Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Контрольна робота №1, 2
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Комп’ютерні науки
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2018
Тип роботи:
Контрольна робота
Предмет:
Математична статистика
Група:
КН
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
Національний університет “Львівська політехніка”
Кафедра вищої математики
Контрольна робота №1, 2
з курсу « Теорія ймовірності, ймовірнстіі процеси та математична статистика»
для студентів базового напрямку 6.08.04 "Комп’ютерні науки"
(заочна форма навчання)
Варіант 2
Контрольна робота №1
Завдання 1
Поїзд в якому їдуть n пасажирів, робить k зупинок. Скількома способами можуть вийти пасажири на цих зупинках.
Розв’язок
Використовуємо формулу
Нехай k – буде m.
Відповідь :
Завдання 2
Гральну кістку підкидають 1 раз. Результат експеременту- число очок на верхній грані. Розглянемо події : М – випала одиниця , N- випало менше ніж 6 очок, K- випала парна кількість очок. Які з даних подій сумісні , а які ні? Описати події,,M, N, M.
Розвязок
- елементарні події , які утворюють повну групу подій n= 6.
N- менше ніж 6 очок – w5 – 5/6
M- випала одиниця –w1 – 1/6
K – парна кількість очок – w2,w4,w6- 3/6
Сумісні – випадання 1 очка та непарного числа.
Несумісні – події , які не можуть відбутись одночасно
Відповідь :
- несумісна подія,
- несуміна подія ,
M- несумісна подія,
N- сумісна подія,
N- сумісна
M- сумісна
- несумісна
Завдання 3
У класі навчається 12 дівчат та 18 хлопців. Знайти ймовірність того, що серед 4 опитаних учнів :
А) буде сам 2 дівчини;
Б) не буде жодної дівчини.
Розвязок
А- кількість опитаних учнів.
А= А1+А2
А1- кількість хлопців,
А2 – кількість дівчат.
C - всі події
А) Р ( А2) = C/ С= 132/657720=0,0002
Б) Р ( А1) = С / С=73440/657720= 0,11
Відповідь : А) 0,0002, Б) 0,11
Завдання 4
У середині прямокутника з вершинами в точках (0,0) , (1,0), (0,1), (1,1) навмання вибирається точка M (x.y).Яка ймовірність події А , яка полягає у тому , що т . М лежатиме в середині одинарного круга з центром у початку координат
Розв’язок
Побудуємо прямокутник по заданих координатах та одиничний круг з центром у початку координат.
Формула круга
Формула квадрата
Ймовірність події А , шукаємо через відношення ¼ площі кола до площі квадрата
Відповідь : А-
Завдання 5
Партія виробів серед яких 10% брак, поступила на перевірку . При перевірці бракований виріб виявляються з ймовірністю 0,92 і добрий виріб бракується з 0,06. Нехай виріб забракований під час перевірки. Яка ймовірність того , що він дійсно бракований.
Розв’язок
Нехай подія А – ймовірність виявлення бракованого виробу
А1/ В1 – ймовірність браку у бракованому виробі
А2/В2 – ймовірність виявлення браку у доброго вироба
Р(А1) = 0,92
Р(А2)= 0,06
В – браковані вироби
Всі події Р (А) = 10% / 100= 0,1
Р(А1 / В)= = = =0,993
Відповідь :
Завдання 6
5 разів підкидаємо гральну кістку . Яка ймовірність того , що «6» випаде 1 раз ? Принаймні 1 раз.
Розв’язок
Нехай n – кількість підкидань
m– кількість варіантів
Ймовірність випадання вираховуємо за формулою ; С =
Відповідь : С =
Завдання 7
Закон розподілу дискретної випадкової величини Ƹ, яка може набувати лише 2-а значення : х1 з імовірністю р1= 0,2 і х2 якщо х1<х2 і МƸ = 5.8 , DƸ= 5.76
Розв’язок
М (х) – математичне сподівання ДВВ Ƹ – це сума добутків всіх її значень
М(х) =
D(х) = M [ x- M (x) ]
5.76= M [x -5.8]
Оскільки р1+р2= 1 то р2 = 1 – р1
р 2= 0,8
Користуючись формулам для математичного сподівання та дисперсії, отримуємо систему для знаходження невідомого числа х2
М(Ƹ) = = х1*0,2+х2*0,8=3,2
D(Ƹ) = = =0,16
Домножуємо всю систему на 5
З першого рівняння знаходимо х1= 16- 4х і підставляємо
256-12
204-
Х1(1)
Х2(2)
Х2(1) = (16+1,32)/4 =4,33
Х2(1) =(16-7,72)/4= 2,07
Оскільки х1<х2 , то маємо такий закон ДВВ
х
2,07
7,72
р
0,8
0,2
Відповідь :
Завдання 8
Імовірність появи події А у кожному із 100 незалежних випробувань стала і дорівнює 0,6 . Знайти ймовірність того , що подія А появиться не менше 50 і не більше 80разів
Розв’язок
А- подія
Р =0,6
m 1 = 50
m 2 = 80
n =100
Знаходимо q за формулою q=1-p = 0,4 .
50. Для обчислення використовуємо інтеграл Лапласа. Обчислюємо межі
а =
b
Якщо Ф (-а) = - Ф(а) , то шукаємо значення інтеграла в таблиці Лапласа
Ф(-2,04)= -0,4793
Ф(4,08)= 0,4999
Шукана ймовірність дорівнює Р ( 50,80)
Відповідь : Р ( 50,80)
Завдання 9
Проведемо 4 незалежні постріли по мішені з ймовірністю влучення 2/3. Нехай випадкова величина це кількість влучень. Побудувати для ряд розподілу , многокутник розподілу . Обчислити математичне сподівання , дисперсію та середнє квадратичне відхилення.
Розв’язок
Незалежна подія – коли одна подія не може вплинути на іншу
Нехай n – кількість незалежних подій , а саме 4.
P=2/3
Використовуємо формулу Бернулі де q=1-p, x=m=0,1,2,3,4
n =4 , p=0.67, q = 0,33
P( x=0) = *=0,012
P( x=1) = = 0,096
P( x=2) = = 6*0,4489*0,1089=0,293
P( x=3) = = 0,397
P( x=4) = = 0,202
х
0
1
2
3
4
р
0,012
0,096
0,293
0,397
0,202
Математичне сподівання - сума добутків усіх значень М
Переконатись , що = 0,012+0,096+0,293+0,397+0,202=1
= 0,012*0+1*0,096+2*0,293+3*0,397+4*0,202=0,096+0,586+1,191+0,808=2,681
М(х) =2,681
D(x)= M (x-
,
тоді D(x)= 8, 073-=0,885.
Середнє квадратичне відхилення
Відповідь : D(x)= 8, 073-=0,885.
Середнє квадратичне відхилення
М(х) =2,681
Завдання 10
Нехай щільність випадкової величинизадається формулою :
ƒ (х) =
Знайти функцію розподілу та ймовірність попадання величини на проміжок (3;6). Обчислити моду , медіану , математичне сподівання та дисперсію випадкової величини .
Розв’язок
Неперерва F(x) x R
;
Використовуємо функцію розподілу
F (x) = p
F(x) =F(x)
F(x) =
F(x) =
F(x) =
F(6) – F (3) =1
=6
M(x)=
X=0
D(x)= 0
Відповідь : M(x) = 0 , D(x)= 0, =6
Контрольна робота №2
Завдання 1
Випадкова величина задана функцією розподілу
Знайти сталу А , а також M і , якщо .
Розв’язок
Маємо щільність розподілу . Тому
тому 1 = . Отже А = 1 . M=
Відповідь : А = 1, ,
Завдання 2
Знайти характеристичну функцію для випадкової величини , заданий законом розподілу за знайденою характеристичною функцією , знайти та .
-4
0
4
1/4
1/2
1/4
Розв’язок
Для ДВВ , характеристична функція буде ., тому
.Тому , знайдемо . Тоді
. Тому =0 ,а =8.
Відповідь : =0 , =8.
Завдання 3
а) Дано =1 , =0,04. Користуючись першою і другою формулами нерівності Чебишова , оцінити > 3
б) Послідовність незалежних випадкових величин задана законом розподілу
0
1/3
1/3
1/3
Чи виконується для цієї послідовності закон великих чисел?
Розв’язок
а) =1 , =0,04 . Нерівність Чебишова 1 форма :
форма 2 ;
, тому ==0,0025
б ) Для виконання закону великих чисел потрібно, щоб
1) були попарно ( незалежні)
2) L+0
3) Виконується рівність
Перевіримо всі умови
1) незалежні , тому і попарно незалежні
2)
3) D: M= (-, тоді D
Lim( N
Отже, для даної послідовності виконується закон великих чисел
Відповідь : для даної послідовності виконується закон великих чисел.
Завдання 4
Дано розподіл двовимірного дискретного випадкового вектора (
-10
0
10
0
0,1
0,05
0,1
2
0,2
0,15
1
4
а
0,1
0,1
Знайти невідому сталу а , розподіл компонент, коваріацію ,коефіцієнт кореляції. Перевірити, чи компоненти є незалежними
Розв’язок
, тому 0,8+а=1,отже а=0,2
Розділи компонент:
0
2
4
Рі
0,25
0,35
0,4
Pi
-10
0
10
Рj
0,5
0,3
0,2
Решта аналогічно
Cow (3,4) =
-корені дій. Тому
; ;
Тому cow=-8-2.3*(-3)=-8+6.9=-1.1
Z - коефіцієнт
- незалежні , якщо . Маємо :
. Отже - залежні
Відповідь : - залежні, а=0,2 , коефіцієнт-0,089
Розділи компонент:
0
2
4
Рі
0,25
0,35
0,4
Pi
-10
0
10
Рj
0,5
0,3
0,2
Завдання 5
Дано щільність двовимірного неперервного випадкового вектора (
Знайти невідому сталу а , розподіл компонент, коваріацію.
Розв’язок
Маємо , тому , тому , .
тоді розподіли компонент будуть
cow=()=- коваріація
, тому cow=()=
=
Відповідь : cow=()=- коваріація ,.
Завдання 6
Контрольна робота з теорії ймовірності складалася з 5 задач. Після перевірки виявилося, що кількість повністю правильно розв’язаних задач є такою : 5,4,0,3,1,1,2,4,3,5,0,1,1,2,3,4,4,3,3,2,3,4,3,4,5. Записати статистичний і варіаційний ряд. Знайти розмах вибірки , мода, медіану. Обчислити середнє значення , вибіркову і незміщену диверсії , асиметрію , ексцес, коефіцієнт варіації, емпіричну функцію розподілу і полігон частот.
Розв’язок
Xi
0
1
2
3
4
5
Ni
2
4
3
7
6
3
варіаційний ряд, Ni – частоти xi, n = 25 обсяг вибірки
Xi
0
1
2
3
4
5
Mi
2/25
4/25
3/25
7/25
6/25
3/25
статистичний ряд, Mi=Ni/n – відносні частоти.
- розмах вибірки
- мода, - медіана
Xi
Ni
Mi
Xi Mi
mi
mi
mi
0
2
0,08
0
7,84
0,63
-1,76
4,92
1
4
0,16
0.16
3.24
0.52
-0.93
1.68
2
3
0.12
0.24
0.64
0.08
-0.06
0.05
3
7
0.28
0.84
0.04
0.01
0.002
0
4
6
0.24
0.96
1.44
0.35
0.414
0.5
5
3
0.12
0.6
4.84
0.58
1.28
2.8
25
1
2.8
2.16
-1.056
9.96
- середнє значення ;
=-вибіркова дисперсія
=- незміщена дисперсія
- асиметрія
ексцес
F(x)= - експірична функція розподілу і полігон частот
Відповідь : розмах вибірки-5, - мода, - медіана
- середнє значення ;
=-вибіркова дисперсія
=- незміщена дисперсія
- асиметрія
ексцес
F(x)= - експірична функція розподілу і полігон частот
Завдання 7
Результати модульного контролю у деякій групі є таким : 20,25,18,0,4,10,35,40,20,23,28, 7,18,35,40,15,30,45,20,15,35,30,40,18,25.Згрупувати дані. За згрупованими даними знайти середнє значення і порівняти його із дійсним середнім значенням. Побудувати гістограму.
Розв’язок
Згрупуємо дані вибравши інтеграл з кроком 10, тоді
[0.10)
[10.20)
[20.30)
[30.40)
[40.50)
Ni
3
6
7
5
4
n- =25 – обсяг вибірки.
- обчислене середнє
(0+50)/2=25- дійсне середнє
, де h=10 – довжина інтервалу , побудуємо гістограму
Відповідь: 25- дійсне середнє
Завдання 8
Методом моментів і методом максимальної правдоподібності знайти параметри:
а) n ,p - біномного розподілу
б) p- геометричного розподілу
в)- розподілу Пуасона
Розв’язок
Для бінарного розподілу з параметрами (n,p) маємо
Іззавдання 6 маємо
Методом компонентів :
а ) n i p - знаходимо зі системи ,
отже , , тому n=12.
б ) для показникового розподілу з параметром маємо
в) для геометричного розподілу з параметром p :
Методом максимальної правдоподібності :
А ) запишемо функцію правдоподібності для бінарного розподілуде Ni – ті , що в завданні 6. Запишемо логарифмічну функцію правдоподібності . бо
. Отримаємо Мо n=8.9, n - ціле , тому n=9, тоді
Б ) для геометричного розподілу маємо таку функція правдоподібності :
Звідси
В ) . Тоді
Відповідь: а)n =12,; n=9,
б ) ;
в ) ;
Завдання 9
Методом моментів і методом максимальної правдоподібності знайти невідомі параметри:
А) a i b- рівномірного розподілу
Б)- показникового розподілу
В) а і - нормального розподілу
З реалізації вибірки завдання 7
Розв’язок
А ) Для рівномірного розподілу з параметрами а і в .Знайдемо а і в із системи а= 50,8-b ; (b-25.4)=3*155.84
b =25.4+ . Нехай а<b , тоді b=46 , а= 50, 8-46=4,8
Б) Для геометричного розподілу з параметром маємо
, тому
В) Для нормального з параметрами і
Методом елементів із завдання 7 маємо Знайдемо .
, де - середини відповідних інтервалів.
, тому
Методом моментів максимальної правдоподібності
Б) Для показникового розподілу маємо таку функцію правдоподібності :
.
Звідси маємо , тому
В) Для нормального розподілу з параметрами а і в , щільність .
Тоді
. Отже а= 635/25=25,4
-
Відповідь: а) b=46 , а= 50 , б) , в)
Завдання 10
Знайти мінімальний обсяг вибірки, за якого з надійністю 0,95 точність оцінки математичного сподівання випадкової величини , яка нормально розподілена і має відоме середнє квадратичне відхилення 1,5, буде дорівнювати 0,2.
Розв’язок
Оцінкою невідомого математичного сподівання а є інтервал.
, де - вибіркове середнє,n – обсяг вибірки , t - точність оцінки : Ф (t)= ,де Ф- функція Лапласа. Отже , маємо
Знайдемо t : Ф (t)= .Тоді t=1.96 ,тому 1,96*
тому n=14,7*14,7=216,09 , n – ціле =216
Відповідь: n – ціле =216
Завдання 11
За реалізаціями вибірок побудувати рівняння лінійної і параболічної регресії для кожної із двох наведених реалізацій.
А)
Xi
1
2
3
4
5
Yi
4
0
3
7
10
Б)
-3
-2
2
2
0
14
0
0
0
2
11
7
0
0
4
0
13
2
0
8
0
0
14
11
Розв’язок
А) y= ax+b – лінійна регресія
y= регресія
Сталі a,b,c - шукаємо методом найменших квадратів
Тому y=1.9x-0.9-лінійна регресія
, f(a,b,c)=
Y=1.07x параболічна регресія
Б) р- на на (пряме) має вигляд де - вибіркові середні і дисперсії відповідно для і . - коефіцієнт кореляції
Тому р-ня прямої регресії на
= - р-ня параболічної регресії , де a,b, c
Де
Отже , маємо аналогічно.
. Дані отримаємо ,,
,,
. Отже отримаємо таку систему :
Отже , - шукане параболічне рівняння регресії на
Відповідь: y=1.9x-0.9-лінійна регресія, Y=1.07x параболічна регресія,
- шукане параболічне рівняння регресії
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора