміну від стовпчикової форми, обчислення коефіцієнтів нової матриці відбувається по рядках. Результат же одержується той самий.
При (обертанні) обчисленні оберненої матриці доцільно використовувати розклад матриці А до трикутного вигляду за рядковою формою.
2. ЗАВДАННЯ
Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса.
3. БЛОК-СХЕМА АЛГОРИТМУ ПРОГРАМ
4. СПИСОК ІДЕНТИФІКАТОРІВ КОНСТАНТ, ЗМІННИХ, МЕТОДІВ ТА КЛАСІВ, ВИКОРИСТАНИХ У БЛОК-СХЕМІ АЛГОРИТМУ І ПРОГРАМІ, ТА ЇХ ПОЯСНЕННЯ
x, k, p, n – змінні дійсного типу, які є аргументами виразу;
Metod_Gausa() – клас у якому містяться змінні, методи, константи.
Program – клас у якому містяться змінні, методи, константи.
Console.ReadLine() – вивід даних.
Console.WriteLine() – від даних.
5. ТЕКСТ ПРОГРАМИ
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
namespace lab_2
{
class lab_2
{
public void Metod_Gausa()
{
/*double[,] masyv;
Console.Write("Vvedit n: ");
int n = int.Parse(Console.ReadLine());
masyv = new double[n,n+1];
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int k = 0; k < n+1 ; k++)
{
Console.Write("Masyv[" + i + "]["+ k +"]: ");
masyv[i,k] = double.Parse(Console.ReadLine());
}
}*/
Console.Write("Vvedit' k: ");
double K = double.Parse(Console.ReadLine());
Console.Write("Vvedit' p: ");
double p = double.Parse(Console.ReadLine());
double S=0.2*K;
double b=0.2*p;
double[,] masyv = { { 8.3, 2.62 + S, 4.1, 1.9, -10.55 + b },
{ 3.92, 8.45, 7.78 - S, 2.46, 12.21 },
{ 3.77, 7.21 + S, 8.04, 2.28, 15.45 - b },
{ 2.21, 3.65 - S, 1.69, 6.99, -8.35 } };
Console.WriteLine("\nRozshyrena matrytsa:");
for (int i = 0; i < 4; i++)
{
for (int k = 0; k < 5; k++)
{
Console.Write(masyv[i,k] + "\t");
}
Console.WriteLine();
}
for (int i = 0; i < 4; i++)
{
double temp = masyv[i, i];
for (int k = 0; k < 4 + 1; k++) // k representing no of columns
{
masyv[i, k] = masyv[i, k] / temp; // To Store Multipliers
}
for (int j = 0; j < 4; j++) // j representing Rows on which operation is
{ // being performed. To create zeros below &
temp = masyv[j, i]; // above the main diagonal.
if (i != j)
{
for (int k = 0; k < 4 + 1; k++) // k represents no of colums on which operation is being performed
{
masyv[j, k] = masyv[j, k] - (temp * masyv[i, k]);
}
}
}
}
Console.WriteLine("\nMatrytsya zvedena do trykutnogo vyglyadu:");
for (int i = 0; i < 4; i++)
{
for (int k = 0; k < 4 + 1; k++)
{
Console.Write("{0:F2}\t", masyv[i, k]);
}
Console.WriteLine();
}
Console.Write("\n");
for (int i = 0; i < 4; i++)
{
for (int k = 4; k < 4 + 1; k++)
{
Console.Write("x["+(i+1)+"]={0:F2}\t", masyv[i, 4]);
}
Console.WriteLine();
}
}
}
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
lab_2 obj = new lab_2();
obj.Metod_Gausa();
Console.Read();
}
}
}
6. РЕЗУЛЬТАТ РОБОТИ ПРОГРАМИ
Vvedit' k: 0
Vvedit' p: 2
Rozshyrena matrytsa:
8,3 2,62 4,1 1,9 -10,15
3,92 8,45 7,78 2,46 12,21
3,77 7,21 8,04 2,28 15,05
2,21 3,65 1,69 6,99 -8,35
Matrytsya zvedena do trykutnogo vyglyadu:
1,00 0,00 0,00 0,00 -2,85
0,00 1,00 0,00 0,00 -0,93
0,00 0,00 1,00 0,00 4,28
0,00 0,00 0,00 1,00 -0,84
x[1]=-2,85
x[2]=-0,93
x[3]=4,28
x[4]=-0,84
7. ВИСНОВОК
У лабораторні роботі ми ознайомилися з прямими методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь класичний метод Гаусса.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора