Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Встановлення закономірностей в підмножинах натурального ряду
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
ІКНІ
Факультет:
КН
Кафедра:
Кафедра автоматизованих систем управління
Інформація про роботу
Рік:
2016
Тип роботи:
Звіт до лабораторної роботи
Предмет:
Інформаційні технології
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Національний університет «Львівська політехніка»
Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій
Кафедра автоматизованих систем управління
Звіт
з лабораторної роботи №2
Тема:
«Встановлення закономірностей в підмножинах натурального ряду»
Лабораторна робота №2
Тема роботи: Встановлення закономірностей в натуральному ряді
Мета роботи: Навчитись знаходити і аналітично відображати закономірності розміщення підмножин натурального ряду.
Короткі теоретичні відомості
Додатні числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., що з’явилися в результаті рахунку називаються натуральними і утворюють натуральний ряд чисел. Для запису натуральних чисел користуються десятковою системою числення, в основі якої лежать десять знаків - цифр. На першому місці в натуральному ряді стоїть число 1, за ним іде число 2, далі 3 і так до 9. Після 9, згідно з правилом десяткового числення, йде число 10, а за 10 іде 11, і у натуральному ряді немає останнього числа - за кожним натуральним числом стоїть ще одне натуральне число, за яким - ще одне і т.д.
Натуральних чисел нескінченно багато. Найбільше натуральне число назвати в принципі неможливо, оскільки нескінченність ряду таких чисел розуміє обов'язкову наявність числа, більшого будь-якого названого на 1. За цих умов правий край ряду натуральних чисел прийнято позначати символом нескінченності (значок ∞).
Крім того, всяке натуральне число відноситься або до класу простих чисел, або до класу складених чисел; відповідно, ряд натуральних чисел складається з простих і складених чисел. Просте число ділиться без залишку тільки на себе і на 1, тому має лише два позитивних дільники. Натуральне число, яке ділиться без залишку ще на якесь натуральне число, крім самого себе і 1 називається складеним.
Додатково по натуральних числах можна сказати наступне.
Одиниця умовно вважається простим числом, хоча вона не є ні простим, ні складеним числом, адже одиниця має лише один позитивний дільник. Виходить так, що одиниця відповідає критерію простих чисел, бо ділиться на саму себе і на 1, хоча дільник насправді виходить один і той же.
Двійка - той поодинокий випадок, коли в клас простих чисел потрапило парне число. Взагалі ж серед простих чисел більше немає жодного парного числа, оскільки інші парні числа більше 2 діляться як мінімум на 2.
Простих чисел у ряді натуральних чисел теж нескінченна множина в тому сенсі, що прості числа продовжують з'являтися на всьому проміжку ряду натуральних чисел, а не перериваються в якійсь точці ряду.
Прості числа (ті натуральні числа, які мають тільки два натуральних дільники: одиницю й саме себе) зовсім не такі прості, як може здатися на перший погляд. Скоріше навпаки: серед різних чисел вони приховують, напевно, найбільшу кількість загадок, над якими от уже багато сторіч б’ються кращі математики.
Два, три, п’ять, сім, одинадцять, тринадцять, сімнадцять... — щороку математики знаходять усе більші й більші прості числа. Якщо за часів Ейлера таким було 2147483647, то сьогоднішній рекордсмен — 2 у ступені 43112609 мінус 1 — у десятковому записі має 12978189 розрядів! Але математиків набагато більше за конкретні прості числа цікавлять пов’язані з ними закономірності: скільки їх, яка логіка їхньої появи серед натуральних чисел тощо. І якщо нескінченність кількості простих чисел зумів довести ще Евклід, то друге питання математики не можуть розв’язати досі.
Світло на нього кинуло випадкове відкриття польсько-американського математика Станіслава Улама (до речі, наш співвітчизник — він народився в польському тоді Львові). Якось 1963 року, сидячи на нудній доповіді, учений почав за спіраллю заповнювати числами клітинки листка у зошиті, при цьому машинально відзначав серед них прості. Виявилося, що прості числа розташовуються не хаотично, а утворюють орнаменти з діагональних ліній.
Сучасні комп’ютери будують такі «вишиванки» (математики не дуже шанобливо називають їх «скатертинами Улама») для десятків мільйонів чисел, і знайдена закономірність підтверджується. Однак підвести під цю «красу» міцний теоретичний фундамент поки не вдалося.
Прості числа зовсім не такі прості, як може здатися на перший погляд. Скоріше навпаки: серед різних чисел вони приховують, напевно, найбільшу кількість загадок, над якими от уже багато сторіч б’ються кращі математики.
Просте число — це натуральне число, яке має рівно два натуральних дільники (лише 1 і саме число). Решту чисел, окрім одиниці, називають складеними. Таким чином, всі натуральні числа понад одиницю розбивають на прості і складені. Теорія чисел вивчає властивості простих чисел. В теорії кілець простим числам відповідають незвідні елементи.
Натуральних чисел нескінченно багато. Найбільше натуральне число назвати в принципі неможливо, оскільки нескінченність ряду таких чисел розуміє обов'язкову наявність числа, більшого будь-якого названого на 1. За цих умов правий край ряду натуральних чисел прийнято позначати символом нескінченності (значок ∞).
Крім того, всяке натуральне число відноситься або до класу простих чисел, або до класу складених чисел; відповідно, ряд натуральних чисел складається з простих і складених чисел. Просте число ділиться без залишку тільки на себе і на 1, тому має лише два позитивних дільники. Натуральне число, яке ділиться без залишку ще на якесь натуральне число, крім самого себе і 1 називається складеним.
Одиниця умовно вважається простим числом, хоча вона не є ні простим, ні складеним числом, адже одиниця має лише один позитивний дільник. Виходить так, що одиниця відповідає критерію простих чисел, бо ділиться на саму себе і на 1, хоча дільник насправді виходить один і той же.
Двійка - той поодинокий випадок, коли в клас простих чисел потрапило парне число. Взагалі ж серед простих чисел більше немає жодного парного числа, оскільки інші парні числа більше 2 діляться як мінімум на 2.
Простих чисел у ряді натуральних чисел теж нескінченна множина в тому сенсі, що прості числа продовжують з'являтися на всьому проміжку ряду натуральних чисел, а не перериваються в якійсь точці ряду.
Прості числа (ті натуральні числа, які мають тільки два натуральних дільники: одиницю й саме себе) зовсім не такі прості, як може здатися на перший погляд. Скоріше навпаки: серед різних чисел вони приховують, напевно, найбільшу кількість загадок, над якими от уже багато сторіч б’ються кращі математики.
Два, три, п’ять, сім, одинадцять, тринадцять, сімнадцять... — щороку математики знаходять усе більші й більші прості числа. Якщо за часів Ейлера таким було 2147483647, то сьогоднішній рекордсмен — 2 у степені (43112609 мінус 1) — у десятковому записі має 12978189 розрядів!
Підмножини, відмічені зеленим кольором, називаються головною і бічною діагоналями спіралі. Головна і бічна діагоналі перетинаються в центрі спіралі. Частини цих діагоналей (починаючи від перетину), називають півдіагоналями (відповідно головними, бічними).
Підмножини чисел, розміщених вертикально (горизонтально), називаються вертикалями (горизонталями) спіралі.
Вертикаль (горизонталь), яка проходить через центр спіралі, називається головною.
Вертикалі, які розміщені над (під) головною горизонталлю, називаються верхніми (нижніми) піввертикалями.
Горизонталі, які розміщені зліва (зправа) головної вертикалі, називаються лівими (правими) півгоризонталями.
Підмножини чисел, розміщені між сусідніми головними піввертикаллю і півгоризонталлю, називають квадрантами.
Спосіб № 1
Хід роботи:
Знайти аналітичні вирази двох головних півдіагоналей і двох бічних півдіагоналей числової спіралі з центром 61.
f2(x) f1(x)
151
150
149
148
147
146
145
144
143
142
181
152
117
116
115
114
113
112
111
110
141
180
153
118
91
90
89
88
87
86
109
140
179
154
119
92
73
72
71
70
85
108
139
178
155
120
93
74
63
62
69
84
107
138
177
156
121
94
75
64
61
68
83
106
137
176
157
122
95
76
65
66
67
82
105
136
175
158
123
96
77
78
79
80
81
104
135
174
159
124
97
98
99
100
101
102
103
134
173
160
125
126
127
128
129
130
131
132
133
172
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
f3(x) f4(x)
61 69 85 109 141 181 - елементи першої бічної півдіагоналі.
8 16 24 32 40 - перша різниця.
8 8 8 8 - друга різниця.
Я буду розглядати квадратний многочлен: f1, де x [1; ). f
Для мого прикладу:
Обчислюю першу різницю:
R1=(4A+2B+C)-(A+B+C) = 3A+B
R2=(9A+3B+C)-(4A+2B+C) = 5A+B
Обчислюю другу різницю:
d=(5A+B)-(3A+B)=2A=8
A=8/2=4.
Шукаю інші коефіцієнти:
А+В+С=61, → В+С=61-А=61-4=57
В+С=57, → С=57-В
4А+2В+С=69, → 2В+С=69-4А=69-4×4=53
2В+С=53, → 2В+(57-В)=53
2В+57-В=53
В=53-57=-4
С=57-В=57+4=61
Отже, f1(x)=4х2-4х+61
61 65 77 97 125 161 - елементи другої бічної півдіагоналі.
4 12 20 28 36 - перша різниця.
8 8 8 8 - друга різниця.
Я буду розглядати квадратний многочлен: f3, де x [1; ).
Для мого прикладу:
Обчислюю першу різницю:
R1=(4A+2B+C)-(A+B+C) = 3A+B
R2=(9A+3B+C)-(4A+2B+C) = 5A+B
Обчислюю другу різницю:
d=(5A+B)-(3A+B)=2A=8
A=8/2=4.
Шукаю інші коефіцієнти:
А+В+С=61, → В+С=61-А=61-4=57
В+С=57, → С=57-В
4А+2В+С=65, → 2В+С=65-4А=65-4×4=49
2В+С=49, → 2В+(57-В)=49
2В+57-В=49
В=49-57=-8
С=57-В=57+8=65
Отже, f3(x)=4х2-8х+65
61 63 73 91 117 151 - елементи першої головної півдіагоналі.
2 10 18 26 34 - перша різниця.
8 8 8 8 - друга різниця.
Я буду розглядати квадратний многочлен: f2, де x [1; ).
Для мого прикладу:
Обчислюю першу різницю:
R1=(4A+2B+C)-(A+B+C) = 3A+B
R2=(9A+3B+C)-(4A+2B+C) = 5A+B
Обчислюю другу різницю:
d=(5A+B)-(3A+B)=2A=8
A=8/2=4.
Шукаю інші коефіцієнти:
А+В+С=61, → В+С=61-А=61-4=57
В+С=57, → С=57-В
4А+2В+С=63, → 2В+С=63-4А=63-4×4=47
2В+С=47, → 2В+(57-В)=47
2В+57-В=47
В=47-57=-10
С=57-В=57+10=67
Отже, f2(x)=4х2-10х+67
61 67 81 103 133 171 - елементи другої головної півдіагоналі.
6 14 22 30 38 - перша різниця.
8 8 8 8 - друга різниця.
Я буду розглядати квадратний многочлен: f4, де x [1; ).
Для мого прикладу:
Обчислюю першу різницю:
R1=(4A+2B+C)-(A+B+C) = 3A+B
R2=(9A+3B+C)-(4A+2B+C) = 5A+B
Обчислюю другу різницю:
d=(5A+B)-(3A+B)=2A=8
A=8/2=4.
Шукаю інші коефіцієнти:
А+В+С=61, → В+С=61-А=61-4=57
В+С=57, → С=57-В
4А+2В+С=67, → 2В+С=67-4А=67-4×4=51
2В+С=51, → 2В+(57-В)=51
2В+57-В=51
В=51-57=-6
С=57-В=57+6=63
Отже, f4(x)=4х2-6х+63
Для перевірки знайдемо п’яте число у кожній з півдіагоналей:
1.
2.
3.
4.
Спосіб №2
Хід роботи: Знайти аналітичні вирази двох головних півдіагоналей і двох бічних півдіагоналей числової спіралі з центром 61.
Розташувавши числа по спіралі я встановила закономірності розміщення чисел по чотирьох півдіагоналях, двох головних піввертикалей та двох головних півгоризонталей. Підможини чисел, розміщені на кожній з вказаних частин можна знайти за такими формулами:
2
1
8
117
116
115
114
113
112
111
110
141
118
91
90
89
88
87
86
109
140
119
92
73
72
71
70
85
108
139
120
93
74
63
62
69
84
107
138
3
121
94
75
64
61
68
83
106
137
7
122
95
76
65
66
67
82
105
136
123
96
77
78
79
80
81
104
135
124
97
98
99
100
101
102
103
134
125
126
127
128
129
130
131
132
133
4
5
6
26.10.2017 00:10-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора