Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
ДОСЛІДЖЕННЯ ЧАСОВИХ РЯДІВ ДЛЯ ПОБУДОВИ МОДЕЛІ ХАОТИЧНОГО РЕЖИМУ СИСТЕМИ
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
КСС
Факультет:
Комп’ютерні науки
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2018
Тип роботи:
Дипломна робота
Предмет:
Інформаційні технології
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти та науки України
Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара
Факультет фізики, електроніки та комп’ютерних систем
Кафедра комп’ютерних наук та інформаційних технологій
Дипломна робота
магістра
на тему: «ДОСЛІДЖЕННЯ ЧАСОВИХ РЯДІВ ДЛЯ ПОБУДОВИ МОДЕЛІ ХАОТИЧНОГО РЕЖИМУ СИСТЕМИ»
ЗАВДАННЯ
[Аркуш завдання на дипломну роботу]
РЕФЕРАТ
Дипломна робота: 57 сторінок, 11 рисунків, 2 таблиці, 40 джерел.
Об’єкт дослідження – нестаціонарні часові ряди.
Мета дослідження – пошук оптимальних алгоритмів аналізу часових рядів з метою реконструкції модельних рівнянь та керування динамікою системи.
Методи дослідження: методи математичної та статистичної фізики.
У роботi запропонованi методи реконструкцiї рiвнянь за вiдомим розв'язком, який являє собою часовий ряд вимiряних значень сигналу. Розв’язана задача захисту інформації при передачі декількох корисних сигналів мультиплікативними каналами зв'язку. Розвинена методика кластерізації нестаціонарних часових рядів з метою виділення квазістаціонарних ділянок, яка забезпечує динамічний аналіз часової реалізації без реконструкції модельних рівнянь. Розв’язана задача керування хаосом у двовимірній системі нелінійних осциляторів. Показано можливість стабілізації руху на нестійкому циклі за рахунок серії послідовних керованих впливів на елементи системи.
Результати роботи можуть бути застосовані при аналізі систем або об’єктів, математична модель руху яких є частково або повністю невідомою.
Прогнозні припущення щодо розвитку об`єкта дослідження – пошук отимальних методів для оптимізації процесу реконструкції математичних моделей динамічних систем.
ЧАСОВИЙ РЯД, ДИНАМІЧНА СИСТЕМА, РЕКОНСТРУУКЦІЯ МОДЕЛЬНИХ РІВНЯНЬ, ХАОТИЧНА ДИНАМІКА, КЕРУВАННЯ ХАОСОМ.
ABSTRACT
Graduation thesis: 57 pages, 11 figures, 2 tables, 40 sources.
Object of study: non-stationary time series.
The purpose of the research is to find the optimal algorithms for time series analysis in order to reconstruct the model equations and control the dynamics of the system.
Methods of research: methods of mathematical and statistical physics.
The paper proposes methods for reconstructing the equations according to the known solution, which is a time series of measured signal values. The task of protecting information in the transmission of several useful signals by multiplicative communication channels is solved. The method of clusterization of non-stationary time series is developed for the purpose of allocation of quasi-stationary areas, which provides a dynamic analysis of time implementation without reconstruction of model equations. The problem of controlling chaos in a two-dimensional system of nonlinear oscillators is solved. The ability to stabilize the motion in an unstable loop through a series of sequential controlled impacts on the elements of the system is shown.
The results of the work can be applied in the analysis of systems or objects whose mathematical model of motion is partially or completely unknown.
Foreseeable assumptions about the development of a research object - the search for abnormal methods for optimizing the reconstruction process of mathematical models of dynamic systems.
TIME RANGE, DYNAMIC SYSTEM, RECONSTRUCTION OF MODEL EQUATIONS, CHAOTIC DYNAMICS, CHAOS MANAGEMENT.
ЗМІСТ
ВСТУП 6
1 МОДЕЛЮВАННЯ ХАОТИЧНИХ РЕЖИМІВ СИСТЕМИ 12
1.1 Детермінований хаос 12
1.2 Основні ідеї нелінійної динаміки 17
1.3 Система на нестійкому граничному циклі , що вбудована в хаотичний атрактор 28
3 РЕКОНСТРУКЦІЯ МОДЕЛЬНИХ РІВНЯНЬ СИСТЕМ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ 40
4 ВІДНОВЛЕННЯ КОЕФІЦІЄНТІВ МОДЕЛЬНИХ РІВНЯНЬ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ 48
ВИСНОВКИ 53
ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ 54
ВСТУП
Однією з основних проблем дослідження нелінійних динамічних систем під час аналізу складної дінаміки є експоненціальна чутливість системи до малих збурень, яка виявляє наявність в системі детермінованого хаосу. При цьому мала зміна біфуркаційного параметра призводить до якісної зміни поведінки фазових траєкторій системи, тобто до нерегулярної хаотичної динаміки. Проте, на відміну від випадкового процесу, такий експеримент можна відтворити, тобто хаотична траєкторія детермінованої нелінійної системи повністю відтворюється, якщо покласти такі ж початкові умови та точність обчислення. Основним напрямом такого дослідження є проведення експериментів на основі математичного та комп’ютерного моделювання з використанням спеціальних методів, які мають високу точність обчислення і в яких враховуються особливості типів зв’язків нелінійної системи.
Для складання ефективних математичних описів досліджуваних обєктів важливою задачею є розроблення нових чи еквівалентних видів математичних моделей, а також параметричної і структурної ідентифікації нелінійних систем у хаотичному режимі. Ця задача є складною і потребує створення ефективних програмних засобів комп’ютерної реалізації. У вітчизняній та світовій науковій літературі є ґрунтовні праці, присвячені розробленню підходів та обчислювальних методів дослідження детермінованого хаосу у прямих і обернених задачах. Утім проблематика ефективного застосування комп’ютерних систем моделювання, включаючи структурну та алгоритмічну організацію їх використання з урахуванням різних типів нелінійшості, залишається недостатньо висвітленою.
Одним із напрямків у сучасній нелінійній динаміці є розв’язок задач обробки складних сигналів із широким спектром, у тому числі, хаотичних, найчастіше нестаціонарних, з метою оцінки параметрів (або знаходження наближеної форми) рівнянь, що їх описують. Поширення комп’ютерної обробки інформації визначило представлення часових залежностей у вигляді дискретної послідовності відліків – часових рядів. Такий вид мають сигнали на виході аналого-цифрових перетворювачів, цифрових вимірювальних приладів і т.п. Обробка таких часових залежностей може виконуватися безпосередньо – візуально, як оцінюють кардіо- та енцефалограми лікарі-діагности, на основі розрахунків класичних статистичних характеристик (Фур'є- та вейвлет- спектри, функцій кореляції й ін.), а також – розвинутих у рамках теорії коливань і нелінійної динаміки (якісний аналіз портретів і оцінки різних кількісних характеристик атракторів у фазовому просторі,). Це дозволяє вирішувати задачі кластеризації сигналів, оцінювати взаємозв'язок між їхніми джерелами та ін.
Окремою задачею у контексті даного напрямку є задача реконструкції математичних моделей за часовими рядами, які генеруються системами, модельні рівняння яких апріорно (частково або повністю) невідомі. Наявність математичної моделі дозволяє вирішувати задачі прогнозу подальшого поводження системи у часі або при зміні її параметрів, оцінки адекватності уявлень про об'єкт, спостереження величин, недоступних прямому вимірові. Маючи у своїй передісторії класичну задачу апроксимації точок на площині гладкою кривою, завдяки розвитку обчислювальної техніки, досягненням нелінійної динаміки, зокрема, формуванню концепції динамічного хаосу, у даний час мова йде про реконструкції моделей у вигляді диференціальних і різницевих рівнянь.
У даній роботі було розглянуто три різних постановки задачі реконструкції: послідовно від більш простої до складної у відповідності з наступною ієрархією.
1) Реконструкція динамічної системи за траєкторією нерегулярного атрактору та пов’язана з нею проблема керування хаосом. Як було показано в останні роки, хаос не тільки не заважає, а, скоріше, є обов’язковою умовою працездатності складних систем [1, 2]. Тільки завдяки наявності хаотичного атрактора, який містить, як правило, нескінченну кількість нестійких періодичних циклів, можна досягти якісної зміни динаміки системи (переходячи із околу одного циклу до іншого) за рахунок малих збурень системних параметрів. У зв’язку з цим окремою є задача стабілізації апріорі заданих траєкторій хаотичних динамічних систем, розв’язання якої дуже часто пов’язане із проблемою відновлення диференціальних рівнянь на основі заданої множини точок у фазовому просторі, які належать атрактору системи. Отже проблеми керування хаосом і реконструкції модельних рівнянь є взаємозв’язаними, належать до одного класу задач теорії нелінійних систем, що і знайшло відображення у даній роботі. На відміну від тривіального випадку однорідної системи, ми розглядаємо розподілену у просторі систему, що складається із нелінійних хаотичних осциляторів, пов’язаних у двовимірну гратку. Для стабілізації руху осциляторів на заданій траєкторії у роботі використано відомий метод Отта-Гребоджи-Йорке [3–5]. Метод розвинуто на випадок багатовимірних систем, а його працездатність підтверджується чисельним експериментом.
2) Оцінка параметрів. Структура рівнянь відома, невідомі параметри модельних рівнянь. Для відновлення фазового портрету ми використовуємо метод послідовного диференціювання часового ряду [6, 7]. Основна ідея методу реконструкції полягає у наступному: фазовий портрет атрактора динамічної системи може бути відновлений за скалярним часовим рядом, якщо у якості відсутніх координат вектора стану використовувати той самий часовий ряд, узятий з деяким запізненням. Практичним застосуванням запропонованої методики є передача корисного сигналу за рахунок модуляції певних параметрів системи інформаційними сигналами. При цьому по лініям зв’язку передається змінна, що описує стан системи (хаотичний сигнал). Як зазначалося у ряді робіт, вилучення сигналу можливе лише за умови наявності (у одержувача) інформації про модель та параметри, що модулюються інформаційними сигналами [8].
У даній роботі покладається, що усі компоненти вектору стану системи передаються по лініям зв’язку. Ми представляємо функціональну частину диференціальних рівнянь у вигляді розкладання по стандартному базису і чисельно визначаємо коефіцієнти розкладання за методом найменших квадратів. Оскільки у даному випадку практично завжди виникає ситуація, коли виникають ненульові параметри при комбінаціях змінних що відсутні у вихідній системі, у роботі пропонується статистична (комп’ютерна) обробка отриманих часових рядів. Це дозволяє виділити саме ті параметри, що моделюються інформаційними сигналами. Запропонований у даній роботі підхід був успішно використаний для розшифрування замаскованих сигналів, що генеруються за допомогою відомої моделі генератора динамічного хаосу – моделі Лоренца.
3) Реконструкція у випадку відсутності апріорної інформації про вигляд модельних рівнянь. Як показує досвід, використання універсальних конструкцій (наприклад, апроксимація нелінійних функцій у рівняннях поліномами), не враховуючих особливостей об'єкта, як правило, не дає гарних результатів через громіздкість отриманих розв’язків. Крім того, для такої моделі, у багатьох випадках, не притаманна властивість глобальної стійкості, вона є придатною лише для короткочасового прогнозу, її параметрам важко надати фізичного сенсу. На гарний результат можна розраховувати лише при використанні спеціальних технологій, орієнтованих на використання для досить вузьких класів об'єктів [9-11]. Серед задач даного класу окреме місце займають задачі реконструкції систем із запізненням. Системи із затримкою широко поширені в природі. Зокрема, динаміка зміни сполуки крові, електричні сигнали мозку, коливання в багатьох радіофізичних і оптичних системах і ряді інших явищ можуть бути описані з використанням рівнянь із затримкою [12-16].
У даній роботі ми розвиваємо методику реконструкції параметрів систем із запізненням за їх часовими рядами. При цьому вигляд моделі є апріорно невідомим, але, покладається, що функціональна частина рівнянь має поліноміальний вигляд. Наукова новизна роботи полягає у розвиненні підходу до комп’ютерного аналізу часового ряду систем із зворотним зв’язком з метою визначення часу запізнення та параметрів моделі. Розроблена методика була апробована на декількох моделях, при цьому результати реконструкції з достатньою точністю співпали з вихідними параметрами.
4) Комп'ютерний аналіз нестаціонарних часових рядів з метою виділення квазістаціонарних ділянок. У рамках теорії випадкових процесів під нестаціонарністю процесу розуміється зміна його багатомірних функцій розподілу на інтервалі спостереження. Під динамічною нестаціонарністю розуміють ситуацію, коли вихідний об'єкт може бути описаний диференціальними рівняннями із змінними параметрами. При цьому на практиці досить часто виникає задача більш точного виявлення моменту зміни параметрів системи, ніж за статистичними характеристиками. Якщо при зміні параметрів існуючий динамічний режим системи втратив стійкість, система може ще деякій час залишатися у вихідній області фазового простору. Статистичні властивості ряду, що спостерігається, при цьому сильно не змінюються, а, отже, момент зміни параметрів системи буде визначено з великою похибкою. Ця ситуація є критичною, наприклад, для практичних задач аналізу ЕКГ [17-18]. Основна ідея дослідження подібних процесів складається у поділі вихідного ряду на окремі сегменти, на яких динаміка системи вважається стаціонарною. Потім проводиться реконструкція поліноміальних рівнянь по кожному з цих сегментів окремо, визначаються коефіцієнти полінома у кожному сегменті і порівнюються сегменти по близькості значень коефіцієнтів. Далі уводиться відстань між сегментами і складається матриця відстаней. По величині цих відстаней судять про стаціонарність процесу [18, 19]. Недоліком вказаного підходу є значні затрати машинного часу на реконструкцію рівнянь, що значно знижує ефективність методики при його застосуванні для практичних задач.
Основна ідея нашого підходу складається у комп'ютерному аналізі кількості відвідувань системою різних областей фазового простору в рамках кожного із сегментів. Момент зміни кожного з параметрів системи відображається різкою зміною на побудованій діаграмі відхилень. Запропонований підхід був успішно опрацьований на відомій моделі Лоренца. У роботі показано можливі сценарії переходу між динамічними режимами, наприклад, перехід хаос – стійкий граничний цикл, що відрізняється досить довгим перехідним процесом. Запропонована методика дозволила підвищити швидкість розрахунків без значної втрати точності локалізації моменту зміни параметрів моделі.
Виходячи із вищенаведеного, метою роботи є:
Дослідження можливості стабілізації траєкторії системи зв’язаних хаотичних осциляторів за рахунок зовнішнього впливу на елементи підсистеми.
Дослідження можливості відновлення сигналів, що реалізують параметричну модуляцію генератора хаосу, за його часовою реалізацією.
Розвинення методики реконструкції модельних рівнянь систем із запізненням з метою підвищення точності визначення часу запізнення.
Розвинення методики аналізу нестаціонарних часових рядів з метою виділення квазістаціонарних ділянок.
1 МОДЕЛЮВАННЯ ХАОТИЧНИХ РЕЖИМІВ СИСТЕМИ
1.1 Детермінований хаос
Перехід сучасного природознавства до вивчення нерівноважних процесів (явищ) зумовив в останні десятиліття особливий прикладний інтерес до теорії нелінійних диференціальних рівнянь. Це пов'язано з тим, що математичні моделі досліджуваних реальних процесів є, як правило, системи рівнянь даного типу. Характерною особливістю подібних моделей є те, що набір їх можливих рішень має якісну різноманітність. Якісні відмінності можуть виявлятися насамперед у періодичній або апериодичній просторовій структурі рішення, циклічній або монотонній поведінці в часі, регулярному або нерегулярному (хаотичному) характері зміни рішення в просторі і часі, просторовій вимірності і т.п. Узагальнюючи, можна сказати, що ці моделі містять рішення, що розрізняються типом просторово-часової симетрії.
Реалізація той чи іншої певної структури рішення з числа можливих залежить як від передісторії даного процесу (вихідного стану системи), так і від умов, які, взагалі кажучи, можуть змінюватися в просторі і в часі. Залежно від поточних значень керуючих параметрів, що входять в рівняння, ті чи інші режими (стану системи) виявляються локально стійкими або нестійкими. Математично нестійкість означає, що нескінченно малі збурення даного приватного рішення швидко посилюються, і рішення "стрибкоподібно" змінюється (як правило, відносно топології). Саме в силу цих характерних особливостей системи нелінійних диференціальних рівнянь дозволяють моделювати процеси спонтанного структуроутворення, що відбуваються в реальності [1].
Якщо рішення систем рівнянь визначаються на основі тільки динамічних (без участі статистичних) закономірностей, то цілком природно очікувати, що рішення завжди носять не імовірнісний, а цілком певний, повністю передбачуваний, тобто детермінований, характер. Це припущення ґрунтується на передумовах, що полягає в тому, що в будь-які моменти часу (як в початковий, так і в проміжні) рішення можна в принципі визначити абсолютно точно. Дана передумова, очевидно, пов'язана з уявленнями про континуальність структури простору і часу, а також в безперервності зміни характерних властивостей систем (об'єктів) [2].
Отже, якщо говорити про явища, що розглядаються в рамках класичних динамічних теорій, то слід визнати, що незважаючи на можливу якісну різноманітність, складність і нерегулярність рішень, одержуваних на основі нелінійних динамічних моделей, у нас немає ніяких підстав для спростування знаменитого лапласовского детермінізму в рамках даних теорій. У зв'язку з цим, як і раніше, як і століття тому, неубедітельними і бесперспектівними видаються спроби інтерпретації деяких феноменів, що належать до сфери дії класичних динамічних теорій, в дусі, що суперечать лапласовского детермінізму.
Один з подібних феноменів - явище так званого детермінованого хаосу, широко досліджуване в останні десятиліття. В даний час достовірно встановлено, що рішення досить простих систем нелінійних диференціальних рівнянь можуть носить надзвичайно складний, тобто нерегулярний хаотичний характер. Подібні режими можуть, наприклад, мати місце для певної області початкових даних за умови, що система володіє рішеннями, нестійким за деякими з напрямків (в фазовому просторі). У цьому випадку рішення залишається кінцевим, "притягаючи" до стійкої безлічі можливих станів системи, але в той же час воно не може прийти до стабільного регулярного режиму завдяки "відштовхування". Як наслідок, близькі за своїми вихідними станами елементи системи можуть з часом все більше відрізнятися (ефект так званого розбігання траєкторій в фазовому просторі). Швидке загасання вихідних кореляцій - свідоцтво високого ступеня невпорядкованості руху. Відсутність кореляції означає, що стани, що є наслідками близьких в початковий момент часу станів, в ході процесів "забули" їх близькі (майже однакові) вихідні причини і характеризуються відносно один одного як елементи незалежних причинно-наслідкових ланцюгів, тобто взаємне відношення цих станів випадково.
Звідси часто робиться висновок про те, що зміна стану системи, що керується динамічними законами (за відсутності будь-яких зовнішніх, неконтрольованих, випадкових впливів), може відбуватися таким чином, що на рівні феноменології його буде неможливо відрізнити від "руху під дією випадкової сили, що змушує ".
До кінця XX століття і II тисячоліття змінилася наукова парадигма і змінилося науковий світогляд: світ постав хаотичним, катастрофічним, непередбачуваним. Класичні уявлення Лапласа про однозначно детерминированний та передбачуваний світ - де «тихо плавають в тумані хори стрункі світил» (М. Лермонтов) і «Бог не грає в кості», як вважав А. Ейнштейн - зруйновані. У зміненій картині світу однозначна детермінованість виявилася окремим випадком, а передбачуваність - принципово обмеженою. У колишні часи механічних машин наука розглядала головним чином стійкість, рівновагу, порядок, замкнуті системи і лінійні залежності, перехід ж до інформаційних технологій привів до появи нових підходів.
Нова велика область міждисциплінарних досліджень, яку прийнято називати нелінійної наукою, включає нелінійну термодинаміку, теорію катастроф, теорію динамічного хаосу і фрактальну математику; тут з'явилися нові великі імена, тексти «грандіознішими святого писання» (кажучи словами Б. Пастернака), безліч книг і неозоре число статей. На рубежі століть виникли нові спеціалізовані журнали (Nonlinear World; Nonlinearity; Journal of Nonlinear Science; Physica D. Nonlinear Phenomena; Chaos; Chaos, Solitons and Fractals; Fractals; International Journal of Bifurcation and Chaos і ін.). Видано чимало популярних книг по теорії катастроф, про хаос і фрактали.
Це міждисциплінарний напрямок досліджень нерідко іменується синергетикою (від грец. - «узгоджена дія») - таку коротку і вдалу назву дано в кінці 60-х років минулого століття німецьким фізиком Германом Хакеном; синергетику визначають також як науку про самоорганізацію, тобто мимовільному виникненні просторової і тимчасової упорядкованості в відкритих нелінійних системах (відкритими називаються системи, що обмінюються енергією і речовиною з навколишнім середовищем, тобто існуючі та розвиваються в потоці енергії; нелінійна поведінка системи математично описується нелінійними рівняннями). Одночасно поява упорядкованих в просторі і часі структур у відкритих нелінійних системах - спонтанне виникнення порядку з хаосу - вивчалося в Бельгії фізиком і філософом російського походження Іллею Пригожиним; його роботи з дослідження впорядкованих, «дисипативних» структур, що виникають в нерівноважних системах в результаті нелінійних процесів, були удостоєні в 1977 р Нобелівської премії з фізики. Менш відомими широкому загалу, але не менш важливими у формуванні нового наукового світогляду були виконані великими математиків XX століття: А. Пуанкаре, А.А. Андронова, А.Н. Колмогорова та ін.
Системи, досліджувані нелінійної наукою, зазвичай називають складними; їх властивості не зводяться до властивостей компонентів, або «емерджентні» (від англ. emerge - виникати) риси.
В наш час, коли описані і досліджені складні явища самоорганізації, переходу від хаосу до просторово-часової впорядкованості, для біологів було б нерозумним ігнорувати дані сучасної нелінійної науки, обмежуючись вузькопрофесійним підходом до дослідження свого матеріалу. Вихід за ці межі або хоча б погляд в нелінійний світ, широку область міждисциплінарних досліджень неминуче дає краще розуміння власних результатів.
1.2 Основні ідеї нелінійної динаміки
Катастрофою називається стрибкоподібне зміна, що виникає у вигляді раптової відповіді системи на плавну зміну зовнішніх умов. Математичний опис явищ, пов'язаних з різкими стрибками і якісними змінами картини процесу, дається теоріями особливостей і біфуркації; біфуркації (катастрофи) представляють собою розриви в системах, описуваних гладкими (безперервними) функціями. Теорія катастроф французького математика Р. Тома (R.Thom) - топологічна формалізація, математичну мову якої складний навіть для математиків. Теорії особливостей, біфуркацій і катастроф найкращим чином викладені в доступній для розуміння біолога і невеликий за кількістю сторінок книзі «Теорія катастроф» нашого співвітчизника В.І. Арнольда, одного з кращих математиків світу. Ці теорії описують виникнення дискретних структур з безперервних, званих математиками гладкими.
Отже, джерела теорії катастроф - теорія біфуркацій динамічних систем великих математиків А. Пуанкаре (H. Poincare) і А.А. Андронова і топологічна теорія особливостей гладких відображень Х. Уітні (H. Whitney). Певне уявлення про топологічних особливості може дати зображення так званої каустики, що виникає при відображенні від окружності пучка паралельних променів, наприклад, в чашці з рідиною.
Термін «біфуркація» (роздвоєння) вживається, як і «катастрофа», для позначення якісних перебудов різних систем при зміні параметрів. Типовий приклад катастрофи, біфуркації являє собою поведінку будь-якої пружної конструкції, під впливом навантаження, що збільшується раптово, стрибкоподібно переходить в інше положення, причому напрямок вигину конструкції передбачити неможливо.
У найрізноманітніших системах при зміні значення «керуючої» змінної система йде від рівноваги, досягаючи порогу стійкості. Це критичне значення називається точкою біфуркації; в точці біфуркації у системи з'являється «вибір», в якому неминуче присутній елемент випадковості з неможливістю передбачити вибір траєкторії еволюції системи. Послідовність біфуркацій в часі описує морфологію поведінки системи.
Теорія катастроф вказує деякі загальні риси явищ стрибкоподібного зміни режиму різноманітних систем у відповідь на плавну зміну зовнішніх умов: поєднання випадковості і необхідності, детермінізму і непередбачуваності, можливість вибору з декількох рішень поблизу точки біфуркації, несподівано сильного відгуку на слабкий вплив (і навпаки).
У 70-х роках теорію катастроф стали застосовувати до широкого спектру явищ з дискретним, стрибкоподібним поведінкою, коли здається передбачуваною і впорядкованої система може зазнавати різких переходах з одного стану в інший. Приклади нескінченні: природні і техногенні катастрофи і катаклізми, соціальні і, зрозуміло, біологічні явища (метаморфоз і інші критичні періоди розвитку, з яких гаструляция - поділ двох зародкових листків - приведена як приклад катастрофи самим Томом). У ті роки навколо теорії катастроф піднявся шум, роботи Р. Тома були видані «масовим тиражем в кишенькової серії - подія, якого не було в математичному світі з часу виникнення кібернетики, у якій теорія катастроф запозичила багато прийомів самореклами». З'явилося безліч публікацій в галузі природничих, технічних і гуманітарних наук: біології, фізики, геології, гідродинаміки, економіці, психології, лінгвістиці, із застосуванням теорії катастроф до найрізноманітніших і несподіваних об'єктів дослідження.
«Математична теорія катастроф сама по собі не запобігає катастрофи, подібно до того як таблиця множення, при всій її корисності для бухгалтерського обліку, не рятує ні від розкрадань окремих осіб, ні від нерозумної організації економіки в цілому ... Не потрібно, однак, спеціальної математичної теорії, щоб зрозуміти, що зневага законами природи і суспільства (будь то закон тяжіння, закон вартості або необхідність зворотного зв'язку), падіння компетентності фахівців і відсутність особистої відповідальності за прийняті рішення при водить рано чи пізно до катастрофи »(Арнольд, 1990, с. 98, 102). Без математичної теорії біфуркацій і катастроф розуміння динаміки поведінки складних нелінійних систем і управління ними практично неможливо.
Складні динамічні системи включають флюктуіруючі, випадковим чином змінюються компоненти. Окремі флуктуації або їх поєднання в системі зі зворотним зв'язком, посилюючись, викликають руйнування колишнього стану системи. Випадкові впливу в момент перелому (в точці біфуркації) можуть підштовхнути систему на новий шлях розвитку; після ж вибору одного з можливих шляхів, траєкторії розвитку, діє однозначний детермінізм - розвиток системи передбачувано до наступної точки біфуркації. Так випадковість і необхідність доповнюють один одного.
У нерівноважних умовах поблизу точки біфуркації система дуже чутлива до зовнішніх впливів, і мале по силі зовнішній вплив, слабкий сигнал може викликати значний відгук, несподіваний ефект. Зовнішні фізичні поля можуть сприйматися системою, впливаючи на її морфогенез. Так, при утворенні осередків Бенара істотну роль починає грати гравітація. Є й біологічні аналогії: роль гравітації в становленні дорсо-вентральній полярності при заплідненні яйцеклітини амфібій, поляризація зиготи фукоідних водоростей під впливом градієнта освітленості.
Отже, в далекому від рівноваги стані системи на перший план виступають нелінійні співвідношення, слабке зовнішній вплив може породжувати несподіване, непередбачувана поведінка системи в цілому. Іноді в станах, далеких від рівноваги, дуже слабкі флуктуації або зовнішні збурення можуть посилюватися до величезних, стрибкоподібним чином руйнують всю колишню структуру системи і переводять її в інший стан.
До теорії катастроф по суті близька ідея самоорганізованої критичності (П. Бак і К. Чен, 1991), згідно з якою системи з великим числом взаємодіючих елементів спонтанно еволюціонують до критичного стану, коли мале вплив може призвести до катастрофи. Складні системи можуть зруйнуватися не тільки від потужного удару, але і від малого події, що запускає ланцюгову реакцію, каскад біфуркацій, руйнівний турбулентний режим. До складних систем відносяться багато природних (земна кора, екосистеми) і соціальні системи; приклади природних катастроф - землетрусу, лавини, соціальних - крах імперій, обвал ринків. Експериментальна модель Бака і Чена (Bak, Chen) - конічні купи сухого піску. Падіння єдиною піщинки на піщаний конус, що знаходиться в критичному стані, може викликати обвал, катастрофу. У критичному стані падіння окремих скочуються піщинок, що фіксується в експерименті як «шум мерехтіння», виявляється передвісником катастрофи; можна виявити подібні провісники природних і соціальних катастроф. Купи піску, за словами авторів, це не просто експериментальна модель, це новий погляд на світ, метафора кооперативного поведінки багатьох частинок, нестійкої рівноваги, непередбачуваності. Це холістична концепція: глобальні характеристики і еволюцію системи не можна зрозуміти, аналізуючи складові її частини.
Входження системи в непередбачуваний режим, перехід до хаосу, описується каскадом біфуркацій, які йдуть одна за одною. Каскад біфуркацій веде послідовно до появи вибору між двома рішеннями, потім чотирма і т.д .; система починає коливатися в хаотичному, турбулентному режимі послідовного подвоєння можливих значень.
Теорія біфуркацій і катастроф нерозривно пов'язана з сучасними уявленнями про динамічний, або детерминированном, хаосі.
У класичній рівноважній термодинаміці мірою хаосу служила ентропія. Поняття ентропії введено Клаузиусом. Важко втриматися від спокуси процитувати «святе писання» - два перших закону термодинаміки у формулюванні Р.Клаузиуса (R. Clausius, 1865; по: Пригожин, Стенгерс, 1986):
Die Energie der Welt ist konstant (Енергія світу постійна);
Die Entropie der Welt strebt einem Maximum zu (Ентропія світу прагне до максимуму).
Ізольовані системи внаслідок лінійних термодинамічних процесів еволюціонують до стаціонарного стану максимальної ентропії і невпорядкованості. Другий закон термодинаміки описує світ як безперервно деградуючих, сповзає від порядку до молекулярного хаосу і теплової смерті. «Закони природи дозволяють тільки смерть» (Пригожин, Стенгерс, 1986) - повний хаос, «апофеоз частиц» (І. Бродський).
Виникнення дисипативних структур як перехід протилежної спрямованості - від безладу, хаосу до порядку - досить малоймовірне подія за поданнями класичної термодинаміки. Однак ці процеси відбуваються і в неживій, і в живій природі. Виникнення дисипативних структур, самовпорядкування можливо лише у відкритих системах; при цьому істотну роль грає диссипация, розсіювання енергії у відкритій системі, що знаходиться в енергетичному потоці. Живі системи - відкриті, далекі від рівноваги, безперервно обмінюються речовиною і енергією з середовищем. Порядок клітини або організму репродукується на матричної основі предсуществовавшей впорядкованості, підтримується і збільшується до певної межі за рахунок поглинання енергії і речовини з середовища. Життя виникла і існує на кордонах середовищ, розділі фізичних фаз не випадково - тут найбільш сильні конвекційні струми, потоки енергії та ентропії (Хайтун, 1996).
В останні десятиліття XX століття поняття хаосу змінилося. Відразу ж слід зауважити, що динамічний, або детермінований хаос нелінійних динамічних систем - це не хаос, який розуміється як повна дезорганізація і випадковість подій. Сучасне розуміння хаосу ближче до вихідного давньогрецького: «хаос» - безмежна невпорядкована маса, з якої виникло все існуюче.
Динамічний (детермінований) хаос - складне непередбачувана поведінка детермінованою нелінійної системи. Виявилося, що прості системи (іноді - зухвало прості модельні системи), що складаються з малого числа компонентів і детерміновані правилами, що не включають елементів випадковості, можуть проявляти випадкове поводження, досить складне і непередбачуване, причому випадковість носить принциповий, непереборний характер. Такого роду випадковість, непередбачуваність розвитку системи розуміється як хаос.
Детермінований хаос поєднує детермінованість і випадковість, обмежену передбачуваність і непередбачуваність і проявляється в таких різних явищах як кінетика хімічних реакцій, турбулентність рідини і газу, геофізичні, зокрема, погодні зміни, фізіологічні реакції організму, динаміка популяцій, епідемії, соціальні явища (наприклад, курс акцій).
Перш поділяли детерміновані системи, для яких був можливий прогноз на будь-який відрізок часу (подібно прогнозом затемнень сонця) і стохастичні системи, які можна охарактеризувати лише статистично. Тепер же з'явився новий клас об'єктів, формально детермінованих, але з поведінкою, прогнозованим лише на обмежений відрізок часу. Обидва полюси - порядок і хаос - не існує в чистому вигляді, якщо розуміти впорядковані системи як повністю регулярні, детерміновані, передбачувані, а невпорядковані системи як абсолютно нерегулярні, випадкові, непередбачувані. Прикладом систем з високим ступенем порядку і стабільності служать кристали; на протилежному полюсі розташовується такі хаотичні системи як гази.
Можна нагадати, що основи однозначного детермінізму в квантовій механіці були підірвані принципом невизначеності В. Гейзенберга, що встановлює неможливість вимірювання з заданою точністю одночасно координати і імпульсу елементарної частинки. Тоді ж, в 1927 році на конгресі в Брюсселі відбувався знаменитий суперечка Нільса Бора і Альберта Ейнштейна. Заперечення випадковості А. Ейнштейн наділив в форму відомого висловлювання: «Я не вірю, що Господь Бог кидає кістки» (в дещо іншому формулюванні - "God casts the die, not the dice": «Бог метає жереб, а не кістки»), на що Н. Бор відповів: «Не наша печаль - наказувати господа Бога, як йому слід було б управляти цим світом». Відповіддю і викликом однозначного детермінізму послужила і з'явилася до кінця століття книга І. Стьюарта "Does God play dice?" (Stewart, 1992), що викладає теорію катастроф.
Здається доречним привести дотепне зауваження І. Пригожина: якщо було б можливо, знаючи стан Всесвіту в один довільно обраний момент, обчислити її минуле і майбутнє, як для простої передбачуваною системи, світ виявився б грандіозною тавтологією (Пригожин, Стенгерс, 1986, с.126).
Теорія динамічного хаосу знищила розрив між класичною динамікою і статистичною фізикою: регулярний рух стає стохастическим внаслідок завжди присутніх невеликих флуктуацій. Розвиток теорії динамічного хаосу пов'язано з іменами А. Пуанкаре (H. Poincare), А.М. Ляпунова, А.А. Андронова, Е. Хопфа (E. Hopf), А.Н. Колмогорова, В.І. Арнольда.
Еволюція системи математично описується векторним полем в фазовому просторі - абстрактному просторі динамічних змінних системи, векторному полі в координатах змінних. Точка фазового простору задає стан системи, вектор в цій точці вказує напрямок зміни системи. Криві послідовних станів процесу, створювані зміною положення точки в фазовому просторі, називаються фазовими траєкторіями, а їх сукупність - фазовим портретом системи. Траєкторії поля, притягуються до одного з центрів тяжіння, утворюють область, звану областю дії (басейном) цього центру тяжіння (Р. Том, 1968). Фазовий простір - зручний засіб для наочного уявлення поведінки динамічної системи. На рис. 7 показані фазові портрети (нижній ряд) для системи з затухаючими коливаннями (траєкторія, яка прагне до стану рівноваги), з постійними коливаннями (замкнута крива) і більш складний випадок системи, що коливається в позбавленому суворої періодичності режимі. Сталі режими руху, іншими словами, безліч точок (в найпростішому випадку - одна точка) в фазовому просторі системи, до яких прагнуть її траєкторії, отримали назву аттракторов - вони як би залучають, притягують траєкторії у фазовому просторі. У першому випадку аттрактором виявляється нерухома точка, в другому - граничний цикл, в третьому ж - так званий дивний, або хаотичний (стохастичний) аттрактор. Таким чином, атрактори - геометричні структури, що характеризують поведінку системи в фазовому просторі після досить тривалого періоду часу. Хаотичні, дивні атрактори відповідають непередбачуваного поведінки систем, що не мають строго періодичній динаміки, це математичний образ детермінованих неперіодичних процесів. Дивні атрактори структуровані і можуть мати вельми складні і незвичайні зміни в тривимірному просторі.
Хоча в роботах деяких математиків раніше була встановлена можливість існування дивних атракторів, вперше побудова дивного аттрактора (рис. 8) як рішення системи диференціальних рівнянь здійснив в роботі з комп'ютерного моделювання термоконвекціі і турбулентності в атмосфері американський метеоролог Е. Лоренц (E. Lorentz, 1963) . Кінцевий стан системи Лоренца надзвичайно чутливе до початкового стану. Сам же термін «дивний аттрактор» з'явився пізніше, в роботі Д. Рюелля і Ф. Такенса в (D. Ruelle, F. Takens, 1971: см. Рюель, 2001) про природу турбуленции в рідини; автори відзначали, що розмірність дивного аттрактора відмінна від звичайної, або топологічної. Пізніше Б. Мандельброт (B. Mandelbrot) ототожнив дивні атрактори, траєкторії яких при послідовних обчисленнях комп'ютера нескінченно розшаровуються, розщеплюються, з фракталами.
Розбіжність сусідніх траєкторій призводить до невизначеності положення точки через деякий час, створюючи «хмара невизначеності». Поведінка системи передбачувано на малому відрізку часу і непередбачувано на досить великому відрізку - система починає поводитися як хаотична, для якої можливо лише статистичний опис.
Таким чином, системи, поведінка яких детермінується правилами, що не включає випадковість, з плином часу виявляють непередбачуваність за рахунок наростання, посилення, ампліфікації малих невизначеностей, флуктуацій. Наочний образ системи з наростанням невизначеності - так званий більярд Я.Г. Синая: досить велика послідовність зіткнень куль неминуче веде до наростання малих відхилень від яких обчислюється траєкторій (за рахунок не ідеально сферичної поверхні реальних куль, не ідеально однорідної поверхні сукна) і непередбачуваності поведінки системи.
У таких системах «випадковість створюється подібно до того, як перемішується тісто або тасується колода карт» (Кратчфилд і ін., 1987). Так зване «перетворення пекаря» з послідовним розтягуванням і складанням, нескінченним освітою складок - одна з моделей виникнення переходу від порядку до хаосу; при цьому число перетворень може служити мірою хаосу.
Ще одна експериментальна модель для вивчення переходу до хаосу в потоці рідини - два обертових в протилежних напрямках ексцентричних циліндра (Оттіньі, 1989). Зі збільшенням швидкості обертання внутрішнього циліндра спостерігається перехід від постійної швидкості до періодично змінюється, і потім - до аперіодичного режиму. Невеликий розкид початкових значень, що характеризують стан забарвлених крапель в в'язкої рідини, швидко зростає на хаотичних ділянках потоку. Подібний застиглий, структурний хаос можна спостерігати в химерних малюнках світлих і темних шарів вивержених гірських порід.
Перехід від упорядкованого ламінарної течії до турбулентного, хаотичного руху спостерігається в рідини зі збільшенням числа Рейнолдса, що характеризує співвідношення сил інерції і в'язкості. Втрата стійкості станів рівноваги має безліч застосувань в самих різних областях: «механічні, фізичні, хімічні, біологічні та економічні
15.05.2019 10:05-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора