Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Кафедра ЕОМ
Інформація про роботу
Рік:
2013
Тип роботи:
Методичні вказівки
Предмет:
Методи та засоби опрацювання сигналів
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки України
Національний Університет “Львівська Політехніка”
Кафедра ЕОМ
ДОСЛІДЖЕННЯ ДИСКРЕТНОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР’Є ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТЕЙ
Методичні вказівки до розрахункової роботи
з дисципліни “Методи та засоби опрацювання сигналів”
для студентів спеціальності “Системне програмування”
Затверджено на засіданні кафедри Електронних обчислювальних машин Протокол № від року
Львів – 2013
Дослідження дискретного перетворення Фур’є та його властивостей: Методичні вказівки до розрахункової роботи з дисципліни “Методи та засоби опрацювання сигналів” для студентів спеціальностей "Системне програмування", / Укладачі: Є. Ваврук, О Лашко – Львів: Національний університет “Львівська політехніка”, 2013, 20 с.
Укладачі: Є. Ваврук, к.т.н., доцент.
О. Лашко, ст. викладач.
Відповідальний за випуск: Мельник А. О., професор, завідувач кафедри
Рецензенти: Парамуд Я.С., к. т. н, доцент
Попович Р.Б., к. т. н, доцент
Мета роботи:
освоїти методику обчислення спектральних характеристик сигналу за допомогою перетворення Фур’є та дослідити його властивості.
ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
Одним з основних методів частотного аналізу й обробки сигналів є перетворення Фур’є. Розрізняють поняття “перетворення Фур’є” і “ряд Фур’є”. Перетворення Фур’є припускає неперервний розподіл частот, ряд Фур’є задається на дискретному наборі частот. Сигнали також можуть бути задані в наборі часових відліків або як неперервна функція часу. Це дає чотири варіанти перетворень
перетворення Фур’є з неперервним або з дискретним часом (частота - неперервна);
ряд Фур’є з неперервним часом або з дискретним часом (частота - дискретна).
Інтегральне перетворення Фур’є (ПФ).
Пряме перетворення (Фур’є- аналіз) :
або:
Обернене перетворення (Фур’є- синтез) :
або:
Вони виконуються коли функція є повністю інтегрованою, тобто сигнал має скінчену енергію :
Для реальних систем це очевидно, оскільки не можливо згенерувати сигнал, який має нескінчену енергію.
Дискретне перетворення Фур’є(ДПФ)
Пряме:
для
де : .
Обернене:
для .
Розкриємо зв’язок між дискретним та інтегральним перетворенням Фур’є для формул аналізу.
Обмежившись сіткою для : , тобто: можемо записати:
Таким чином, формула зв’язку буде мати вигляд:
Збільшуючи зменшуємо похибку. При цьому необхідно зменшувати , тобто збільшувати роздільну здатність по частоті (при цьому збільшується і кількість відліків).
Спектральний аналіз неперіодичних сигналів.
Для неперіодичного сигналу спектральне подання описується парою інтегральних перетворень
, (пряме),
, (обернене).
При цьому має місце рівність Парсеваля :
.
Нехай для і і одночасно для . Покладемо , , . Тоді для наближеного обчислення , використовуючи формулу чисельного інтегрування прямокутників, отримуємо вираз:
, .
Таким чином, для обчислення спектру неперіодичного сигналу (з кроком у смузі ()) можна скористатися формулою ДПФ і, як наслідок, алгоритмами ШПФ. Для підвищення роздільної здатності (зменшення в раз) потрібно фактично чи формально (для фінітних сигналів, що рівні нулю при ) збільшити (в раз), доповнивши послідовність нульовими відліками: при і при . Для розширення смуги аналізу в раз зменшуємо (збільшуємо в раз ).
Спектральний аналіз періодичних сигналів
Нехай - періодичний сигнал з періодом Т. Якщо він описується неперервною або кусочно-неперервною функцією, то його можна подати у вигляді ряду Фур'є
, (1)
, (2)
де - основна гармоніка.
Коефіцієнти називають частотним спектром,
- амплітудним спектром,
- фазовим спектром.
Нехай , . Тобто, пряме ДПФ наближає (за формулою чисельного інтегрування прямокутників) коефіцієнти розкладу сигналу в ряд Фур'є: , .
Рівність Парсеваля тут має вигляд:
.
При збільшенні , зменшенні , похибка (методу) такого представлення зменшується. Подібне має місце і при оберненому перетворенні, тобто наближенні сигналу відрізком ряду Фур'є, коли обмежуються границі підсумування в формулі (1).
Поняття нормованої частоти
Нормованою частотою називається відношення поточної частоти до частоти дискретизації. Тобто:
Таким чином, залежно від обраної шкали частот, основна смуга відповідає областям: ; ; ; .
Інверсія спектру дійсного сигналу
Мета інверсії спектральних складових в тому, що в основній смузі частот довільна складова спектру (тут мається на увазі нормована частота) повинна виявитися на «протилежній» частоті - (відбитися). При цьому у аргументу спектра додатково змінюється знак. Це ілюструється рисунком, наведеним далі.
Операція інверсії спектру реалізовується за допомогою зсуву вправо на частоту .
ЗАВДАННЯ
Отримати аналітичні вирази для знаходження частотного спектру заданого варіантом сигналу (рівність (2)).
Обрахувати 256 спектральних коефіцієнтів та привести таблицю їх значень.
Привести графік зміни спектру для заданої кількості коефіцієнтів.
Порівняти (в табличному та графічному вигляді) отримані значення з результатами, обрахованими в лабораторній роботі №3.
Пояснити різницю між коефіцієнтами ряду Фур’є та дискретного перетворення Фур’є.
Відтворити вхідну послідовність за допомогою наближення рядом Фур’є (рівність (1)) для 256 коефіцієнтів та привести її графік.
Порівняти вхідну та наближену послідовності.
Обрахувати амплітудну, фазову характеристики та привести їх графіки.
Знайти енергію сигналу за формулою Парсеваля.
Здійснити операцію інверсії спектру.
За допомогою оберненого ПФ знайти сигнал, що відповідає оберненому спектру та порівняти його із заданим.
Зробити висновки про спектральні характеристики заданого сигналу.
ЗАВДАННЯ.
№
форма
№
форма
№
форма
№
форма
№
форма
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ
Завдання
Сигнал задано наступним чином:
Аналітичні вирази для знаходження частотного спектру заданого варіантом сигналу:
Виходячи із заданого графіка, сигнал описується фінітною функцією, тривалістю 24с. Перші 12с. сигнал має сталу амплітуду 35 од. Наступні 12с. – амплітуда змінюється лінійно від 35 до 0. Таким чином, маємо кускову функцію, що описує заданий сигнал:
;
Для знаходження частотного спектру слід підставити аналітичний вираз вхідного сигналу у формулу:
, де - основна гармоніка, де Т=24.
Виходячи з завдання, маємо: T=24; . Тому :
;
Нехай , тоді
Підставимо замість A
256 спектральних коефіцієнтів, таблиця значень:
Для знаходження спектральних характеристик в дискретних точках слід створити програму для виконання у SCILAB, використавши отримані аналітичні вирази. Текст програми приведено нижче.
Таблиця значень спектральних коефіцієнтів.
№
Значення
№
Значення
№
Значення
26.25
87.
- 1.142D-15 - 0.0647724i
- 1.142D-15 - 0.0323862i
3.5462414 + 5.570423i
0.0004685 + 0.0640279i
0.0001185 + 0.0321990i
- 6.822D-16 - 2.7852115i
- 2.481D-15 - 0.0633003i
- 1.820D-15 - 0.0320139i
0.3940268 + 1.8568077i
0.0004477 + 0.0625890i
0.0001158 + 0.0318310i
- 6.822D-16 - 1.3926058i
- 2.424D-16 - 0.0618936i
- 2.481D-15 - 0.0316501i
0.1418497 + 1.1140846i
0.0004282 + 0.0612134i
0.0001132 + 0.0314713i
- 6.822D-16 - 0.9284038i
- 1.543D-15 - 0.0605481i
4.296D-16 - 0.0312945i
0.0723723 + 0.7957747i
0.0004100 + 0.0598970i
0.0001107 + 0.0311197i
- 6.822D-16 - 0.6963029i
5.810D-16 - 0.0592598i
- 2.424D-16 - 0.0309468i
0.0437808 + 0.6189359i
0.0003929 + 0.0586360i
0.0001082 + 0.0307758i
- 6.822D-16 - 0.5570423i
- 6.822D-16 - 0.0580252i
- 8.997D-16 - 0.0306067i
0.0293078 + 0.5064021i
0.0003769 + 0.0574270i
0.0001059 + 0.0304395i
- 6.822D-16 - 0.4642019i
- 1.894D-15 - 0.0568411i
- 1.543D-15 - 0.0302740i
0.0209837 + 0.4284941i
0.0003618 + 0.0562669i
0.0001036 + 0.0301104i
- 6.822D-16 - 0.3978874i
1.094D-16 - 0.0557042i
- 2.172D-15 - 0.0299485i
0.0157611 + 0.3713615i
0.0003476 + 0.0551527i
0.0001014 + 0.0297884i
- 6.822D-16 - 0.3481514i
- 1.070D-15 - 0.0546120i
5.810D-16 - 0.0296299i
0.0122707 + 0.3276719i
0.0003343 + 0.0540818i
0.0000993 + 0.0294731i
- 6.822D-16 - 0.3094679i
8.401D-16 - 0.0535618i
- 5.723D-17 - 0.0293180i
0.0098234 + 0.2931802i
0.0003217 + 0.0530516i
0.0000972 + 0.0291645i
- 6.822D-16 - 0.2785212i
- 3.088D-16 - 0.0525512i
- 6.822D-16 - 0.0290126i
0.0080414 + 0.2652582i
0.0003097 + 0.0520600i
0.0000952 + 0.0288623i
- 2.481D-15 - 0.2532010i
- 1.415D-15 - 0.0515780i
- 1.294D-15 - 0.0287135i
0.0067037 + 0.2421923i
0.0002985 + 0.0511048i
0.0000933 + 0.0285663i
- 6.822D-16 - 0.2321010i
3.973D-16 - 0.0506402i
- 1.894D-15 - 0.0284205i
0.0056740 + 0.2228169i
0.0002878 + 0.0501840i
0.0000914 + 0.0282763i
8.401D-16 - 0.2142470i
- 6.822D-16 - 0.0497359i
7.171D-16 - 0.0281334i
0.0048645 + 0.2063120i
0.0002777 + 0.0492958i
0.0000895 + 0.0279921i
- 6.822D-16 - 0.1989437i
- 1.724D-15 - 0.0488634i
1.094D-16 - 0.0278521i
0.0042167 + 0.1920836i
0.0002681 + 0.0484385i
0.0000878 + 0.0277135i
- 2.002D-15 - 0.1856808i
2.378D-19 - 0.0480209i
- 4.862D-16 - 0.0275764i
0.0036902 + 0.1796911i
0.0002591 + 0.0476105i
0.0000861 + 0.0274405i
- 6.822D-16 - 0.1740757i
- 1.018D-15 - 0.0472070i
- 1.070D-15 - 0.0273060i
0.0032564 + 0.1688007i
0.0002504 + 0.0468103i
0.0000844 + 0.0271728i
4.819D-16 - 0.1638360i
- 2.002D-15 - 0.0464202i
- 1.643D-15 - 0.0270409i
0.0028949 + 0.1591549i
0.0002422 + 0.0460366i
0.0000828 + 0.0269103i
- 6.822D-16 - 0.1547340i
- 3.578D-16 - 0.0456592i
8.401D-16 - 0.0267809i
0.0025904 + 0.1505520i
0.0002344 + 0.0452880i
0.0000812 + 0.0266527i
- 1.724D-15 - 0.1465901i
- 1.321D-15 - 0.0449228i
2.602D-16 - 0.0265258i
0.0023315 + 0.1428314i
0.0002270 + 0.0445634i
0.0000797 + 0.0264001i
- 6.822D-16 - 0.1392606i
2.602D-16 - 0.0442097i
- 3.088D-16 - 0.0262756i
0.0021096 + 0.1358640i
0.0002199 + 0.0438616i
0.0000782 + 0.0261522i
2.602D-16 - 0.1326291i
- 6.822D-16 - 0.0435189i
- 8.671D-16 - 0.0260300i
0.0019179 + 0.1295447i
0.0002131 + 0.0431816i
0.0000767 + 0.0259089i
- 2.481D-15 - 0.1266005i
- 1.596D-15 - 0.0428494i
- 1.415D-15 - 0.0257890i
0.0017512 + 0.1237872i
0.0002066 + 0.0425223i
0.0000753 + 0.0256702i
- 1.543D-15 - 0.1210962i
- 8.248D-17 - 0.0422002i
- 1.953D-15 - 0.0255524i
0.0016054 + 0.1185196i
0.0002005 + 0.0418829i
0.0000739 + 0.0254357i
- 6.822D-16 - 0.1160505i
- 9.776D-16 - 0.0415703i
3.973D-16 - 0.0253201i
0.0014770 + 0.1136821i
0.0001946 + 0.0412624i
0.0000726 + 0.0252055i
1.094D-16 - 0.1114085i
4.819D-16 - 0.0409590i
- 1.473D-16 - 0.0250920i
0.0013634 + 0.1092240i
0.0001889 + 0.0406600i
0.0000713 + 0.0249795i
8.401D-16 - 0.1071235i
- 3.954D-16 - 0.0403654i
- 6.822D-16 - 0.0248680i
0.0012625 + 0.1051023i
0.0001835 + 0.0400750i
0.0000700 + 0.0247574i
- 1.415D-15 - 0.1031560i
- 1.248D-15 - 0.0397887i
- 1.208D-15 - 0.0246479i
0.0011723 + 0.1012804i
0.0001784 + 0.0395065i
0.0000688 + 0.0245393i
- 6.822D-16 - 0.0994718i
1.540D-16 - 0.0392283i
- 1.724D-15 - 0.0244317i
0.0010915 + 0.0977267i
0.0001734 + 0.0389540i
0.0000676 + 0.0243250i
2.378D-19 - 0.0960418i
- 6.822D-16 - 0.0386835i
5.224D-16 - 0.0242192i
0.0010187 + 0.0944139i
0.0001687 + 0.0384167i
0.0000665 + 0.0241144i
- 2.002D-15 - 0.0928404i
- 1.495D-15 - 0.0381536i
2.378D-19 - 0.0240104i
0.0009530 + 0.0913184i
0.0001641 + 0.0378940i
0.0000653 + 0.0239074i
- 1.321D-15 - 0.0898455i
- 1.473D-16 - 0.0376380i
- 5.130D-16 - 0.0238052i
0.0008935 + 0.0884194i
0.0001597 + 0.0373854i
0.0000642 + 0.0237039i
- 6.822D-16 - 0.0870379i
- 9.460D-16 - 0.0371362i
- 1.018D-15 - 0.0236035i
0.0008393 + 0.0856988i
0.0001555 + 0.0368902i
0.0000631 + 0.0235039i
- 8.248D-17 - 0.0844003i
- 1.724D-15 - 0.0366475i
- 1.514D-15 - 0.0234051i
0.0007900 + 0.0831406i
0.0001515 + 0.0364080i
0.0000621 + 0.0233072i
4.819D-16 - 0.0819180i
- 4.252D-16 - 0.0361716i
- 2.002D-15 - 0.0232101i
0.0007449 + 0.0807308i
0.0001476 + 0.0359382i
0.0000611 + 0.0231138i
- 1.248D-15 - 0.0795775i
- 1.190D-15 - 0.0357078i
1.356D-16 - 0.0230183i
0.0007035 + 0.0784567i
0.0001439 + 0.0354804i
0.0000601 + 0.0229236i
- 6.822D-16 - 0.0773670i
6.934D-17 - 0.0352558i
- 3.578D-16 - 0.0228296i
0.0006655 + 0.0763072i
0.0001403 + 0.0350341i
0.0000591 + 0.0227364i
- 1.473D-16 - 0.0752760i
- 6.822D-16 - 0.0348151i
- 8.431D-16 - 0.0226440i
0.0006304 + 0.0742723i
0.0001368 + 0.0345989i
0.0000581 + 0.0225523i
- 1.724D-15 - 0.0732950i
- 1.415D-15 - 0.0343853i
- 1.321D-15 - 0.0224614i
0.0005981 + 0.0723432i
0.0001335 + 0.0341744i
0.0000572 + 0.0223712i
- 1.190D-15 - 0.0714157i
- 2.130D-15 - 0.0339660i
- 1.790D-15 - 0.0222817i
0.0005682 + 0.0705117i
0.0001303 + 0.0337601i
0.0000563 + 0.0221929i
- 6.822D-16 - 0.0696303i
9.869D-16 - 0.0335568i
2.602D-16 - 0.0221049i
0.0005405 + 0.0687707i
0.0001272 + 0.0333558i
0.0000554 + 0.0220175i
- 2.130D-15 - 0.0679320i
2.602D-16 - 0.0331573i
- 2.147D-16 - 0.0219308i
0.0005148 + 0.0671135i
0.0001242 + 0.0329611i
0.0000545 + 0.0218448i
2.602D-16 - 0.0663146i
- 4.494D-16 - 0.0327672i
0.0004908 + 0.0655344i
0.0001213 + 0.0325756i
Графік зміни спектру для заданої кількості коефіцієнтів:
На рисунку приведено графіки дійсної та уявної частини комплексного частотного спектру заданого сигналу.
Рис.1. Графіки зміни спектру
Отримані результати, обраховані в лабораторній роботі №3:
Таблиця значень спектральних коефіцієнтів.
№
Значення
№
Значення
№
Значення
26.28418
87.
0.0341797 - 0.0586456i
0.0341797 - 0.0193626i
- 3.5121062 - 5.5703531i
0.0336640 - 0.0578271i
0.0340045 - 0.0190865i
0.0341797 - 2.7850717i
0.0341797 - 0.0570254i
0.0341797 - 0.0188123i
- 0.3598916 - 1.8565979i
0.0336847 - 0.0562399i
0.0340069 - 0.0185400i
0.0341797 - 1.3923261i
0.0341797 - 0.0554701i
0.0341797 - 0.0182694i
- 0.1077145 - 1.113735i
0.0337040 - 0.0547155i
0.0340091 - 0.0180007i
0.0341797 - 0.9279843i
0.0341797 - 0.0539756i
0.0341797 - 0.0177336i
- 0.0382371 - 0.7952853i
0.0337221 - 0.0532499i
0.0340113 - 0.0174683i
0.0341797 - 0.6957435i
0.0341797 - 0.0525380i
0.0341797 - 0.0172046i
- 0.0096456 - 0.6183066i
0.0337391 - 0.0518393i
0.0340134 - 0.0169426i
0.0341797 - 0.5563430i
0.0341797 - 0.0511535i
0.0341797 - 0.0166821i
0.0048274 - 0.5056329i
0.0337549 - 0.0504802i
0.0340153 - 0.0164232i
0.0341797 - 0.4633627i
0.0341797 - 0.0498190i
0.0341797 - 0.0161658i
0.0131514 - 0.4275849i
0.0337699 - 0.0491695i
0.0340172 - 0.0159099i
0.0341797 - 0.3969082i
0.0341797 - 0.0485314i
0.0341797 - 0.0156554i
0.0183740 - 0.3703123i
0.0337839 - 0.0479043i
0.0340191 - 0.0154024i
0.0341797 - 0.3470322i
0.0341797 - 0.0472879i
0.0341797 - 0.0151508i
0.0218644 - 0.3264826i
0.0337971 - 0.0466819i
0.0340208 - 0.0149006i
0.0341797 - 0.3082086i
0.0341797 - 0.0460860i
0.0341797 - 0.0146516i
0.0243117 - 0.2918507i
0.0338096 - 0.0454998i
0.0340225 - 0.0144040i
0.0341797 - 0.2771216i
0.0341797 - 0.0449231i
0.0341797 - 0.0141577i
0.0260937 - 0.2637885i
0.0338213 - 0.0443557i
0.0340241 - 0.0139126i
0.0341797 - 0.2516612i
0.0341797 - 0.0437972i
0.0341797 - 0.0136687i
0.0274313 - 0.2405823i
0.0338324 - 0.0432475i
0.0340256 - 0.0134261i
0.0341797 - 0.2304207i
0.0341797 - 0.0427062i
0.0341797 - 0.0131846i
0.0284610 - 0.2210665i
0.0338429 - 0.0421731i
0.0340270 - 0.0129442i
0.0341797 - 0.2124263i
0.0341797 - 0.0416481i
0.0341797 - 0.0127049i
0.0292704 - 0.2044210i
0.0338528 - 0.0411308i
0.0340284 - 0.0124668i
0.0341797 - 0.1969824i
0.0341797 - 0.0406212i
0.0341797 - 0.0122297i
0.0299182 - 0.1900519i
0.0338622 - 0.0401189i
0.0340297 - 0.0119936i
0.0341797 - 0.1835788i
0.0341797 - 0.0396238i
0.0341797 - 0.0117586i
0.0304447 - 0.1775187i
0.0338711 - 0.0391356i
0.0340310 - 0.0115245i
0.0341797 - 0.1718329i
0.0341797 - 0.0386543i
0.0341797 - 0.0112914i
0.0308784 - 0.1664874i
0.0338796 - 0.0381797i
0.0340322 - 0.0110593i
0.0341797 - 0.1614522i
0.0341797 - 0.0377115i
0.0341797 - 0.0108281i
0.0312399 - 0.1567006i
0.0338876 - 0.0372496i
0.0340333 - 0.0105977i
0.0341797 - 0.1522091i
0.0341797 - 0.0367938i
0.0341797 - 0.0103683i
0.0315443 - 0.1479564i
0.0338952 - 0.0363440i
0.0340344 - 0.0101397i
0.0341797 - 0.1439239i
0.0341797 - 0.0359000i
0.0341797 - 0.0099119i
0.0318031 - 0.1400945i
0.0339025 - 0.0354618i
0.0340355 - 0.0096850i
0.0341797 - 0.1364530i
0.0341797 - 0.0350290i
0.0341797 - 0.0094588i
0.0320250 - 0.1329856i
0.0339093 - 0.0346017i
0.0340364 - 0.0092334i
0.0341797 - 0.1296799i
0.0341797 - 0.0341797i
0.0341797 - 0.0090087i
0.0322166 - 0.1265246i
0.0339159 - 0.0337628i
0.0340374 - 0.0087848i
0.0341797 - 0.1235095i
0.0341797 - 0.0333509i
0.0341797 - 0.0085616i
0.0323833 - 0.1206252i
0.0339221 - 0.0329440i
0.0340382 - 0.0083390i
0.0341797 - 0.1178632i
0.0341797 - 0.0325418i
0.0341797 - 0.0081171i
0.0325291 - 0.1152156i
0.0339281 - 0.0321443i
0.0340390 - 0.0078959i
0.0341797 - 0.1126753i
0.0341797 - 0.0317513i
0.0341797 - 0.0076753i
0.0326574 - 0.1102358i
0.0339338 - 0.0313628i
0.0340398 - 0.0074553i
0.0341797 - 0.1078909i
0.0341797 - 0.0309787i
0.0341797 - 0.0072359i
0.0327709 - 0.1056352i
0.0339392 - 0.0305988i
0.0340405 - 0.0070171i
0.0341797 - 0.1034634i
0.0341797 - 0.0302230i
0.0341797 - 0.0067988i
0.0328718 - 0.1013708i
0.0339443 - 0.0298513i
0.0340412 - 0.0065810i
0.0341797 - 0.0993530i
0.0341797 - 0.0294836i
0.0341797 - 0.0063638i
0.0329618 - 0.0974060i
0.0339493 - 0.0291197i
0.0340419 - 0.0061470i
19.03.2017 16:03-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора