Метод Гаусса для розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Звіт до лабораторної роботи з Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем . Робота № 528701

Перехід до торгівельного партнера Binance

Метод Гаусса для розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

ІКТА

Факультет:

ЗІ

Кафедра:

Не вказано

Інформація про роботу

Рік:

2016

Тип роботи:

Звіт до лабораторної роботи

Предмет:

Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА» ІКТА Кафедра БІТ / Звіт до лабораторної роботи №2 з курсу: «Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем» на тему: «Метод Гаусса для розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь» Метод LU – розвитку Мета роботи – ознайомлення з прямими методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь Нехай задано систему лінійних алгебраїчних рівнянь: , де А – квадратна невироджена матриця розмірності , X – вектор-стовпець невідомих розмірності n, В – вектор-стовпець вільних членів розмірності n. Методи розв’язування систем такого виду поділяються на дві групи : прямі та ітераційні. 1) Прямі методи зводяться до скінчених алгоритмів для обчислення коренів рівнянь (тобто розв’язки шукають за певними формулами). Вони дають розв’язки після виконання відомого для даного n (n – порядок системи) числа арифметичних операцій. Іншими словами, прямими методом розв’язування лінійної системи називають будь-який метод, котрий дозволяє знайти елементи вектора X з допомогою скінченого числа елементарних математичних операцій: додавання, віднімання, ділення, множення, та, можливо, кореня квадратного. Оцінити ефективність будь-якого методу можна за допомогою таких основних характеристик: числа операцій, необхідних для реалізації даного методу; об’єму пам’яті; чутливості до переносу похибок заокруглення (або обчислювальної стійкості). Практично всі прямі методи розв’язування систем базуються на зведені матриці А до матриці простішої структури – діагональної (тоді розв’язок очевидний) або трикутної, та методів розв’язування таких систем. До групи прямих методів розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь належать: – метод Гаусса та його різновиди: а) класичний метод Гаусса із зведенням матриці А до верхньої трикутної матриці і одержанням розв’язків з допомогою обернених підстановок. Число операцій (вартість методу) – операцій додавання, множення та операцій ділення (можна ними знехтувати в порівнянні з ). б) метод Гаусса з вибором головного елемента (частковим або повним). Число арифметичних операцій при цьому складає ~ додавань та ~ множень. Повна вартість методу в основному визначається вартістю зведення матриці А до трикутного вигляду, оскільки вартість розв’язку вже самої трикутної системи незначна в порівнянні з вартістю зведення матриці до трикутного вигляду. – LU-розклад (lower-upper –нижній-верхній) Якщо використовувати алгоритм Краута, то число операцій складе . З точки зору об’єму обчислень метод LU- розкладу еквівалентний методу Гаусса з частковим вибором головного елемента; його переваги – це можливість роботи з різними векторами вільних членів В та з транспонованими матрицями (розв’язок рівняння знаходиться за тим же LU-розкладом). – метод (схема) Халецького. При розкладі симетричних матриць можна зменшити число операцій і необхідний об’єм пам’яті. Повна вартість методу Халецького складає половину вартості методу Гаусса + n обчислень квадратного кореня. Метод чисельно стійкий. – метод Жордана (роблять діагональну матрицю замість трикутної). Метод рідко використовується на практиці. До прямих методів відносяться також методи для кліткових та розріджених матриць. 2) Ітераційні (або наближені) методи – це методи послідовних наближень. В них необхідно задати деякий наближений розв’язок – так зване початкове наближення. Після цього з допомогою деякого алгоритму проводиться один цикл обчислень, котрий називається ітерацією. В результаті ітерації знаходять нове наближення. Ітерації проводять до тих пір, доки не одержать розв’язок із заданою похибкою. Об’єм обчислень при цьому наперед не відомий. Основний недолік прямих методів – це нагромадження похибок в процесі розв’язування, оскільки обчислення на будь-якому етапі використовують результати (з похибками) попередніх операцій. Це особливо небезпечно для великих систем ( і більше) – наростає число операцій, а також для погано обумовлених систем () (малі похибки обчислень або вхідних даних можуть породити значні похибки в розв’язку). Тому прямі методи використовують для відносно невеликих () систем з густо заповненою матрицею та . Перевагою ітераційних методів над прямими є те, що окремі похибки, що виникають при обчисленнях, не впливають на кінцевий результат (ітерації закінчуються тільки тоді, коли одержано розв’язок із наперед заданою точністю), а ведуть лише до збільшення числа необхідних ітерацій. Крім того, розв’язування систем ітераційними методами спрощується ще й тому, що на кожній ітерації розв’язується система з одними і тими ж матрицями. До ітераційних належить: метод простої ітерації, метод Зейделя, метод верхньої релаксації, та інші. Метод LU – розвитку Це одна з модифікацій методу Гауса. Матрицю А зображають у вигляді добутку двох трикутних матриць: , де (8) Тоді система коефіцієнтів системи з рівнянь набуде вигляду (9) (10) Прямий хід тут – це розв’язування системи (9), зворотний – розв’язування системи (10). Елементи матриць і обчислюють послідовно: спочатку елементи першого стовпця матриці , потім – першого рядка матриці і перший елемент вектора ; далі – другий стовпець матриці , другий рядок матриці і другий елемент вектора і так далі: Під час зворотного ходу визначають невідомі : ЗАВДАННЯ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса Варіант 3 8.30

Звіт до лабораторної роботи Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем

broflovskyk

02.12.2016 18:12-

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

Маєш корисні навчальні матеріали, які припадають пилом на твоєму комп'ютері? Розрахункові, лабораторні, практичні чи контрольні роботи — завантажуй їх прямо зараз і одразу отримуй бали на свій рахунок! Заархівуй всі файли в один .zip (до 100 МБ) або завантажуй кожен файл окремо. Внесок у спільноту – це легкий спосіб допомогти іншим та отримати додаткові можливості на сайті. Твої старі роботи можуть приносити тобі нові нагороди!

поділитись