Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
ЗІ
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Білет
Предмет:
Інші
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Білет 1
а) Область визначення: D (sin x) = R.
б) Безліч значень: E (sin x) = [- 1, 1]. в) Парність, непарність: функція непарна.
г) Періодичність: функція періодична з основним періодом T = 2 / .
д) Нулі функції: sin x = 0 при x = / n, n / Z.
е) Проміжки знакопостоянства:
/ ; / .
ж) Проміжки монотонності: / ;
/ .
з) Екстремуми: / ; / .
Графік функції y = sin x зображений на малюнку.
/
Білет2 1. Співвідношення між синусом і косинусом.
Нехай точка Ρα(х, у) одиничного кола отримана поворотом точки Р0(1; 0) на кут αрадіан, тоді згідно з означенням синуса і косинуса: х = cos α, у = sin α (рис. 100)
/
Оскільки точка Рα(х;у) належить одиничному колу, то координати (х; у) задовольняють рівнянню х2 + у2 = 1. Підставивши в це рівняння замість х і у значення cos α і sin α, отримаємо:
(cos α)2 + (sin α)2 = 1 або (враховуючи, що (cos α)2 = cos2 α, (sin α)2 = sin2 α)) cos2 α + sin2 α = 1.
Таким чином, sin2 α + cos2 α = 1 для всіх значень α. Ця рівність називається основною триго нометричною тотожністю.
З основної тригонометричної тотожності можна виразити sin α через cos α і навпаки.
/, /.
Білет 3 3. Функція у = tg x, її графік.
Функція у = tg х не визначена для чисел виду π/2 + πk, k / Z. Складемо таблицю значень для функції у = tg х на проміжку (-π/2; π/2).
x
-π/2
-π/3
-π/4
-π/6
0
π/6
π/4
π/3
π/2
y
-
/
-1
-1//
0
1//
1
/
-
Враховуємо найменший додатній період функції у = tg х, що дорівнює π. Графік функції у = tg x зображено на малюнку 83.
/
Графік функції у = tg х називають тангенсоїдою, він складається з безлічі окремих віток тангенсоїди.
Білет4 4. Функція у = ctg x, її графік.
Функція у = ctg х не визначена для чисел виду πk, k / Z. Складемо таблицю значень для функції у = ctg х на проміжку (0;π).
x
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
y
-
/
1
1//
0
-1//
-1
-/
-
Враховуючи найменший додатній перехід функції у = ctg х, що дорівнює π. Графік функції у = ctg х зображений на малюнку 84.
/
Графіком функції у = ctg х також є тангенсоїда. Графіком функції у = ctg x також називають котангенсоїдою.
Білет 5
Логарифмом числа b за основою а називають показник степеня, до якого треба піднести а, щоб дістати b.
Записують це так loga b.
Приклад.
/
Вираз loga b має зміст, якщо а > 0, а ≠ 1 і b > 0.
1. Логарифм добутку двох додатних множників дорівнює сумі їх логарифмів, тобто
loga(x·y)= logax + logay, де x>0, y>0.
Д о в е д е н н я
Позначимо logax = z1 і logay = z2. За означенням логарифма, /, /. Перемножуючи почленно ці рівності, дістанемо: /. Тут z1+z2 є показник степеня, до якого треба піднести основу , щоб дістати число, яке дорівнює добутку. Отже, можна записати: loga(x·y) = z1+z2. Замінюючи z1 і z2 їх виразами через логарифми, остаточно дістанемо: loga(x·y)= logax + logay. Теорему доведено для окремого випадку – для двох множників. Але її можна довести і для будь-якого скінченого числа множників, бо при знаходженні добутку скінченого числа степенів однієї й тієї самої основи показники степенів додаються.
Для доведення цієї теореми можна було скористатися основною логарифмічною тотожністю. Пропонуємо читачу довести цей випадок самостійно. Білет6Формулизведення /
Білет 7
Показниковою функцією називається функція виду /, де а — задане число, а>0, а/1. Властивості показникової функції 1. Областю визначення показникової функції є всі дійсні числа. 2. Множиною значень показникової функції є всі додатні числа. 3. Функція не є ні парною ні непарною, оскільки а-х/ах, а-х/-ах. 4. Функція зростає на всій області визначення, якщо а>1 і спадає на всій області визначення, якщо 0 < а < 1. При х=0 значення функції дорівнює 1, тобто а0=1. 5. Немає таких значень аргументу, при яких значення показникової функції дорівнює нулю, тобто у показникової функції немає нулів. 6. Показникова функція неперервна на всій області визначення. 7. Графік показникової функції: / /х /х
Білет 8Коренем n-го степеня з числаа називається таке число, n-й степінь якого дорівнює а/. Якщо n — число непарне, то існує — і до того ж тільки один — корінь n-го степеня з довільного числа а. Цей корінь — число того ж знака, що число а, і дорівнює 0, якщо /. Позначення: /, де n — показник кореня, a — підкореневий вираз. Нехай n — парне число. Якщо /, то існує два протилежних числа, які є коренями n-го степеня з а. Позначення: / — додатний корінь n-го степеня з а, / — протилежне йому число (n — парне). Вираз /, якщо n — парне, має зміст для /. Якщо n — непарне, то вираз / має зміст при будь-якому а. / для всіх значень а, для яких / має зміст. Арифметичним коренем n-го степеняз невід’ємного числа називається невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює а. Для коренів непарного степеня /. Для коренів парного степеня / для будь-якого значення х. Для будь-якого натурального n, цілого k і невід’ємних чисел a і b справджується: /. /. //. //. / (якщо /, a ≠ 0). /, якщо /.
Білет 9
Функція виду у = loga x, де а — задане число, а > 0, а ≠ 1 нази вається логарифмічною функцією.
Логарифмічна функція має такі властивості:
1) Область визначення функції — множина всіх додатних чисел. Ця властивість випливає із означення логарифма, оскільки вираз loga х має смисл тільки при х > 0.
2) Область значень логарифмічної функції — множина R усіх дійсних чисел. Ця властивість випливає з того, що для будь-якого дійсного числа b є таке додатне число х, що loga x = b, тобто рівняння loga x = b має єдиний корінь. Такий корінь існує і дорівнює х = аb, оскільки loga аb = b.
3) Логарифмічна функція на всій області визначення зростає (при а > 1) або спадає (при 0 < а < 1). Нехай а > 1. Доведемо, що якщо x2 > х1 > 0, то
loga х2 > loga x1. Користуючись основною логарифмічною то тожністю, умовою x2 > х1, можна записати /. З останньої нерівності за властивістю степеня з основою а > 1 маємо, що loga х2 > loga x1.
Нехай 0 < а < 1. Доведемо, що якщо x2 > х1 > 0, то loga х2 < loga x1. Записавши умову x2 > х1 у вигляді / одержуємо loga х2 < loga x1, оскільки 0 < а < 1.
4) Якщо а > 1, то функція у = loga x приймає додатні значення при х > 1, від'ємні — при 0 < х < 1. Якщо 0 < а < 1, то функція у = loga x приймає додатні значен ня при 0 < х < 1, від'ємні — при х > 1.
Ця властивість випливає з того, що функція у = loga x при ймає значення, рівне нулю, при х = 1 і є зростаючою на про міжку х > 0, якщо а > 1, і спадною, якщо 0 < а < 1. Спира ючись на доведені властивості, неважко побудувати графік функції у = loga x (рис. 163).
/ /
Графіки показникової функції і логарифмічної функції, які мають однакові основи, симетричні відносно прямої у = х (рис. 164), бо функції у = 0х і у = loga x є взаємнооберненими.
Білет 10
Логарифмом числа b за основою а називають показник степеня, до якого треба піднести а, щоб дістати b.
Записують це так loga b.
Приклад.
/
Вираз loga b має зміст, якщо а > 0, а ≠ 1 і b > 0.
Логарифм частки двох додатних чисел (дробу дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника (чисельника знаменника), тобто де N1, > О, N2 > 0. Доведення. Нехай logаN1=x1 і logaN2=x2. Тоді N1=ах1, N2=ах2. Поділимо почленно першу рівність на другу: Тут -х1-ч2 є показником степеня, до якого треба піднести основу а, щоб одержати число, яке дорівнює частці . Отже, . Замінюючи х1 і х2 їхніми виразами через логарифми, остаточно одержуємо Наслідок. Логарифм дробу, чисельник якого дорівнює одиниці, дорівнює логарифму знаменника, взятому з протилежним знаком: log = - loga N.
Білет11
В основі розв’язування тригонометричних рівнянь є зведення до найпростіших типу: sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a. Зауважимо, що перші два рівняння мають розв’язки, лише за умови, коли модуль a не перевищує одиниці. Крім загальних формул розв’язків таких рівнянь, розглядаються і окремі випадки, коли синус і косинус приймають значення 0,-1,1.
Покажемо розв’язки найпростішіх рівнянь на тригонометричному колі та виділимо загальні й окремі випадки:
/ /
Зокрема, коротко звернемо увагу на властивості обернених тригонометричних функцій:
arcsin (–x)= – arcsin x;
arccos (–x)= π – arccos x;
arctg (–x)= – arctg x;
arcctg (–x)= π – arcctg x.
Виділимо сновні методи розв’язування тригонометричних рівнянь:
розкладання на множники;
зведення рівняння до квадратного;
однорідні тригонометричні рівняння;
введення нового аргументу;
пониження степеня;
заміна змінних.
Білет 12
Вивчення обернених тригонометричних функцій слід починати з повторення і розширення відомостей про обернені функції, які вивчались в курсі алгебри VIII класу і використовувались під час вивчення функцій /. У VIII класі було сформульо вано означення оборотної функції f, введено поняття функції g, оберненої до функції f, сформульовано необхідну і достатню умову існування функції, оберненої до даної і доведено достатню умову: кожна монотонна функція оборотна. Було доведено також теорему про властивість графіків взаємно обернених функцій і розглянуто вправи на знаходження за формулою даної функції оберненої до неї функції.
У IX класі було введено означення числової функції як відоб раження підмножини D множини R на деяку підмножину Е мно жини R. Для позначення області визначення і множини значень функції f були введені символи D(f) і E(f). У X класі під час повто рення відомостей про обернену функцію є можливість, використо вуючи введену в IX класі термінологію і символіку, сформулювати означення взаємно обернених функцій (див. [2]). З нових відомостей про взаємно обернені функції є теорема (яку формулюють без доведення) про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної неперервної і монотонної функції. Ця теорема використо вується, коли розглядаються обернені тригонометричні функції.
Перед введенням обернених тригонометричних функцій кожно го виду слід повторити з учнями властивості всіх тригонометричних функцій числового аргументу.
Після цього доцільно запропонувати учням знайти функцію, обернену, наприклад, до функції у = sin x. З курсу алгебри VIII класу відомо, що спочатку треба переконатись, чи є оборотною дана функція на області її визначення. З графіка синуса добре видно, що ця функція не є оборотною на області визначення, оскільки кожного свого значення вона набуває безліч раз. Але приклад функції у = х2 свідчить, що функція може бути оборотною на певній підмножині з області визначення, зокрема на тій множині, де вона монотонна. Функ ція у = sin x має безліч проміжків зро стання і спадання і тому є оборотною на кожному з них. Домовились вибрати один з цих проміжків - проміжок /, на якому синус зростає і набуває всіх своїх значень з множини значень [-1; 1].
Отже, функція у = sin х, якщо x //, оборотна і має обернену функцію, яку називають арксинусом і позначають arcsin. Після цього доцільно, щоб учні самі записали область визначення функції /і множину її значень: Е (arcsin) = /, D(arcsin) = [-1; 1] і назвали дві властивості функції арксинус (зростаюча і не перервна функція), спираючись на сформульовану раніше теорему про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної монотонної і неперервної функції.
Графік функції у = arcsin x учні також можуть побу дувати без допомоги вчителя, спираючись на властивість гра фіків взаємно обернених функцій. Доцільно наголосити на тому, що коли під знаком arcsin стоїть число додатне, то значення функції належать проміжку /, а коли від'ємне - то про міжку /, причому arcsin 0 = 0, arcsin 1 = /, arcsin (-1) = -/.
Доведемо непарність функції арксинус, тобто доведемо, що arcsin (-х)= - arcsin x. За означенням арксинуса маємо:
/, /
/
Помноживши всі три частини останньої нерівності на —1, дістанемо
/
Визначимо синуси виразів arcsin (-х) і -arcsin х, спираючись на означення арксинуса і непарність синуса
sin (arcsin (-х)) = -х,
sin (-arcsin х) =-sin (arcsin x) = -x.
Але якщо два числа належать одному проміжку /і синуси їх рівні, то й числа рівні, оскільки синус монотонний на вказаному проміжку. Отже,
arcsin (-х) = -arcsin x.
Властивість непарності підтверджується симетрією графіка функції у=arcsin x відносно початку координат.
Обчислюючи значення функції arcsin за таблицями синусів кутів, виражених у градусах, слід додержуватися правил наближе них обчислень. Ця вимога не завжди виконується в навчальному посібнику [2]. Так, в прикладі 1 з пояснювального тексту п. 85 записи слід було б виконати так:
0,9063 /sin 65°00';
65° 00' /1,1345 рад;
arcsin 0,9063 /1,1345,
оскільки даному наближеному значенню синуса 0,9063 за табли цями відповідає наближене значення кута з точністю до 1.
Якщо треба знайти arcsin 0,68, то відповідні записи повинні мати такий вигляд:
0,68 /sin 420
420 /0,73;
arcsin 0,683 /0,73
Вивчення інших обернених тригонометричних функцій можна проводити за таким самим планом, максимально стимулюючи самостійну роботу учнів під час знаходження відповідної оберне ної функції і з'ясування h властивостей. Щодо арккосинуса вчитель має звернути увагу учнів на те, що ця функція не належить ні до парних, ні до непарних функцій. Вона задовольняє умову
arccos (-х) = /- arccos х.
Можна запропонувати допитливим учням самостійно довести що тотожність.
Учні краще засвоять обернені тригонометричні функції та їх властивості, виконавши такі вправи.
1) Чи існує arccos 1,5?
2 ) Чи правильні рівності: arcsin х = /, arccos х = -/; arccos х = /?
3) Знайдіть область визначення функції у = arcsin (2х- 3).
4) В якій чверті знаходиться дуга у = 3arctg 1,7?
5) Обчисліть sin /; /.
Детальніше розглянути властивості обернених тригонометрич них функцій можна на заняттях математичного гуртка, зокрема на таких заняттях доцільно довести тотожності:
arccos (-х) = /- arccos x,
arcctg (-х) = /— arcctg x;
білет 13
Процеси реального світу тісно пов'язані між. собою. Серед різноманіття явищ вчені виділили такі, у яких взаємозв'язок величин настільки тісний, що, знаючи значення однієї з них, можна визначити значення другої величини.
Наприклад, знаючи сторону квадрата, можна знайти його площу або периметр.
Залежність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню χ відповідає єдине значення у, називається функцією.
З поняттям функції ви познайомилися в курсі алгебри. По няття функції є важливим поняттям курсу алгебри і початків аналізу, отже, ми повинні згадати і узагальнити відомості про функції. Крім того, досліджуючи властивості функцій, ми має мо можливості ґрунтовніше пізнати реальний світ.
II. Систематизація і узагальнення основних відомостей про числові функції
Числовою функцією з областю визначення D називається за лежність, при якій кожному числу х із множини D ставиться у відповідність по деякому правилу єдине число у із множини Е.
Змінна х називається незалежною змінною або аргументом функції, а змінна у — залежною змінною або функцією.
Функцію позначають латинськими буквами f, g, h... (або f(x), g(x), h(x)) або рівностями у = f(x), у = g(x), у = h(x)... Якщо задане конкретне значення незалежної змінної х = х0, то у0 = f(x0) називається значенням функції f в точці х0.
Область визначення функції позначається D(f) (від анг. defi ne — визначити). Множина, яка складається із всіх чисел f(x) таких, що х належить області визначення функціїf, називаєть ся областю значень функції і позначається E(f) (від анг. exist — існувати).
Розглянемо приклад. Результати вимірювання температури тіла хворого в залежності від часу подано в таблиці:
Час доби х (год)
9
12
15
18
21
24
Температура тіла y=f(x) (С°)
39
38,5
38,3
37,3
37,1
37
Залежність у·= f(x) є функцією, х — незалежна змінна, у — залежна змінна.
f(9) = 39, f(12) = 38.5,..., f(24) = 37.
D(f) = {9;12;15; 18; 21; 24}.
E(f) = {39; 38,5; 38,3; 37,3; 37,1; 37}.
Функцію можна задати за допомогою таблиці, графіка, фор мули.
Найчастіше функцію задають формулою, яка дає можливість одержати значення залежної змінної у, підставивши конкретне значення аргументу х.
Наприклад. Якщо кожному значенню х із множини дійсних чисел поставити у відповідність квадрат цього числа, то-функ цію можна записати у вигляді формули:
у = х2 або f(x)= x2.
Областю визначення функції у = f(x), яка задана формулою, називається множина тих значень, які може приймати х, тобто формула має зміст (усі дії, вказані формулою, можна виконати). При знаходженні області визначення слід пам'ятати:
1) Якщо функція є многочленом у = аn хn + αn-1 xn-1 +... + α1x + a0, то D(y) = (-/; +/) = R.
2) Якщо функція має вигляд у = / , де f(x) і g(x) — многочлени, то слід вважати g(x)/0 (знаменник дробу не дорів нює 0).
3) Якщо функція має вигляд у = / , то слід вважати f(x) > 0 (арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємних чисел).
Графіком функції у = f(x) називається множина всіх точок пло щини з координатами (x;f(x)) , де перша координата «пробігає» всю область визначення функції у = f(x), а друга координата — це відповідні значення функції в точці х.
Білет 14 Показникові рівняння. Приклади
Показниковими називають рівняння в яких невідома величина міститься в показнику степеня, при цьому основа степеня не містить невідомої величини. Саме просте показникове рівняння a^x=b розв'язують логарифмуванням x=log[a](b). /
При розв'язуванні показникових рівнянь використовують властивість показників: якщо рівні степені з однією і тією ж основою, то рівні показники степені, або основа дорівнює одиниці.
З рівності / слідує / або /.
Деякі рівняння потребують заміни змінної, що веде до розв'язування степеневого рівняння. Для прикладу рівняння / легко зводиться до квадратного, якщо зробити заміну /
При цьому вихідне рівняння набуде вигляду /
Після його розв'язку потрібно повернутися до заміни і розв'язати отримане рівняння.
Якщо показникове рівняння містить дві різні показникові функції (основи не зводяться до однієї), то виконують ділення рівняння на одну із основ у відповідній степені і перехід до показникового рівняння, що містить функцію з дробовою основою.
Шукаючи розв'язки показникових рівнянь слід пам'ятати, що показникова функція приймає лише додатні значення. Від'ємні значення або нулі заміненої змінної не беруться до розгляду.
На цьому необхідний теоретичний матеріал закінчується і переходимо до розгляду поширених прикладів.
Приклад 1.
Розв'язати рівняння /
Розв'язок. Перепишемо рівняння в наступному вигляду /
Другий доданок розпишемо, як добуток / та зробимо заміну у рівнянні /
Вихідне рівняння перетвориться до наступного
Областю допустимих значень буде дійсна множина за винятком точки y=0. /
Помножимо його на y та переносимо все в ліву сторону /
Отримали квадратне рівняння, корені якого знаходимо за теоремою Вієта. Не важко переконатися, що вони приймають значення /
Повертаємося до заміни, та знаходимо розв'язки / / Виконуємо перевірку / / Отже обидва розв'язки / задовольняють рівняння.
Білет15
Логарифмічна функція
Функцію виду /, де /, називають логарифмічною.
Основні властивості логарифмічної функції
Область визначення – (0;+∞).
Область значень – множина всіх дійсних чисел R.
Якщо х=1, то у=0.
Функція / не є ні парною, ні непарною.
Якщо а>1, функція / зростає, а при 0<а<1 – спадає.
Якщо а>1 і х>1, то /. Якщо а>1 і 0<х<1, то /. Якщо 0<а<1 і х>1, то /. Якщо 0<а<1 і 0<х<1, то /.
Графік функції /:
/
При знаходженні області визначення слід пам’ятати:
1) Якщо функція має вигляд /, то слід вважати f(x)>0 (під знаком логарифма може стояти тільки додатний вираз).
Наприклад: якщо /, то /, тобто /.
Білет 16
//
Білет 17
Степеневою функцією називається функція виду у = хp, де р — постійне дійсне число, а х (основа) — змінна. Згадаємо вла стивості степеневих функцій, їхні графіки. Результати наших досліджень будемо записувати в таблицю 18.
Таблиця 18 Функція у = хp
p
Графік
D(y)
E(y)
Пар ність (непарність)
Зрос тання (спа дання)
p=2k,
k/N
/
R
[0; +/)
парна
спадає, якщо
х/(-/; 0], зростає,
якщо х/[0; +/)
p=2k+1
k/N
/
R
R
непар на
зростає
p=-(2k),
k/N
/
x ≠ 0
(0; +/)
парна
зростає, якщо
х/(-/;0); спадає,
якщо х/(0; +/)
p=-(2k-1)
k/N
/
x ≠ 0
y ≠ 0
непар на
спадає
на проміж ках (-/; 0),
(0; +/)
p > 0, p – не ціле, 0<р<1
/
[0;+/)
[0;+/)
ні парна,
ні непар на
зростає
Р>0,
p – не ціле,
р > 1
/
[0;+/)
[0;+/)
ні парна,
ні непар на
зростає
р < 0,
р – не
ціле
/
(0;+/)
(0;+/)
ні парна,
ні непар на
спадає
Коментарі вчителя
1. Якщо р = 2k, k /Z, то функція у = х2k. Якщо k = 1, то ця функція має вигляд у = х2. Згадаємо її основні властивості. Функція у = х2:
- визначена для будь-якого дійсного х;
- додатна при х ≠ 0 і дорівнює 0 при х = 0;
- приймає всі невід'ємні значення;
- парна (графік симетричний відносно осі OY);
- спадає, якщо х є (-/; 0] і зростає, якщо х є [0; +/). Такі саме властивості має. функція у = х2k (рис. 80 підручника).
2. Якщо р = 1, то функція має вигляд у = х (графік — пряма, що проходить через початок координат і ділить перший і третій координатний кути пополам). Якщо р = 3, то ця функ ція має вигляд у = х3. Функція у = х3:
- визначена для будь-якого дійсного х;
- додатна при х > 0, від'ємна при х < 0 і дорівнює 0 при х = 0;
- зростаюча;
- приймає всі дійсні значення;
- непарна (графік симетричний відносно початку координат), Такі самі властивості має степенева функція у = х2k+1, k/N (рис. 79 підручника).
3. Розглянемо функцію у = /. Ця функція визначена при х ≠ 0 і приймає всі додатні значення. Функція парна (графік симет ричний відносно осі OY). При х < 0 функція зростає, а при х > 0 — спадає. Такі саме властивості має степенева функція у = х-2k =/, k/N (рис. 82 підручника).
4. Якщо р = – 1, то функція має вигляд у = х-1 = /. Ця функція визначена при х ≠ 0. При х > 0 функція у = / приймає додатні значення, а при х < 0 — від'ємні. При х > 0 функція у = / спадає, і при х < 0 — спадає. Такі саме властивості має степенева функція у = х – (2k – 1) = /, k/N (рис. 81 підручника).
-6. Згадаємо властивості функції у = /. Отже, функція у = /:
- визначена при х > 0;
- додатна при х > О і дорівнює нулю при х = 0;
- зростає на всій області визначення;
- приймає всі невід'ємні значення.
Якщо р — додатне раціональне число, то степенева функція у = xp визначена при х / 0 і має такі саме властивості, які функція у = /.
Білет 18
Логарифмічні нерівності та деякі методи їх розв’язування
Логарифмічними нерівностями називаються нерівності, в яких змінна знаходиться під знаком логарифма.
Основний метод розв’язування логарифмічних нерівностей –зведення їх до найпростіших нерівностей, обидві частини яких – логарифми з однаковою основою
При розв’язуванні логарифмічних нерівностей використовують таківластивості монотонності логарифмічної функції:
З двох логарифмів деяких чисел з однаковими основами, більшими від одиниці, більший той, число якого більше.
З двох логарифмів деяких чисел з однаковими основами, більшими від 0, але меншими від 1, більший той, число якого менше.
Якщо ліва частина нерівності є лінійною відносно деякого логарифм, а в правій є число, то обидві частини нерівності зводяться до логарифмів з однією основою.
Нелінійні нерівності відносно логарифму розв’язують введенням нової змінної. Основні методи розв’язання логарифмічних нерівностей:
1) перетворення із застосуванням логарифмічних тотожностей з урахуванням ОДЗ;
2) Заміна нерівності рівносильною системою;
3) заміна змінної.
Зверніть увагу! Обов’язковим є знаходження області допустимих значень.
Системи, що містять логарифмічні рівняння, називаютьсясистемами логарифмічних рівнянь. При їх розв’язанні застосовують ті ж методи, що й при розв’язанні алгебраїчних рівнянь:
Метод підстановки;
Метод додавання;
Метод множення тощо. При цьому враховуються особливості розв’язання логарифмічних рівнянь.
Білет 19
Оскільки аx > 0 для всіх значень х при а > 0, а ≠ 1, то у випадку b ≤ 0 множиною розв’язків нерівностей ах ≥ b, ах > b є множина R, а нерівності ах ≤ b, ах < b не будуть мати розв’язків.
Приклад 1. Розв’яжіть нерівності: 1) 2x ≥ -5; 2) 3x < -1.
Розв’язання. /
2) 3x < -1, нерівність не має розв’язків.
Розглянемо нерівність ах ≥ b при а > 0, а ≠ 1, b > 0. Схему розв’язання цієї нерівності подамо у вигляді таблиці.
ах ≥ b; а > 0, а ≠ 1, b > 0
0 < а < 1
а > 1
Знак нерівності змінюється на протилежний х ≤ loga b
Знак нерівності не змінюється х ≥ loga b
Зауважимо, що нерівності / розв’язуються аналогічними методами. Якщо и = ас, де с - деяке число, то відповідно матимемо: для / для /
Приклад 2. Розв’яжіть нерівності:
/
Розв’язання.
/
Аналогічно розв’язуються нерівності у випадку, коли замість x маємо f(x).
Білет 20
Розв'язання. Позначимо функції, які стоять у лівій і правій частинах, через y =sinx і у = 1/2 і побудуємо схематично їх графіки (мал. 73). Розв'язками нерівності будуть абсциси всіх точок графіка синусоїди, які містяться вище від прямої у =1/2. Враховуючи періодичність функції синус, досить знайти розв'язки на будь-якому відрізку області визначення завдовжки 2π і додати до знайдених чисел період 2nπ, n Z. Виберемо, наприклад, проміжок [0; 2π]. З малюнка випливає, що множиною значень x з відрізка [0; 2π], для яких відповідні точки графіка синусоїди розміщені вище від точок прямої у =1/2, буде π/6 < x <5π/6. Додавши до цих чисел період 2nπ,дістанемо множину всіх розв'язків даної нерівності π/6 + 2nπ < x < 5π/6 + 2nπ.
Графічний спосіб є досить наочним, але незручність полягає втому, що кожного разу (хоч і схематично) треба будувати графіки тригонометричних функцій.
Дещо зручнішим є спосіб розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей за допомогою одиничного кола. Для даної нерівності розв'язування цим способом проводять аналогічно розв'язуванню найпростішого тригонометричного рівняння.
Побудуємо одиничне коло (мал. 74). Відкладемо на осі Оу ординату 1/2 і через кінець відрізка проведемо пряму, паралельну осі Ох.
Розв'язання даної нерівності зводиться до знаходження на одиничному колі всіх точок, у яких ординати більші за 1/2. Ці точки відповідають шуканим числам а, що є розв'язками даної тригонометричної нерівності. З малюнка випливає, що такими точками є точки дуги кола, які розміщені над прямою у = 1/2 і відповідають числам множини (π/6;5π/6 ) на відрізку [-π, π],довжина якого дорівнює періоду 2π.
/
/
Додаючи до цих чисел період функції 2nπ, дістанемо множину всіх розв'язків нерівності sinx >1/2.
Розглядаючи розв'язання нерівності виду sinx > а у загальному випадку, необхідно накласти обмеження на число a. Якщо a≥ 1, то нерівність sinx > а розв'язків немає, бо при будь-якому xзавжди |sinx| ≤ 1. Якщо ж a < -1, то нерівність sinx > а справджується при будь-якому х, тобто множиною розв'язків такої нерівності є множина R.
У загальному випадку нерівність sinx >a, де -1 ≤ a ≤ 1, розв'язують аналогічно (мал. 75). Точки Parcsina і Pπ-arcsina зображують числа arcsina і π -arcsina. Розв'язками нерівності на відрізку [-π;π] є множина (arcsina; π-
03.11.2017 17:11-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора