Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними в системі MATHCAD
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Комп’ютерні науки
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2008
Тип роботи:
Інші
Предмет:
Математичне моделювання в САПР
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”
Кафедра САП
Розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними в системі MATHCAD
Методичні матеріали
до лабораторної роботи № 3 з курсу:
“Математичне моделювання в САПР”
для студентів базового напрямку
6.0804 “Комп’ютерні науки”
ЗАТВЕРДЖЕНО
на засіданні кафедри
“Системи автоматизованого проектування”
Протокол №
від
ЛЬВІВ 2008
Розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними в системі MATHCAD. Методичні матеріали до лабораторної роботи № 3 з курсу: “Математичне моде лю вання в САПР” для студентів базового напрямку 6.0804 “Комп’ю тер ні науки”.
Укладачі:
Макар В.М., доцент, к.т.н.
Юрчак І.Ю., доцент, к.т.н.
Відповідальний за випуск:
Лобур М.В., проф., д.т.н., завідувач кафедри САП
Рецензенти:
1. МЕТА РОБОТИ
Ознайомитися з основними функціями системи MATHCAD для дослідження математичних моделей у формі крайових задач для дифе рен ціальних рівнянь з частинними похідними.
2.ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
2.1. ПОНЯТТЯ ПРО КРАЙОВІ ЗАДАЧІ, ПОЧАТКОВІ ТА ГРАНИЧНІ УМОВИ.
Більшість фізичних та науково-технічних задач зводиться до знаходження розв’язків диференціальних рівнянь з частинними по хід ни ми. Важливий клас диференціальних рівнянь з частинними похідними складають лінійні рівняння другого порядку з незалежними змінними, які у загальному випадку можна записати наступним чином:
. (1)
Найбільш поширеними частковими випадками рівняння (1) є: рівняння коливань, рівняння дифузії та стаціонарні рівняння.
Рівняння коливань має вигляд:
, (2)
де невідома функція залежить від просторових координат і часу , коефіцієнти визначаються властивостями середовища, в якому відбувається коли валь ний процес, функція виражає інтенсивність зовнішніх впливів, , . Рівняння (2) описує такі фізичні процеси як коливання струни, мембрани, тривимірних тіл, електромагнітні коливання і т.д. З рівняння (2), як частковий випадок, можна отримати класичне хвильове рівняння:
, (3)
яке описує процеси поширення звуку та електромагнітних хвиль в од но рід ному середовищі. У двовимірному випадку хвильове рівняння (3) опи сує малі поперечні коливання мембрани, а в одновимірному - такі фі зичні процеси, як поперечні коливання струни та повздовжні ко ли вання пружного стержня. Ввівши оператор Лапласа
хвильове рівняння (3) можна записати так
. (4)
Рівняння дифузії
(5)
описує процеси поширення тепла або дифузії частинок у деякому се ре довищі, яке харак те ри зуєть ся функціями . Як частковий випадок, з рівняння (5) можна отримати класичне рівняння тепло про відності
, (6)
де - питома теплоємність, -густина, - коефіцієнт теплопровідності се ре до вища, в якому відбувається процес поширення тепла, - ін тен сивність внутрішніх джерел тепла. Якщо середовище є ізотропним, тобто - константи, то з рівняння (6) отримаємо
, (7)
де називається коефіцієнтом температуропровідності, - густина джерел тепла. Якщо внутрішні джерела тепла відсутні, тобто , то з рівняння (7) отримаємо класичне рівняння Фур’є
. (8)
Стаціонарні рівняння описують усталені процеси, в яких вели чи ни, що характеризують їх не залежать від часу. Тоді рівняння коливань (2) та дифузії (5) будуть мати вигляд:
. (9)
При і рівняння (9) набуває вигляду
, (10)
і називається рівнянням Пуасона, а при отримуємо частковий випадок рівняння Пуасона, а саме рівняння Лапласа
. (11)
Для того, щоб повністю описати той чи інший фізичний процес не достатньо мати лише рівняння, яке описує цей процес. Необхідно задати та кож початковий стан процесу, який описується початковими умовами та режим процесу на границі області, в якій протікає цей процес, що опи сується граничними умовами. Математично це пов’язано з тим, що ди ферен ціальні рівняння мають безліч розв’язків. Дійсно, навіть для зви чайного диферен ціального рівняння -го порядку загальний розв’язок залежить від довільних сталих. Для рівнянь з частковими похідними, за гальний розв’язок залежить, в загальному випадку, від довільних функ цій. Тому, для того, щоб виділити потрібний розв’язок з множини мож ливих розв’язків, який описує заданий реальний фізичний процес, необ хідно задати додаткові умови, а саме початкові та граничні умови. Часто початкові та граничні умови об’єднують одним поняттям, а саме крайовими умовами. Тоді відповідна задача, тобто задача знаходження розв’язку заданого диференціального рівняння, який задовільняє зада ним крайовим умовам, називається крайовою задачею.
Важливим питанням є скільки початкових та граничних умов потрібно накласти, щоб отримати єдиний розв’язок крайової задачі? Якщо в диферен ціальне рівняння входить похідна по часу -го порядку, то початкових умов має бути і задаються вони на шукану функцію та її похідні по часу до порядку включно. Найвищий порядок похідної за просторовими координатами визначає кількість граничних умов, які потрібно задати в кожній точці границі. Так, якщо цей порядок рівний , то в кожній точці границі необхідно задати граничних умов. Розрізняють три типи граничних умов:
гранична умова І роду:
(12)
гранична умова ІІ роду:
(13)
гранична умова ІІІ роду:
(14)
Узагальнюючи, граничні умови (12-14) можна записати наступним чином:
(15)
де і - задані кусково-неперервні функції. Тоді умова (12) слідує з (15) як частковий випадок при умова (13) – при і умова (14) – при .
Розрізняють три основних типи крайових задач для диферен ціаль них рівнянь:
Задача Коші: ставиться для рівнянь коливань та дифузії шляхом задання початкових умов, граничні умови відсутні;
Крайова задача для стаціонарних рівнянь: задаються граничні умови, початкові умови відсутні;
Змішана задача (початково-крайова задача): ставиться для рів нянь коливань та дифузії шляхом задання як початкових, так і граничних умов.
2.2. ФУНКЦІЇ MATHCAD РОЗВ’ЯЗАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ЧАСТИННИМИ ПОХІДНИМИ
На відміну від звичайних диференціальних рівнянь, для розв’язан ня яких в системі MATHCAD передбачено більше десятка різноманіт них функцій для різних типів рівнянь, існує лише дві функції, які доз во ляють отримати розв’язок деяких диференціальних рівнянь з час тин ними похідними. Цими рівнян нями є класичні рівняння Лапласа та рів няння Пуасона. Більше того, ці функції працюють тільки для областей квадратної форми і дозволяють задавати лише граничні умови I роду. Такий обмежений набір вбудованих функцій MATHCAD розв’язання крайо вих задач для рівнянь з частинними похідними зумовлений, по-перше, складністю розв’язання задач такого роду, а, по-друге, відсутніс тю уніфікованого підходу, який би враховував всі специфічні особли вос ті, які виникають під час розв’язання конкретних крайових задач з різ ни ми граничними умовами в облас тях складної геометричної форми.
Для розв’язання крайової задачі для рівняння Пуасона з нульо ви ми граничними умовами I роду використовується функція multigrid. Для ілюстрації синтаксису та правил використання даної функції розглянемо класичну задачу знаходження температурного розподілу в квадратній області при заданих внутрішніх джерелах тепла та нульовій температурі на границі області. Математична формалізація (постановка) такої задачі буде мати вигляд: знайти функцію , яка задовільняє рівняння
в області
та граничну умову , де функція задає розподіл внутрішніх джерел тепла, - границя квадратної області.
На рис.1 зображено документ MATHCAD, який містить програму розв’язання вказаної крайової задачі за допомогою функції multigrid при заданому джерелі тепла інтенсивності в центрі області. Розг ля немо його детальніше.
Рис.1. Приклад використання функції multigrid
Функція multigrid будує розв’язок першої крайової задачі для рівняння Пуасона на основі методу скінченних різниць. Даний метод базується на дискретизації вихідної області (яка у нашому випадку має форму квадрата), тобто покритті області множиною вузлів, і заміні частинних похідних на скінченно-різницеві співвідношення у цих вузлах. Тоді розв’язання вихідної крайової задачі методом скінченних різниць полягає в знаходженні таблиці значень шуканої функції в заданих вузлах сітки. Спосіб побудови сітки залежить від геометрії області, для областей простої форми найчастіше вузли отримуються як точки перетину прямих, паралельних координатним осям. Тому спочатку потрібно задати кількість цих прямих, що автоматично озна ча ти ме покриття області моделювання сіткою з вузлів. Оскільки вхідними даними для заданої крайової задачі є лише функція внутрішніх джерел тепла, то нам потрібно у кожному внут ріш ньо му вузлі сітки задати значення цієї функції. Для прикладу, нехай джерела тепла знаходяться у центрі квадратної області. Це означає, що нам потрібно правильно визначити позицію джерел тепла, яка задається індексами матриці задання джерел тепла . У нашому випадку достатньо задати два індекси, які будуть мати значення . Після цього зали шається записати у відповідні елементи матриці значення інтен сивності дже рел тепла і задати цю матрицю як перший аргумент при виклику функції multigrid.
3.КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
Які типи диференціальних рівнянь з частинними похідними дру го го порядку Ви знаєте?
Що таке граничні умови? Які є типи граничних умов?
Що таке крайова задача? Як формулюються основні типи крайових задач для диференціальних рівнянь?
Які функції системи MATHCAD використовуються для роз в’я зан ня крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними по хід ними? Які обмеження на них накладаються?
4.ЛАБОРАТОРНЕ ЗАВДАННЯ
Ознайомитися з основними рівняннями для моделювання на компонентному рівні та відповідними функціями MATHCAD.
Знайти, використовуючи відповідну функцію MATHCAD, роз в’я зок рівняння Пуассона у квадратній області розміру (індивідуальні завдання наведені в Додатку). Дослідити збіжність числового розв’язку при згущенні сітки.
Побудувати 3D графіки отриманого розв’язку та за да ного точного розв’язку , а також лінії рівня в обох випадках.
Оформити і здати звіт про виконання лабораторної роботи.
5.ЗМІСТ ЗВІТУ
Мета роботи.
Короткі теоретичні відомості.
Постановка задачі індивідуального завдання.
Оформлений належним чином (з коментарями, поясненнями та результатами) документ MATHCAD з програмою розв’язання завдання.
Аналіз результатів та висновки.
6.СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
В.Дьяконов. MATHCAD 8/2000: специальный справочник. – СПб: Питер,2001. -592 с.
Е. Макаров. Инженерные расчеты в MATHCAD. – СПб: Питер, 2002. -386 с.
http://www.mathcad.com.
ДОДАТОК
Знайти, використовуючи відповідну функцію MATHCAD, розв’язок рівняння Пуассона
у квадратній області розміру . Побудувати 3D графіки отриманого роз в’язку та за да ного точного розв’язку , а також лінії рівня в обох випадках. Дослідити збіжність числового розв’язку при згущенні сітки.
№ з/п
1
2
2
0.5
3
1
4
5
4
6
4
1.5
7
1
8
3
9
0
2
10
11
2
12
1
13
4
1.5
14
15
2
3
16
2
17
1
18
9
19
-2
2.5
20
21
1.5
22
1
23
2
24
25
-2
0.5
26
27
1
28
3
29
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора