Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
КООРДИНАТНІ СИСТЕМИ. КООРДИНАТНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
О
Факультет:
КН
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2010
Тип роботи:
Практична робота
Предмет:
Моделювання
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки України
Національний університет „Львівська Політехніка”
Практична робота № 2
„КООРДИНАТНІ СИСТЕМИ. КООРДИНАТНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ”
з курсу „ Геометричне моделювання у конструюванні інженерних об'єктів і систем ”
Львів-2010
ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ
Варіант 14
а) Визначити полярні координати точки, що симетрична відносно полярної вісі точки
б) Задані точки: С(-3), D(-8) . Визначити координати цих точок при умові, що одиниця довжини буде взята так, що e': e = 5 : 2 .
в) Полярна вісь полярної системи координат паралельна вісі абсцис декартової прямокутної системи та направлена однаково з нею. Задані декартові прямокутні координати полюса О(-1;2) та полярні координати точки )
− . Визначити координати цієї точки у декартові прямокутній системі.
г) Перевести координати точки Р з однорідного представлення у вигляді: (17, 3, 1) в систему афінних координат.
ґ) Вісі декартової системи координат повернуті на кут . Координати точок визначені у новій системі координат. Обчислити координати цих точок у старій системі координат.
КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ КООРДИНАТ. ЕЛЕМЕНТИ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ
Одна з головних особливостей методу аналітичної геометрії полягає у використанні чисел для визначення положення геометричних образів. Числа, що визначають положення геометричних образів, називають їх координатами.
Координати [від лат. со (сит) - спільно та ordinatus - упорядкований, визначений], числа, заданням яких визначається положення точки на площині чи на будь-якій поверхні в просторі. Першими координатами, які увійшли в систематичне застосування є астрономічні та географічні координати - широта і довгота, що визначають положення точки на небесній сфері чи на поверхні земної кулі (небесні координати, географічні координати). У 14 столітті французький математик Н. Орем користувався координатами на площині для побудови графіків, називаючи довготою і широтою те, що тепер називають абсцисою й ординатою. Більш систематично координати стали застосовуватися до питань геометрії на площині в 17 столітті. Заслуга з'ясування всього значення методу координат, що дозволяє систематично переводити задачі геометрії на мову математичного аналізу і, назад, витлумачувати геометрично факти аналізу, належить французькому вченому Р. Декарту. Крім координат точок, розглядають також координати прямої, площини й інших геометричних об'єктів. У теоретичній механіці вживають координати механічних систем — числа, що визначають положення механічної системи (наприклад, деякого твердого тіла) у кожен момент часу.
Пряма, на якій вибрано додатній напрямок, називається віссю. Щоб мати можливість визначити положення точки на цій прямій, визначимо на ній систему координат наступним чином:
1) вибираємо початок координат, тобто точку О, по відношенню до якої визначається положення решта точок;
2) вибираємо одиницю довжини для вимірювання відстані точки від початку координат;
3) вибираємо додатній напрямок на прямій, що дозволяє розрізнити відрізки прямої не тільки по їх абсолютній величині, але й за знаком: відрізок вважається додатнім чи від'ємним в залежності від того, співпадає напрямок від початкової його точки з додатнім напрямком прямої чи з напрямком протилежним.
Після того як система координат на прямій визначена, кожній точці М цієї прямої відповідає одне єдине число, що характеризує її положення, - координата х, абсолютна величина якої дає відстань точки М від початку координат, що виміряна одиницею довжини, а знак вказує, по яку сторону від початку координат розміщена точка
.
ДЕКАРТОВІ ПРЯМОКУТНІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ
Декартова (іноді називають афінна) прямокутна система координат визначається заданням лінійної одиниці для виміру довжин та двох взаємо перпендикулярних осей, які пронумеровані в певному порядку. Якщо одиничний відрізок довжини по осях неоднаковий, то система називається афінною. Якщо одиничний відрізок довжини по осях однаковий, то система називається декартовою.
Точка перетину осей називається початком координат, а самі вісі — координатні вісі. Перша з координатних осей називається віссю абсцис, а друга - віссю ординат.
Початок координат позначається літерою О, вісь абсцис - символом Ох, вісь - ординат -символом Оу.
Координатами довільної точки М у заданій системі називають числа:
х=ОМх, у=ОМу
де Мх, Му - проекції точки М на вісі Ох та Оу, ОМХ означає величину відрізка ОМХ вісі абсцис, ОМу — величину відрізка ОМ вісі ординат. Число х називається абсцисою точки М.
Число у називається ординатою той же точки. Символ М(х, у) позначає, що точка М має абсцисою число х, а ординатою число у.
Вісь Оу розділяє всю площину на дві швплощини; та з них, яка розміщена в додатному напрямку вісі Ох, називається правою, інша - лівою. Точно так само вісь Ох розділяє площину на дві півплощини; та з них, яка розміщена в додатному напрямку вісі Оу, називається верхньою, інша — нижньою.
Обидві координатні вісі разом розділяють площину на чотири чверті, які нумеруються за наступним правилом: першою координатною чвертю називається та, яка лежить одночасно у правій та у верхній півплощині, друга - що лежить у лівій та у верхній півплощині, третя - що лежить у лівій та у нижній півплощині, четверта - лежить у правій та у нижній півплощині.
Рис. 1 Декартова прямокутна система координат
У випадку декартових (афінних) координат лінії x=const утворять пучок прямих, паралельних вісі Оу, а лінії y=const - інший пучок прямих, паралельних вісі Ох, через кожну
точку площини Р (хо, уо) проходить одна пряма першого пучка (х = хо) і одна пряма другого пучка (у = уо).
ПОЛЯРНІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ
Полярна система координат визначається заданням деякої точки О, яка називається полюсом, променя ОА, що виходить з цієї точки, який називається полярною віссю, та масштабу для вимірювання довжин. Крім цього, при заданні полярної системи повинно бути вказано, які повороти навколо точки О вважаються додатніми (на кресленнях додатніми вважаються повороти проти годинникової стрілки).
Рис. 2 Полярна система координат
Полярними координатами довільної точки М (відносно заданої системи) називаються числа р = ОМ та ф = /ЛОМ. Кут ф при цьому слід розуміти як це прийнято у тригонометрії. Число р називається першою координатою, чи полярним радіусом, число ф — другою координатою, чи полярним кутом точки М (ф називають також амплітудою). Величина ОМ позначає довжину відрізку, що приймається як у елементарній геометрії (тобто абсолютно, без врахування знаку).
Символ М (р, ф ) означає, що точка М має полярні координати р та ф при 0 <р<со,
0<ф<2я.
Полярний кут ф має нескінчено багато можливих значень, які відрізняються один від одного на величину виду ± 2пк , де п - ціле додатне число. Значення полярного кута, яке задовольняє нерівності —п < ф +п , називається головним.
У випадках одночасного розглядання декартової та полярної систем координат потрібно:
1) користуватися одним і том самим масштабом;
2) при визначенні полярних кутів вважати додатнім повороти у тому напрямку, у якому слід обертати додатну піввісь абсцис, щоб найкоротший шлях сумістити її з додатною піввіссю ординат (таким чином, якщо вісі декартової системи знаходяться при звичайному розміщенні, тобто вісь Ох направлена вправо, а вісь Оу — вверх, то і відлік полярних кутів повинен бути звичайним, тобто додатніми слід вважати ті кути, які відраховуються проти годинникової стрілки).
У випадку полярних координат лінії р = const є колами, а лінії ф = const — променями, що виходять з початкової точки О; через кожну точку Р, відмінну від О, проходить рівно по
одній лінії кожного з двох сімейств; відмітки р0 таф0 цих двох ліній і є координати точки Р. У більш загальному випадку можна розглянути в якій-небудь області G площини дві функції точки и(Р) та v(P) такого роду, що кожна лінія u(P)=const перетинається з кожною лінією сімейства v(P)=const у межах області G не більш ніж в одній точці. Очевидно, що в цьому випадку числа и(Р) та v(P) однозначно визначають положення точки Р в області G, тобто є координатами точки Р в цієї області; лінії, обумовлені рівняннями u=const чи v=const, називають при цьому координатними лініями.
КОСОКУТНА СИСТЕМА КООРДИНАТ
Замість того, щоб брати дві взаємо перпендикулярні вісі координат, ми можемо взяти будь-які дві прямі, які перетинаються, і визначити положення точок площини по відношенню до них. Кут ш між додатнім напрямком вісі х та додатнім напрямком вісі у називається координатним кутом.
Рис. 4 Косокутна система координат
Якщо координатний кут відмінний від прямого кута, то система координат називається косокутною.
Щоб визначити координати точки М, проводимо через неї прямі МА та MB, які паралельні осям; тоді
абсцисата ордината, де PQ - одиниця виміру довжини.
Косокутні координати точки не рівні відстаням цієї точки від осей координат.
Побудуємо точку Р(+3,-1) при умові ш = я /3. За вісі координат візьмемо для прямі, які перетинаються під кутом я /3; на кожній з них виберемо додатній напрямок та одиницю довжини. Від початку координат О, вправо по вісі х, відкладаємо відрізок ОА=Зе (де є -одиниця довжини); через точку А проводимо пряму, яка паралельна вісі у, та на ній відкладаємо вниз від точки А відрізок АР, який рівний одиниці довжини; кінець цього відрізка і буде шуканою точкою.
Рис. 5 Приклад побудови точки Р(+3,-1) в косокутній системі координат
У косокутній системі координат необхідно обчислювати величини довжини, кути, площі за більш складними, узагальненими формулами, що містять координатний кут ш. Відстань між двома точкамитабуде:
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора