Міністерство освіти і науки України Національний університет “Львівська політехніка” Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій / ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 5 з дисципліни: "Чисельні методи" на тему: «Розв’язування системи нелінійних рівнянь методом простої ітерації (методом Ньютона)» Львів – 2018 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 5 Тема роботи: Розв’язування системи нелінійних рівнянь методом простої ітерації (методом Ньютона). Мета роботи: Вивчити і засвоїти метод Ньютона. Теоретичні відомості: Метод Ньютона Нехай потрібно знайти розв’язок системи двох нелінійних рівнянь F(x,y)=0 G(x,y)=0 де F,G:Rn→Rn Послідовні наближення обчислюємо за формулами xn+1=xn-

n=0,1,2… Якобіан
повинен бути відмінним від нуля. Початкове наближення x0,y0 визначають наближено (графічно). Але зауважимо, що метод ефективний лише при достатній близькості початкового наближення в (2) до розв’язку системи (1). Метод простих ітерацій Нехай потрібно з заданою точністю ε знайти дійсні корені системи двох нелінійних рівнянь. F1(x,y)=0 F2(x,y)=0 Кількість і наближення коренів системи (3) знаходимо графічно. Нехай система має тільки ізольовані дійсні корені. При використанні методу ітерацій систему (3) зводимо до еквівалентної системи наступного вигляду:
де
,
– так звані інтегруючі функції. На основі системи (4) будуємо ітерації
Варіант 24: Використовуючи метод простої ітерації, розв’язати з точністю від ε = 10
до ε = 10
такі нелінійні системи рівнянь. Початкове наближення знайти графічно. Дослідити залежність кількості ітерацій від точності.

Код програми: #include <iostream> #include <cmath> #include <Windows.h> using namespace std; double F_1(double x, double y) { return cos(2*y) + 0.85; } double F_2(double x, double y) { return sin(2*x) - 1.32; } int main() { SetConsoleOutputCP(1251); cout << "ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №5" << endl; int count = 0; double X, Y, x_1, y_1,y_0,x_0; double eps; cout << "--------Введіть початкове наближення:" << endl; cout << "--------x0 = "; cin >> X; cout << "--------y0 = "; cin >> Y; cout << "Точність\t Значення X\t Значення Y\t Кількість ітерацій" << endl; for (eps = 0.1; eps > 1e-10; eps /= 10) { count = 0; x_0 = X; y_0 = Y; do { count++; x_1 = x_0; y_1 = y_0; x_0 = F_1(x_1, y_1); y_0 = F_2(x_1, y_1); } while ((fabs(x_1 - x_0) >= eps) && (fabs(y_1 - x_0) >= eps)); cout << eps << "\t\t" << x_0 << "\t\t" << y_0 << "\t\t" << count << endl; } system("pause>>void"); return 0; } Результат: / Графік: / / Висновок: В результаті виконання цієї лабораторної роботи, я вивчила методи розв’язування систем нелінійних рівнянь. Застосовуваний метод – метод простих ітерацій. Привела залежність кількості ітерацій від точності обчислень. З графіка видно, що кількість ітерацій досить швидко спадає при зменшенні точності обчислень, наприклад при точності 10-3 кількість ітерацій 10, а при більшій точності 10-6 – 22 ітерації. В результаті виконання роботи, я знайшла розв’язок системи рівнянь, який дорівнює: х = -0.14697; у = -1.60973