МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА» ІКТА Кафедра ЗІ / Звіт до лабораторної роботи №1 з курсу: «Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем» на тему: «Методи уточнення коренів нелінійних рівнянь» Метод половинного ділення Теоретичні відомості Метод поділу проміжку навпіл Цей метод відомий також за назвами методу бісекцій або методу дихотомії. Це простий і надійний алгоритм уточнення коренів рівняння (1). Суть методу полягає в тому, що відрізок
ділиться навпіл, тобто вибирається перше наближення кореня (Рис.1):
(3) Якщо
, тоді
є коренем рівняння (1).
Рис.1. Якщо
, то вибирають той з відрізків
чи
, на кінцях якого функція має різні знаки. Обраний відрізок знову ділять навпіл і т.д. Процес обчислень проводиться доти, доки величина відрізку
не стане меншою від заданої похибки Е. Метод досить стійкий до похибок заокруглень. Але й збігається теж повільно. При збільшенні точності значно зростає об’єм обчислень. Тому на практиці метод часто використовують для грубого визначення початкового наближення кореня, а далі застосовують швидко збіжний ітераційний метод. Метод бісекцій збігається для будь-яких неперервних функцій. Кількість ітерацій, необхідних для досягнення точності E, оцінюють співвідношенням:
Завдання Знайти корінь рівняння з граничною абсолютною похибкою Е = 10–4, відокремлений на відрізку [a, b]. Методи чисельного розв’язування задаються викладачем. Варіант Рівняння Відрізок  22 4x2 – cos x – 4= 0 [1;1.2]   Блок-схема алгоритму програми
Список індефікаторів, констант, змінних, функцій, використаних у блок-схемі алгоритму і програмі, та їх пояснення X1 – змінна дійсного типу, яка є початком проміжку; X2 – змінна дійсного типу, яка є кінцем проміжку; Е – змінна дійсного типу, яка є граничною абсолютною похибкою; Cout – метод виводу даних; Cin – метод вводу даних дійсного типу; Текст програми #include <iostream> #include <cmath> using namespace std; float f(float x) { return 4*x*x - cos (x) - 4; } float n(float x1, float x2) { float x = (x2 + x1) / 2; while (abs(f(x)) > 0.0001) { if (f(x) > 0) x2 = x; else x1 = x; x = (x2 + x1) / 2; } return x; } int main() { cout << n(1, 1.2) << endl; } Розв’язування нелінійного рівняння в системі MatLab f = @(x) 4 * x * x -cos(x) - 4; options = optimset('Display','iter','TolFun',1e-10); optnew = optimset(options,'TolX',1e-10); z = fzero(f, [1 2],optnew); fprintf('z=%6.18f\n',z) Func-count x f(x) Procedure 2 1 -0.540302 initial 3 1.0417 -0.164185 interpolation 4 1.05967 0.0024194 interpolation 5 1.05941 -1.96193e-005 interpolation 6 1.05941 -2.30546e-009 interpolation 7 1.05941 8.88178e-016 interpolation Zero found in the interval [1, 2] z=1.059408769070037600 Результат роботи програми
Висновок: В даній лабораторній роботі я ознайомився з методами уточнення коренів нелінійних рівнянь з одним невідомим. Також навчився писати та підлагоджувати програми за алгоритмом методу половинного ділення для уточнення коренів нелінійних рівнянь