Контрольна робота №1, 2. Контрольна робота з Математична статистика. Робота № 530381

Перехід до торгівельного партнера Binance

Контрольна робота №1, 2

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

Не вказано

Факультет:

Комп’ютерні науки

Кафедра:

Не вказано

Інформація про роботу

Рік:

2015

Тип роботи:

Контрольна робота

Предмет:

Математична статистика

Група:

КН

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ Національний університет “Львівська політехніка” Кафедра вищої математики Контрольна робота №1, 2 з курсу « Теорія ймовірності, ймовірнстіі процеси та математична статистика» для студентів базового напрямку 6.08.04 "Комп’ютерні науки" (заочна форма навчання) Варіант 2 Контрольна робота №1 Завдання 1 Поїзд в якому їдуть n пасажирів, робить k зупинок. Скількома способами можуть вийти пасажири на цих зупинках. Розв’язок Використовуємо формулу Нехай k – буде m. Відповідь : Завдання 2 Гральну кістку підкидають 1 раз. Результат експеременту- число очок на верхній грані. Розглянемо події : М – випала одиниця , N- випало менше ніж 6 очок, K- випала парна кількість очок. Які з даних подій сумісні , а які ні? Описати події,,M, N, M. Розвязок - елементарні події , які утворюють повну групу подій n= 6. N- менше ніж 6 очок – w5 – 5/6 M- випала одиниця –w1 – 1/6 K – парна кількість очок – w2,w4,w6- 3/6 Сумісні – випадання 1 очка та непарного числа. Несумісні – події , які не можуть відбутись одночасно Відповідь : - несумісна подія, - несуміна подія , M- несумісна подія, N- сумісна подія, N- сумісна M- сумісна - несумісна Завдання 3 У класі навчається 12 дівчат та 18 хлопців. Знайти ймовірність того, що серед 4 опитаних учнів : А) буде сам 2 дівчини; Б) не буде жодної дівчини. Розвязок А- кількість опитаних учнів. А= А1+А2 А1- кількість хлопців, А2 – кількість дівчат. C - всі події А) Р ( А2) = C/ С= 132/657720=0,0002 Б) Р ( А1) = С / С=73440/657720= 0,11 Відповідь : А) 0,0002, Б) 0,11 Завдання 4 У середині прямокутника з вершинами в точках (0,0) , (1,0), (0,1), (1,1) навмання вибирається точка M (x.y).Яка ймовірність події А , яка полягає у тому , що т . М лежатиме в середині одинарного круга з центром у початку координат Розв’язок Побудуємо прямокутник по заданих координатах та одиничний круг з центром у початку координат. Формула круга Формула квадрата Ймовірність події А , шукаємо через відношення ¼ площі кола до площі квадрата Відповідь : А- Завдання 5 Партія виробів серед яких 10% брак, поступила на перевірку . При перевірці бракований виріб виявляються з ймовірністю 0,92 і добрий виріб бракується з 0,06. Нехай виріб забракований під час перевірки. Яка ймовірність того , що він дійсно бракований. Розв’язок Нехай подія А – ймовірність виявлення бракованого виробу А1/ В1 – ймовірність браку у бракованому виробі А2/В2 – ймовірність виявлення браку у доброго вироба Р(А1) = 0,92 Р(А2)= 0,06 В – браковані вироби Всі події Р (А) = 10% / 100= 0,1 Р(А1 / В)= = = =0,993 Відповідь : Завдання 6 5 разів підкидаємо гральну кістку . Яка ймовірність того , що «6» випаде 1 раз ? Принаймні 1 раз. Розв’язок Нехай n – кількість підкидань m– кількість варіантів Ймовірність випадання вираховуємо за формулою ; С = Відповідь : С = Завдання 7 Закон розподілу дискретної випадкової величини Ƹ, яка може набувати лише 2-а значення : х1 з імовірністю р1= 0,2 і х2 якщо х1<х2 і МƸ = 5.8 , DƸ= 5.76 Розв’язок М (х) – математичне сподівання ДВВ Ƹ – це сума добутків всіх її значень М(х) = D(х) = M [ x- M (x) ] 5.76= M [x -5.8] Оскільки р1+р2= 1 то р2 = 1 – р1 р 2= 0,8 Користуючись формулам для математичного сподівання та дисперсії, отримуємо систему для знаходження невідомого числа х2 М(Ƹ) = = х1*0,2+х2*0,8=3,2 D(Ƹ) = = =0,16 Домножуємо всю систему на 5 З першого рівняння знаходимо х1= 16- 4х і підставляємо 256-12 204- Х1(1) Х2(2) Х2(1) = (16+1,32)/4 =4,33 Х2(1) =(16-7,72)/4= 2,07 Оскільки х1<х2 , то маємо такий закон ДВВ х 2,07 7,72 р 0,8 0,2 Відповідь : Завдання 8 Імовірність появи події А у кожному із 100 незалежних випробувань стала і дорівнює 0,6 . Знайти ймовірність того , що подія А появиться не менше 50 і не більше 80разів Розв’язок А- подія Р =0,6 m 1 = 50 m 2 = 80 n =100 Знаходимо q за формулою q=1-p = 0,4 . 50. Для обчислення використовуємо інтеграл Лапласа. Обчислюємо межі а = b Якщо Ф (-а) = - Ф(а) , то шукаємо значення інтеграла в таблиці Лапласа Ф(-2,04)= -0,4793 Ф(4,08)= 0,4999 Шукана ймовірність дорівнює Р ( 50,80) Відповідь : Р ( 50,80) Завдання 9 Проведемо 4 незалежні постріли по мішені з ймовірністю влучення 2/3. Нехай випадкова величина це кількість влучень. Побудувати для ряд розподілу , многокутник розподілу . Обчислити математичне сподівання , дисперсію та середнє квадратичне відхилення. Розв’язок Незалежна подія – коли одна подія не може вплинути на іншу Нехай n – кількість незалежних подій , а саме 4. P=2/3 Використовуємо формулу Бернулі де q=1-p, x=m=0,1,2,3,4 n =4 , p=0.67, q = 0,33 P( x=0) = *=0,012 P( x=1) = = 0,096 P( x=2) = = 6*0,4489*0,1089=0,293 P( x=3) = = 0,397 P( x=4) = = 0,202 х 0 1 2 3 4 р 0,012 0,096 0,293 0,397 0,202 Математичне сподівання - сума добутків усіх значень М Переконатись , що = 0,012+0,096+0,293+0,397+0,202=1 = 0,012*0+1*0,096+2*0,293+3*0,397+4*0,202=0,096+0,586+1,191+0,808=2,681 М(х) =2,681 D(x)= M (x- , тоді D(x)= 8, 073-=0,885. Середнє квадратичне відхилення Відповідь : D(x)= 8, 073-=0,885. Середнє квадратичне відхилення М(х) =2,681 Завдання 10 Нехай щільність випадкової величинизадається формулою : ƒ (х) = Знайти функцію розподілу та ймовірність попадання величини на проміжок (3;6). Обчислити моду , медіану , математичне сподівання та дисперсію випадкової величини . Розв’язок Неперерва F(x) x R ; Використовуємо функцію розподілу F (x) = p F(x) =F(x) F(x) = F(x) = F(x) = F(6) – F (3) =1 =6 M(x)= X=0 D(x)= 0 Відповідь : M(x) = 0 , D(x)= 0, =6 Контрольна робота №2 Завдання 1 Випадкова величина задана функцією розподілу Знайти сталу А , а також M і , якщо . Розв’язок Маємо щільність розподілу . Тому тому 1 = . Отже А = 1 . M= Відповідь : А = 1, , Завдання 2 Знайти характеристичну функцію для випадкової величини , заданий законом розподілу за знайденою характеристичною функцією , знайти та . -4 0 4 1/4 1/2 1/4 Розв’язок Для ДВВ , характеристична функція буде ., тому .Тому , знайдемо . Тоді . Тому =0 ,а =8. Відповідь : =0 , =8. Завдання 3 а) Дано =1 , =0,04. Користуючись першою і другою формулами нерівності Чебишова , оцінити > 3 б) Послідовність незалежних випадкових величин задана законом розподілу 0 1/3 1/3 1/3 Чи виконується для цієї послідовності закон великих чисел? Розв’язок а) =1 , =0,04 . Нерівність Чебишова 1 форма : форма 2 ; , тому ==0,0025 б ) Для виконання закону великих чисел потрібно, щоб 1) були попарно ( незалежні) 2) L+0 3) Виконується рівність Перевіримо всі умови 1) незалежні , тому і попарно незалежні 2) 3) D: M= (-, тоді D Lim( N Отже, для даної послідовності виконується закон великих чисел Відповідь : для даної послідовності виконується закон великих чисел. Завдання 4 Дано розподіл двовимірного дискретного випадкового вектора ( -10 0 10 0 0,1 0,05 0,1 2 0,2 0,15 1 4 а 0,1 0,1 Знайти невідому сталу а , розподіл компонент, коваріацію ,коефіцієнт кореляції. Перевірити, чи компоненти є незалежними Розв’язок , тому 0,8+а=1,отже а=0,2 Розділи компонент: 0 2 4 Рі 0,25 0,35 0,4 Pi -10 0 10 Рj 0,5 0,3 0,2 Решта аналогічно Cow (3,4) = -корені дій. Тому ; ; Тому cow=-8-2.3*(-3)=-8+6.9=-1.1 Z - коефіцієнт - незалежні , якщо . Маємо : . Отже - залежні Відповідь : - залежні, а=0,2 , коефіцієнт-0,089 Розділи компонент: 0 2 4 Рі 0,25 0,35 0,4 Pi -10 0 10 Рj 0,5 0,3 0,2 Завдання 5 Дано щільність двовимірного неперервного випадкового вектора ( Знайти невідому сталу а , розподіл компонент, коваріацію. Розв’язок Маємо , тому , тому , . тоді розподіли компонент будуть cow=()=- коваріація , тому cow=()= = Відповідь : cow=()=- коваріація ,. Завдання 6 Контрольна робота з теорії ймовірності складалася з 5 задач. Після перевірки виявилося, що кількість повністю правильно розв’язаних задач є такою : 5,4,0,3,1,1,2,4,3,5,0,1,1,2,3,4,4,3,3,2,3,4,3,4,5. Записати статистичний і варіаційний ряд. Знайти розмах вибірки , мода, медіану. Обчислити середнє значення , вибіркову і незміщену диверсії , асиметрію , ексцес, коефіцієнт варіації, емпіричну функцію розподілу і полігон частот. Розв’язок Xi 0 1 2 3 4 5 Ni 2 4 3 7 6 3 варіаційний ряд, Ni – частоти xi, n = 25 обсяг вибірки Xi 0 1 2 3 4 5 Mi 2/25 4/25 3/25 7/25 6/25 3/25 статистичний ряд, Mi=Ni/n – відносні частоти. - розмах вибірки - мода, - медіана Xi Ni Mi Xi Mi mi mi mi 0 2 0,08 0 7,84 0,63 -1,76 4,92 1 4 0,16 0.16 3.24 0.52 -0.93 1.68 2 3 0.12 0.24 0.64 0.08 -0.06 0.05 3 7 0.28 0.84 0.04 0.01 0.002 0 4 6 0.24 0.96 1.44 0.35 0.414 0.5 5 3 0.12 0.6 4.84 0.58 1.28 2.8 25 1 2.8 2.16 -1.056 9.96 - середнє значення ; =-вибіркова дисперсія =- незміщена дисперсія - асиметрія ексцес F(x)= - експірична функція розподілу і полігон частот Відповідь : розмах вибірки-5, - мода, - медіана - середнє значення ; =-вибіркова дисперсія =- незміщена дисперсія - асиметрія ексцес F(x)= - експірична функція розподілу і полігон частот Завдання 7 Результати модульного контролю у деякій групі є таким : 20,25,18,0,4,10,35,40,20,23,28, 7,18,35,40,15,30,45,20,15,35,30,40,18,25.Згрупувати дані. За згрупованими даними знайти середнє значення і порівняти його із дійсним середнім значенням. Побудувати гістограму. Розв’язок Згрупуємо дані вибравши інтеграл з кроком 10, тоді [0.10) [10.20) [20.30) [30.40) [40.50) Ni 3 6 7 5 4 n- =25 – обсяг вибірки. - обчислене середнє (0+50)/2=25- дійсне середнє , де h=10 – довжина інтервалу , побудуємо гістограму Відповідь: 25- дійсне середнє Завдання 8 Методом моментів і методом максимальної правдоподібності знайти параметри: а) n ,p - біномного розподілу б) p- геометричного розподілу в)- розподілу Пуасона Розв’язок Для бінарного розподілу з параметрами (n,p) маємо Іззавдання 6 маємо Методом компонентів : а ) n i p - знаходимо зі системи , отже , , тому n=12. б ) для показникового розподілу з параметром маємо в) для геометричного розподілу з параметром p : Методом максимальної правдоподібності : А ) запишемо функцію правдоподібності для бінарного розподілуде Ni – ті , що в завданні 6. Запишемо логарифмічну функцію правдоподібності . бо . Отримаємо Мо n=8.9, n - ціле , тому n=9, тоді Б ) для геометричного розподілу маємо таку функція правдоподібності : Звідси В ) . Тоді Відповідь: а)n =12,; n=9, б ) ; в ) ; Завдання 9 Методом моментів і методом максимальної правдоподібності знайти невідомі параметри: А) a i b- рівномірного розподілу Б)- показникового розподілу В) а і - нормального розподілу З реалізації вибірки завдання 7 Розв’язок А ) Для рівномірного розподілу з параметрами а і в .Знайдемо а і в із системи а= 50,8-b ; (b-25.4)=3*155.84 b =25.4+ . Нехай а<b , тоді b=46 , а= 50, 8-46=4,8 Б) Для геометричного розподілу з параметром маємо , тому В) Для нормального з параметрами і Методом елементів із завдання 7 маємо Знайдемо . , де - середини відповідних інтервалів. , тому Методом моментів максимальної правдоподібності Б) Для показникового розподілу маємо таку функцію правдоподібності : . Звідси маємо , тому В) Для нормального розподілу з параметрами а і в , щільність . Тоді . Отже а= 635/25=25,4 - Відповідь: а) b=46 , а= 50 , б) , в) Завдання 10 Знайти мінімальний обсяг вибірки, за якого з надійністю 0,95 точність оцінки математичного сподівання випадкової величини , яка нормально розподілена і має відоме середнє квадратичне відхилення 1,5, буде дорівнювати 0,2. Розв’язок Оцінкою невідомого математичного сподівання а є інтервал. , де - вибіркове середнє,n – обсяг вибірки , t - точність оцінки : Ф (t)= ,де Ф- функція Лапласа. Отже , маємо Знайдемо t : Ф (t)= .Тоді t=1.96 ,тому 1,96* тому n=14,7*14,7=216,09 , n – ціле =216 Відповідь: n – ціле =216 Завдання 11 За реалізаціями вибірок побудувати рівняння лінійної і параболічної регресії для кожної із двох наведених реалізацій. А) Xi 1 2 3 4 5 Yi 4 0 3 7 10 Б) -3 -2 2 2 0 14 0 0 0 2 11 7 0 0 4 0 13 2 0 8 0 0 14 11 Розв’язок А) y= ax+b – лінійна регресія y= регресія Сталі a,b,c - шукаємо методом найменших квадратів Тому y=1.9x-0.9-лінійна регресія , f(a,b,c)= Y=1.07x параболічна регресія Б) р- на на (пряме) має вигляд де - вибіркові середні і дисперсії відповідно для і . - коефіцієнт кореляції Тому р-ня прямої регресії на = - р-ня параболічної регресії , де a,b, c Де Отже , маємо аналогічно. . Дані отримаємо ,, ,, . Отже отримаємо таку систему : Отже , - шукане параболічне рівняння регресії на Відповідь: y=1.9x-0.9-лінійна регресія, Y=1.07x параболічна регресія, - шукане параболічне рівняння регресії

Контрольна робота Математична статистика

11.06.2018 15:06-

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

Маєш корисні навчальні матеріали, які припадають пилом на твоєму комп'ютері? Розрахункові, лабораторні, практичні чи контрольні роботи — завантажуй їх прямо зараз і одразу отримуй бали на свій рахунок! Заархівуй всі файли в один .zip (до 100 МБ) або завантажуй кожен файл окремо. Внесок у спільноту – це легкий спосіб допомогти іншим та отримати додаткові можливості на сайті. Твої старі роботи можуть приносити тобі нові нагороди!

поділитись