Міністерство освіти і науки України Національний університет “Львівська політехніка” Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій / ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 4 з дисципліни: "Чисельні методи" на тему: «Метод хорд і дотичних» ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 4 Тема роботи: Метод хорд і дотичних. Мета роботи: Вивчити і засвоїти ітераційні методи розв’язування алгебраїчних і трансцендентних рівнянь. Теоретичні відомості: Метод хорд – метод лінійної інтерполяції (метод пропорційних частин, метод січних). Ідея методу полягає в тому, що на досить малому проміжку
дугу кривої
заміняють хордою, а за наближене значення кореня приймають точку перетину хорди з віссю ОХ. Значення функції визначаються в точках, що розташовані на осі через рівні інтервали. Це робиться доти, поки кінці інтервалів
,
не будуть мати різні знаки. Тоді пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає вісь абсцис у точці / У методі дотичних здійснюється екстраполяція за допомогою дотичної до кривої в даній точці : / Початкове наближення слід вибирати з умови / Однією з головних проблем при застосуванні методу Ньютона є необхідність аналітичного опису похідної. Якщо це складно чи неможливо, то можна застосувати її наближену оцінку. Тоді замість методу дотичних застосовується метод січних, за яким / де F′ (
) – наближена оцінка похідної, що розглядається як січна, а не як дотична, і може бути оцінена за формулою / Варіант 24: Знайти один з коренів рівняння f(x)=0, використовуючи методи дотичних, хорд і простої ітерації. Провести дослідження кількості ітерацій для кожного з методів при зміні точності від
до
.
Код програми: #include <iostream> #include <Windows.h> #include <cmath> using namespace std; double Function_Value(double x) { return x - cos(x); } double Derivative_Value (double x) { return 1 + sin(x); } double Derivative2_Value (double x) { return cos(x); } int main() { SetConsoleOutputCP(1251); double X_n, X_m, X_mid; double F_mid; double eps; int count = 0; cout << "ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 4" << endl; for (int i = 0; i < 10; i++) { X_n = Function_Value(i) > 0 ? 1 : -1; X_m = Function_Value(i + 1) > 0 ? 1 : -1; if (X_n != X_m) { X_n = i; X_m = i + 1; break; } } cout << "МЕТОД ХОРД:" << endl; cout << "Точність\t Значення X\t Кількість ітерацій" << endl; eps = 0.1; for (int i = 0; i < 10; i++, eps /= 10) { while (fabs(X_m - X_n) > eps) { X_n = X_m - (X_m - X_n)*Function_Value(X_m) / (Function_Value(X_m) - Function_Value(X_n)); X_m = X_n - (X_n - X_m)*Function_Value(X_n) / (Function_Value(X_n) - Function_Value(X_m)); count++; } cout << eps << "\t\t" << X_m << "\t\t" << count << endl; } cout << "МЕТОД ДОТИЧНИХ:" << endl; cout << "Точність\t Значення X\t Кількість ітерацій" << endl; for (int i = 0; i < 10; i++) { double k = Derivative2_Value(i)*Function_Value(i); double squad = Derivative_Value(i)*Derivative_Value(i); if (k > 0 && k < squad) { X_n = i; break; } } double X0 = X_n, X1 = X_n + 0.1; eps = 0.1; for (int i = 0; i < 10; i++, eps /= 10) { count = 0; do { X_n = X_n - Function_Value(X_n) / Derivative_Value(X_n); count++; } while (fabs(Function_Value(X_n)) >= eps); cout << eps << "\t\t" << X_n << "\t\t" << count << endl; } cout << "МЕТОД СІЧНИХ:" << endl; cout << "Точність\t Значення X\t Кількість ітерацій" << endl; for (eps = 0.1; eps > 1e-10; eps /= 10) { count = 0; double F_X0 = Function_Value(X0), F_X1 = Function_Value(X1); while (1) { count++; X_mid = X0 - F_X0*(X1 - X0) / (F_X1 - F_X0); F_mid = Function_Value(X_mid); if (fabs(F_mid) < eps) break; X0 = X1; F_X0 = F_X1; X1 = X_mid; F_X1 = F_mid; } cout << eps << "\t\t" << X_mid << "\t\t" << count << endl; } system("pause>>void"); return 0; } Результат: / Графік: / / / / Висновок: В результаті виконання цієї лабораторної роботи, я вивчила ітераційні методи розв’язування алгебраїчних рівнянь, проаналізувала методи хорд, дотичних та січних. Привела залежності кількості ітерацій від точності обчислень. В результаті виконання обрахунків, за допомогою трьох методів, знайдено корінь рівняння, який дорівнює 0.739085.