Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Загальний математичний опис фільтрів
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
КН
Кафедра:
Кафедра САПР
Інформація про роботу
Рік:
2010
Тип роботи:
Лабораторна робота
Предмет:
Системи комп'ютерного проектування
Група:
ІТП
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти та науки України
Національний унівеоситет «Львівська політехніка»
Кафедра САПР
Лабораторна робота №2
З курсу "Розробка систем комп’ютерного проектування"
на тему «Загальний математичний опис фільтрів»
Загальний математичний опис фільтрів.
Загалом і активні фільтри, зокрема, є настільки важливими пристроями електроніки, що питанням, математичного опису приділялося і приділяється найсерйозніша увага. Публікується велика кількість наукових статтей і книг, присвячених фільтрам. Для того, щоб інженер або науковий працівник був у змозі скористатися зазначеними джерелами інформації, а також засобами автоматизованого проектування, він повинен хоча б у загальних рисах знати особливості математичного опису фільтрів.
Зазвичай фільтр аналізується як кінцева лінійна електронна схема з зосередженими параметрами. Якщо реальна схема фільтра є нелінійною (наприклад, містить транзистори або операційні підсилювачі), то при аналізі вона лынызуэться і потім розглядається як лінійна.
Відповідно фільтр описується звичайним лінійним диференціальним рівнянням деякого порядку n:
де х = х (t) - вхідний сигнал фільтра (зазвичай - вхідна напруга); у = у (х) - вихідний сигнал фільтра (зазвичай - вихідна напруга); - дійсні коефіцієнти.
Для фільтрів, які можуть бути реалізовані, виконується співвідношення . Величину n називають також порядком фільтра. Якщо, наприклад, n = 2, то говорять, що фільтр другого порядку.
Необхідно відзначити, що замість записаного одного рівняння фільтр може бути описаний лінійною системою з n диференціальних рівнянь першого порядку (системою диференціальних рівнянь у формі Коші). Показано, що величина n дорівнює або менша кількості реактивних елементів (конденсаторів і котушок індуктивності) фільтра.
Наприклад, якщо у фільтрі три конденсатора, то він може бути третім чи меншого порядку. Інженеру потрібно знати, що порядок фільтра визначається кількістю тих напруг на конденсаторах і струмів котушок індуктивності, котрі можуть задаватися як початкові незалежно один від одного.
Для прикладу звернемося до схеми, наведеної на рис. 1.2.
Рис. 1. 2. Приклад схеми 2-го порядку.
Вже до складання одного диференціального рівняння або еквівалентної системи диференціальних рівнянь можна сказати, що це схема другого порядку, так як початкові напруги при розрахунку перехідного процесу можна задавати незалежно для двох із трьох конденсаторів.
Застосуємо до наведеного вище рівняння пряме перетворення Лапласа і визначемо передавальну функцію Т (s) як відношення операторного зображення Y (s) вихідної величини до операторного зображеня Х (s) вхідної величини:
де s – комплексна частота.
Запишемо передавальну функцію в наступному вигляді:
(1).
де К - матеріальний коефіцієнт; - корені полінома чисельника (їх прийнято називати нулями); . - корені полінома знаменника (їх прийнято називати полюсами).
Відомо, що полюси і нулі можуть бути чи речовими, або комплексно-сполученими.
Як вже зазначалося, при описі властивостей фільтрів зазвичай орієнтуються на синусоїдальні сигнали. При цьому мають на увазі встановлений режим роботи. У такій ситуації широко використовують частотну передавальний функцію , яку отримують зі звичайної передавальної функції при використанні підстановки .
де - кругова частота, рад / сек. Отримуємо:
(2)
Зазначимо три характеристики, які широко використовуються для опису фільтрів: . • амплітудно-частотна;
• фазочастотна;
• групової затримки (групового часу затримки).
Амплітудно-частотна характеристика являє собою залежність виду:
Значення на певній частоті дає відношення діючих (або амплітудних) значень сигналів на виході і вході фільтра. На практиці широко використовують амплітудночастотну характеристику в децибелах, яка являє собою залежність виду:
Фазочастотна характеристика - це залежність виду:
Значення на певній частоті є зрушенням по фазі вихідної величини по відношенню до вхідної.
Характеристика часу затримки - це залежність виду:
Величина - це час затримки (груповий). Він характеризує зсув за часом вихідної величини по відношенню до вхідної.
Найбільш широко використовують амплітудно-частотну і фазочастотну характеристики. Характеристика часу затримки не несе принципово нової інформації в порівнянні з фазочастотною характеристикою, але є вельми корисною і використовується досить часто. Для з'ясування ролі часу уповільнення при аналізі фільтрів коротко розглянемо проблему спотворення форми сигналу, що містить декілька гармонік, при проходженні його через фільтр. Нагадаємо, що фільтр розглядається як лінійний пристрій, тому мова йде не про нелінійних спотворення. Маються на увазі спотворення, причиною яких є недосконалість фазочастотной характеристики фільтра.
Спочатку розглянемо фільтр з настільки досконалою фазочастотной характеристикою, що спотворення форми сигналу відсутній. Така фазочастотна характеристика є лінійною однорідною функцією кругової частоти і визначається виразом:
де k - постійна позитивна величина. Наведемо відповідний графік (рис. 1.3, а). Нехай вхідним сигналом є напруга , яка містить дві гармоніки (мал. 1.3, б):
а) б)
Рис. 1.3. Ілюстрація лінійної ФЧХ фільтра: а - лінійна ФЧХ, б - сигнал, що містить 2-і гармонічні складові з частотою і .
Для першої гармоніки фільтр забезпечує зсув по фазі , а для другої гармоніки зсув по фазі буде дорівнює . Позначимо через і періоди відповідно першої та другої гармонік, а через і - їх частоти. Визначемо зрушення за часом і , що відповідають зрушенням по фазі і . Звернемося до першого гармоніки. Для неї зміщений по фазі – відповідає періоду , а зрушення по фазі відповідає шуканому часу .
Звідси:
Аналогічно получаємо:
Таким чином, в даному випадку гармоніки будуть зміщені за часом на одну і ту ж величину k і тому сигнал не буде спотворено, тобто форма його залишиться колишньою. Але, природньо, вихідний сигнал буде зміщений щодо вхідного на час +k (в даному випадку вихідний сигнал буде відставати від вхідного на час k).
Визначимо для даного фільтра час затримки:
Таким чином, в даному випадку час уповільнення - це час, на який вихідний сигнал буде зміщений відносно вхідного.
Якщо фазочастотная характеристика не буде лінійною однорідною функцією кругової частоти, то різні гармоніки будуть зміщені фільтром на різні відрізки часу, і тому форма сигналу, що містить не одну гармоніку, буде спотворюватися. Чим ближче фазочастотна характеристика певного фільтру до лінійної однорідної функції (і чим менше значення часу затримки відрізняються від деякої константи), тим спотворення будуть менше.
Тому при використанні систем автоматизованого проектування (САПР) характеристику часу затримки часто виводять на екран комп'ютера і використовують для оцінки спотворень сигналів фільтром. Час затримки називають також запізнювання і часом уповыльнення.
З вищесказаного випливає, що частотні характеристики фільтра повністю визначаються значенням коефіцієнта К передавальної функції, а також значенням її нулів і полюсів. Нулі і полюси часто зображують у вигляді точок на площині комплексної частоти (s-площини), одержуючи так звану діаграму нулів і полюсів. Така діаграма разом з коефіцієнтом К несе повну інформацію про частотні характеристики фільтра. Маючи діаграму нулів і полюсів, легко визначити значення модуля і аргументу частотної передавальної функції, тобто коефіцієнт підсилення і зсув по фазі.
Припустимо, що деякий полюс розташований на s-площині так, як показано на рис. 1.4. Нехай кругова частота дорівнює . Тоді для обліку полюса в знаменник дробу, що визначає величину , слід додати співмножники, що дорівнює довжині вектора з початком в полюсі і закінченням на уявній осі з ординатою, а в алгебраїчну суму, що визначає величину, слід додати доданок , де - кут, вказаний на малюнку.
Рис. 1.4. Ілюстрація впливу полюса на частотну характеристику фільтра.
Висновок: на даній лабораторній роботі було проведено аналіз загального математичного опису активних фільтрів.
20.07.2020 13:07-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора