Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
МЕТОД ГАУССА ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
ІКТА
Факультет:
КН
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Звіт до лабораторної роботи
Предмет:
Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”
ІКТА
кафедра БІТ
З В І Т
до лабораторної роботи №2
з курсу:“ Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем ”
на тему:“ МЕТОД ГАУССА ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ
ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ”
Варіант №16
Мета роботи - ознайомлення з прямими методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
Короткі теоретичні відомості
Класичний метод Гаусса.
Розглянемо систему рівнянь четвертого порядку:
(1)
Зауважимо, що елементи вектора-стовпчика вільних членів занесені в матрицю коефіцієнтів А.
Будемо вважати, що . З першого рівняння знаходимо х1:
, (2)
де , .
З допомогою рівняння (2) можна виключити з решти рівнянь, для чого достатньо підставити праву частину (2) замість в друге, третє і четверте рівняння системи. Це і є першим кроком – кроком виключення невідомого .
відбувається за такою формулою:
Другий крок – виключення невідомого відбувається аналогічно:
Третій крок – виключення невідомого
Останнє рівняння модифікованої системи можна переписати у вигляді:
де
або .
Отже, в результаті прямого ходу одержимо систему рівнянь:
Знаходження невідомих проводиться в оберненому ході методу Гаусса шляхом зворотніх підстановок.
Отже, обчислювальна схема прямого ходу методу Гаусса має вигляд:
Для
Для
Для
Для
i піддається спрощенню.
Початкове обчислення всіх коефіцієнтів c не є обов’язковим. Це випливає з наступного.
Якщо замінити на (адже верхній рядок коефіцієнтів матриці А на наступному кроці виключення не перераховується, а тому може бути перерахований і використаний як коефіцієнти ) та цикли по J та по K об’єднати в один, одержимо загальну форму методу виключення Гаусса із стовпцевою формою розкладу матриці А до трикутного вигляду:
В кінці цих перетворень (зворотній хід методу) одержимо:
Таким чином, стовпцева форма розкладу зображується наступною обчислювальною схемою:
Для до
Для до +1
(3)
Для до
В цій обчислювальній схемі права частина системи (1) також обробляється в ході зведення матриці А до трикутного вигляду. Тобто коефіцієнти приєднані до і-го рядка матриці А (член ) (саме тому в циклі по "k" верхня межа зростає до ). Можна залишити на місці, не вносячи в масив А. В цьому випадку в результаті виконання прямого ходу методу Гаусса одержується система рівнянь:
(4)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
.
Обернений хід при стовпчиковій формі розкладу описується загальною формулою:
, (5)
Розглянемо тепер рядкову форму розкладу матриці А. Вона базується на зведенні системи лінійних рівнянь до трикутного вигляду. Для цього спочатку нормують перше рівняння системи (1), ділячи його на а11(0), тобто роблять коефіцієнт при х1 рівним 1. Потім це перше рівняння домножують відповідно на коефіцієнт аі,1(0) при х1 всіх інших рівнянь і послідовно віднімають від усієї решти рівнянь. В результаті х1 буде виключене із всіх рівнянь, крім першого. На другому кроці виключають х2 з третього, четвертого, ..., п –го рівнянь. Цю процедуру повторюють до тих пір, доки вся система не буде зведена до такого трикутного вигляду:
(6)
Рядкова форма зображається наступною обчислювальною схемою (у випадку внесення коефіцієнтів b в матрицю A):
Для до
Для до
(7)
Для до +1
Тобто, на відміну від стовпчикової форми, обчислення коефіцієнтів нової матриці відбувається по рядках. Результат же одержується той самий.
При (обертанні) обчисленні оберненої матриці доцільно використовувати розклад матриці А до трикутного вигляду за рядковою формою.
Повний текст завдання
/k=2; p=5
Блок-схема алгоритму. Обгрунтування вибору початкових даних.
Main input() matrAB()
/ / /
matrLU_f() calc_Lij()
/ /
/ calc_roots()
Список ідентифікаторів констант, змінних, процедур і функцій, використаних в програмі, та їх пояснення.
i, j, k, p, z, iu, ju – змінні типу int, які використовуються в програмі;
S, b, Y, X – одновимірні масиви плаваючого типу, які використовуються в програмі;
input() – метод зчитування введених даних;
class Program – клас, який містить тільки головну функцію Main();
class Main – клас, у якому відбуваються усі дії;
Console.ReadLine() та Console.ReadKey() – функція зчитування з клавіатури;
Console.WriteLine() та Console.Write() – функції виведення на екран;
Convert.ToInt32() – функція конвертування у тип Int;
try {} catch (Exception) {} – функція перехоплення винятку;
goto – оператор переходу виконання коду до відповідної мітки;
for() – оператор циклі з передумовою;
Остаточно відлагоджений текст програми згідно з отриманим завданням.
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;
namespace laboratorna3
{
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
Main_matrix p = new Main_matrix();
p.input();
p.matrAB();
p.matrLU_f();
p.calc_Lij();
p.calc_roots();
Console.ReadKey();
}
}
class Main_matrix
{
public int i, j, k, p, z, iz, jz;
public double S, b, sum_Lij, sum_Uij, sum_Yi, sum_Xi;
public double[,] matrix_A; public double[] matrix_B;
public double[,] matrix_L; public double[,] matrix_U;
public double[] Y;
public double[] X;
public void input()
{
inpt: try
{
Console.Write(" Enter k = "); k = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
Console.Write(" Enter p = "); p = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
}
catch (Exception) { Console.WriteLine("\tOops,error!"); goto inpt; }
S = 0.2 * k; b = 0.2 * p;
Console.WriteLine(" Entered: k=" + k + " та p=" + p + ";\tThen S = " + S + ", b = " + b + ";");
}
public void matrAB()
{
matrix_A = new double[4, 4];
matrix_A[0, 0] = 8.3; matrix_A[0, 1] = (2.62 + S); matrix_A[0, 2] = 4.1; matrix_A[0, 3] = 1.9;
matrix_A[1, 0] = 3.92; matrix_A[1, 1] = 8.45; matrix_A[1, 2] = (7.78 - S); matrix_A[1, 3] = 2.46;
matrix_A[2, 0] = 3.77; matrix_A[2, 1] = (7.21 + S); matrix_A[2, 2] = 8.04; matrix_A[2, 3] = 2.28;
matrix_A[3, 0] = 2.21; matrix_A[3, 1] = (3.65 - S); matrix_A[3, 2] = 1.69; matrix_A[3, 3] = 6.99;
matrix_B = new double[4];
matrix_B[0] = (-10.55 + b); matrix_B[1] = 12.21; matrix_B[2] = (15.45 - b); matrix_B[3] = -8.35;
}
public void matrLU_f()
{
matrix_L = new double[4, 4];
matrix_U = new double[4, 4];
for (i = 0; i < 4; i++)
{
matrix_L[i, 0] = matrix_A[i, 0]; }
for (j = 0; j < 4; j++)
{
matrix_U[0, j] = matrix_A[0, j] / matrix_L[0, 0];
}
Y = new double[4];
Y[0] = matrix_B[0] / matrix_L[0, 0];
}
#region calc SUM L&U&Y
public void sum_L()
{
sum_Lij = 0.0;
for (z = 0; z < j; z++) { sum_Lij += matrix_L[i, z] * matrix_U[z, j]; }
}
public void sum_U()
{
sum_Uij = 0.0;
for (z = 0; z < iz; z++) { sum_Uij += matrix_L[iz, z] * matrix_U[z, jz]; }
}
public void sum_Y()
{
sum_Yi = 0.0;
for (z = 0; z < (i - 1); z++) { sum_Yi += matrix_L[j, z] * Y[z]; }
}
#endregion
public void calc_Lij()
{
for (j = 1; j < 4; j++)
{
for (i = 0; i < 4; i++)
{
if (i >= j)
{
sum_L();
matrix_L[i, j] = matrix_A[i, j] - sum_Lij;
}
}
iz = j; calc_Uij();
sum_Y();
Y[j] = (matrix_B[j] - sum_Yi) / matrix_L[j, j];
}
}
public void calc_Uij()
{
for (jz = 1; jz < 4; jz++)
{
sum_U();
matrix_U[iz, jz] = (matrix_A[iz, jz] - sum_Uij) / matrix_L[iz, iz];
}
}
public void sum_X()
{
sum_Xi = 0.0;
for (z = (i + 1); z < 4; z++) { sum_Xi += matrix_U[i, z] * X[z]; }
}
public void calc_roots()
{
X = new double[4];
X[3] = Y[3];
for (i = 2; i >= 0; i--)
{
sum_X();
X[i] = Y[i] - sum_Xi;
}
Console.WriteLine("\n");
for (i = 0; i < 4; i++) { Console.WriteLine(" Root X[" + (i + 1) + "] = " + X[i]); }
}
}
}
Результати роботи програми
/
Висновок: на цій лабораторній роботі я ознайомилася з прямими методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь та знайшла корені рівняння методом Гаусса.
23.10.2017 21:10-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора