Міністерство освіти та науки України Національний університет «Львівська політехніка» Кафедра «Телекомунікацій» / Практична-лабораторна робота 1 з дисципліни „ Основи теорії систем ” на тему: «Дослідження розв’язків лінійної системи другого порядку.» Роботу Львів – 2017 Теоретичні відомості: Досліджуємо лінійну систему другого порядку з диференціальним рівнянням d2y(t)/dt2+δ∙dy(t)/dt+ω2∙y(t)=ω2∙u(t) (1) та початковими умовами y(0)=y0; dy(0)/dt=y10. Відповідне однорідне диференціальне рівняння: d2y(t)/dt2+δ∙dy(t)/dt+ω2∙y(t)=0; y(0)=y0; dy(0)/dt=y10. (2) Якщо коефіцієнти δ, ω – константи, то загальний розв’язок рівняння (1) складається із загального розв’язку однорідного рівняння (2) та частинного розв’язку неоднорідного рівняння (1): y(t)=a1exp(p1t)+a2exp(p2t)+u(t). (3) Коефіцієнти a1 і a2 є сумісними розв’язками рівнянь початкових умов однорідного диференціального рівняння a1+a2=y0; a1p1+a2p2=y10: a1=(y10–y0 p2)/(p1–p2); a2=y0(1+p2/(p1–p2))–y10/(p1–p2). Характеристичне рівняння утворюється формальними замінами у рівнянні (2) d/dt → p; d2/dt2 → p2; та скорочення y(t): p2+δp+ω2=0. (4) Показники експонент у (3) p1 і p2 є розв’язками характеристичного рівняння (4):
. (5) Є два суттєво відмінні види розв’язків лінійної системи другого порядку: коливний та аперіодичний. Коливний розв’язок є тоді, коли p1 і p2 комплексні спряжені, тобто підкореневий вираз у формулі (5) від’ємний: δ/2<ω. Аперіодичні розв’язки є при δ/2>ω. Граничному випадку відповідає рівність: δ/2=ω. Розв’язки залежать також від вхідного сигналу u(t) та від початкових умов. Лінійні системи зручно записувати за допомогою передавальних функцій (transfer functions), які утворюються формальною заміною оператора диференціювання у рівнянні системи (1) символом p (d/dt → p, d2/dt2 → p2): (p2+δp+ω2) y(t)=ω2 u(t). Звідси дробово-раціональна передавальна функція формально є відношенням вихідного сигналу до вхідного W(p)=y(t)/u(t)=ω2/(p2+δp+ω2). (6) Текст програми дослідження розв’язків системи другого порядку на мові MATLAB clear; delta=4; omega=2*pi*4; t=[0:0.001:1.5]; u=1-exp(-t/0.001)+0.03*(rand(size(t))-0.5); num=[0 0 omega^2]; den=[1 delta omega^2]; y=lsim(num, den, u, t); plot(t, u, 'r', t, y, 'b'); Графік перехідного процесу для коливного розв’язку: δ/2<ω. При δ=4 та ω=2*pi*4 Графік перехідного процесу для аперіодичного розв’язку: δ/2>ω. При δ=40 та ω=2*pi*3 Графік перехідного процесу для граничного розв’язку: δ/2=ω. При δ=12 та ω=2*pi*6: Шуми стають проявлятись на графіки при збільшенні коефіцієнта амплітуди шуму до значення 0,03 Висновок: виконавши лабораторну роботу я показав зміну форми вихідного сигналу системи лінійних диференціальних рівнянь ІІ-го порядку. Також дослідив вплив шумової добавки вхідного сигналу, підібравши мінімальне значення його множника, при якому стають помітним шуми на графіку вихідного сигналу.