Теоретичні запитання 1.1. Матриця — в математиці прямокутна таблиця чисел або взагалі елементів кільця, елементами матриці вважатимемо дійсні або комплексні числа. Горизонтальні лінії в матриці звуть рядками, вертикальні — стовпчиками. Матрицю, що складається з m рядків та n стовпчиків, називають матрицею m-на-n (або mn-матицею), а m і n — її розмірністю. Елемент матриці A, що знаходиться на перетині i-го рядка з j-им стовпчиком, називають i,j-им елементом або (i,j)-им елементом A. Геометричний вектор — у фізиці і математиці це величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком. В фізиці є чимало важливих величин, які є векторами, наприклад сила, положення, швидкість, прискорення, кутовий момент, імпульс, напруженість електричного і магнітного полів. Їх можна протиставити іншим величинам, таким, як маса, об’єм, тиск, температура та густина, які можна описати звичайним числом, їх називають «скалярами». Графічно вектори зображають у вигляді напрямлених відрізків певної довжини
. Наприклад, для графічного представлення сили величиною два Ньютони, треба намалювати відрізок прямої довжиною дві одиниці в напрямку дії сили. Стрілка вказує, що сила діє від точки A до точки B; якби сила діяла від B до A, то треба було б записати
. Чисельне значення вектора А називається модулем чи довжиною і позначається |A|. Ця величина - скаляр. Два паралельних вектори, що мають однакові довжини, але протилежні напрямки, називаються протилежними. Якщо вектор позначено через
, то протилежний йому вектор позначається через
. Вектор, початок і кінець якого збігаються, називається нульовим і позначається
. Два вектора називаються рівними, якщо вони однієї довжини і їх напрямки збігаються. 1.2. Транспонованою матрицею матриці A розмірності m-на-n є матриця Atr (також иноді позначають як AT або tA) розмірності n-на-m, яку одержують заміною рядків стовпчиками і навпаки, себто Atr[i, j] = A[j, i] для всіх індексів i та j. 1.3. Симетричною називають квадратну матрицю, елементи якої симетричні щодо головної діагоналі. Якщо рядки такої матриці зробити стовпцями і навпаки (такий процес називають транспонуванням), то її вигляд не зміниться:
Тобто:
Одинична матриця — квадратна матриця розміру n з одиницями на головній діагоналі та нулями у всіх інших елементах. Зазвичай позначається як I, іноді з індексом, що вказує розмірність: In. Одинична матриця належить до класу діагональних матриць. Діагональна матриця — квадратна матриця, всі недіагональні елементи якої дорівнюють нулю. Більш формально, діагональною називають таку матрицю A, що
. Можна також записати
, де δij - символ Кронекера. Одинична матриця діагональна за визначенням. 1.4. ------------------------------- 1.5. Для двох векторів
і
їх зовнішнім добутком називається антисиметричний тензор з двома індексами:
Величина (1) називається також бівектором. Очевидно, що компоненти цього тензора є сукупністю
мінорів наступної прямокутної
матриці:
Формулу (1) можна узагальнити на більшу кількість співмножників (результуючий антисиметричний тензор має стільки ж індексів m, скільки є співмножників):
Назвемо тензор (2) мультивектором. Компоненти мультивектра є сукупністю
мінорів прямокутної
матриці:
1.6. Лінійно незалежні вектори (лінійна незалежність множини векторів) — множина векторів, які не утворюють нетривіальних лінійних комбінацій рівних нулю. Якщо
лінійний простір над полем
і множина векторів
.Якщо
лінійний простір над полем
і множина векторів
.
називається лінійно незалежною, якщо будь-яка його скінченна підмножина є лінійно незалежною. Скінченна множина
називається лінійно незалежною, якщо лінійна комбінація векторів дорівнює нулю тільки в тривіальному випадку, тобто:
Якщо існує така лінійна комбінація векторів рівна нулю з хоча б одним
, то
називається лінійно залежною. 1.7. Ранг матриці A — це розмірність образа лінійного відображення, представленого матрицею A. Вона співпадає з розмірністю простору, згенерованого рядками матриці A, а також із розміром простору, згенерованого стовпчиками матриці A. Ранг мáтриці (математичний) — щонайвищий з порядків відмінних від нуля мінору цієї матриці. Ранг матриці рівний найбільшому числу лінійно-незалежних рядків (або стовпців) матриці. Ранг матриці не міняється при елементарних перетвореннях матриці (перестановці рядків або стовпців, множенні рядка або стовпця на відмінне від нуля число і при складанні рядків або стовпців). Система лінійних рівнянь має розв'язок тоді і тільки тоді, коли ранг матриці, складеної з коефіцієнтів при невідомих, не змінюється при додаванні до неї стовпця вільних членів. Цей розв'язок єдиний, якщо цей ранг матриці дорівнює кількости невідомих. Ранг
матриці розмірності
називають повним, якщо
. 1.8. ---------------------------- 1.9. Обернена матриця — в невиродженої квадратної матриці
завжди існує обернена матриця, позначається
, така що:
Властивості:

для довільного коефіцієнта



— визначник оберненої матриці. Якщо потрібно розв'язати систему лінійних рівнянь Ax = b, (b — ненульовий вектор) і A − 1 існує, тоді x = A − 1b. В протилежному випадку або розмірність простору розв'язків більше нуля, або їх немає зовсім. Псевдообернена матриця — узагальнення оберненої матриці в математиці, зокрема, в лінійній алгебрі. Матриця, псевдообернена до матриці
позначаєтся як
. Псевдообернена матриця застосовується для знаходження найкращого наближення (методом мінімальних квадратів) розв'язку СЛАР. Визначення Мура
називаєтся псевдооберненою матрицею до матриці
, якщо вона задовільняє наступні критерії: AA + A = A             (AA + чи A + A не обов'язково дорівнюватимуть одиничній матриці); A + AA + = A + ; (AA + ) * = AA +       (це означає, що AA + — ермітова матриця); (A + A) * = A + A       (A + A — також ермітова матриця); де A * - ермітово-спряжена матриця до матриці A. Визначення Мура-Пенроуза через граничний перехід
Ці границі існують, навіть якщо (AA * ) − 1 і (A * A) − 1 не визначені. 1.10. Ортогональність (від грец. ὀρθός — прямий, and грец. γωνία — кут) — термін, яким позначають перпендикулярність векторів. Абстрактне визначення Нехай R — прегільбертів простір. Елементи
,
називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0, тобто
; що позначається
.[1] Множина векторів називається ортогональною якщо довільна пара з цієї множини ортогональна. Якщо всі вектори цієї множини одиничні, то вона називається множиною ортнормованих векторів. Не-нульові ортогональні вектори лінійно незалежні.[2] Якщо для системи векторів
простору R визначник Грамма дорівнює 0, то ці вектори лінійно залежні. Квадратна матриця
з комплексними елементами називається унітарною, якщо
де
— спряжена матриця до матриці

— одинична матриця.Унітарні матриці є частковим випадком нормальних матриць. Властивості:

також є унітарною. Добуток унітарних матриць є унітарною матрицею.
Всі власні значення
по модулю рівні 1. Унітарні матриці з визначником рівним 1 утворюють спеціальну унітарну групу. Унітарна матриця зберігає довжину вектора
1.11. Вла́сний ве́ктор (англ. eigenvector) квадратної матриці
(з вла́сним зна́ченням (англ. eigenvalue)
) — це ненульовий вектор
, для якого виконується співвідношення
де λ це певний скаляр, тобто дійсне або комплексне число. Тобто, власні вектори матриці A — це ненульові вектори, які поводяться найпростішим чином під дією A, а саме, множаться на скаляр λ. Співвідношення (*) має сенс також для лінійного оператора у векторному просторі V. Якщо цей простір — скінченовимірний, то оператор можна записати у вигляді матриці відносно до певного базису V. Оскільки власні вектори і власні значення було означено без застосування координат, вони не залежать від вибору базиса. Тому подібні матриці мають однакові власні значення. 1.12. Нормою у векторному просторі
над полем
дійсних або комплексних чисел будемо називати відображення
що задовольняє наступним умовам:
тільки при
(невід'ємність)
де
— скаляр (однорідність)
(нерівність трикутника) Ці умови також відомі як аксіоми норми. Властивості За допомогою норми
векторний простір V одержує структуру метричного і топологічного нормованого векторного простору. А саме, відстань
Зазначимо, що для будь-яких
виконується d(u + w,v + w) = d(u,v), метрики на векторному просторі V з такою властивостю називаються трансляційно інваріантними. Найважливійший спеціальний випадок — це коли метричний простір V є повним відносно метрики означеної нормою, тобто коли V — повний нормований лінійний простір, або банахів простір. Геометричний зміст норми З геометричної точки зору, задання норми на V — це те й саме, що і задання її одиничної кулі
тобто множини всіх векторів, довжина яких не перевищує одиниці. Одинична куля норми — це випукла підмножина векторного простору V, що містить нульовий вектор
серед своїх внутрішніх точок. 1.13. Сингуля́рний ро́зклад ма́триці (сингулярне представлення матриці чи SVD) — один з важливих методів розкладу (чи діагоналізації) матриці, що застосовується в лінійній алгебрі для обчислення псевдоінверсії, наближення матриці, обчислення рангу матриці та інше. Якщо M — матриця розміру m×n чиї елементи беруться з поля K, що може бути полем дійсних або комплексних чисел. Тоді, невід'ємне дійсне число σ є сингулярним числом для M тоді і тільки тоді, коли існують вектори одиничної довжини u ∈ Km, v ∈ Kn що виконується: Вектори u та v називаються відповідно сингулярним зліва вектором та сингулярним справа вектором для σ. Для матриці M існує наступне представлення, що називається сингулярним розкладом матриці:
де U — унітарна матриця розміру m×m над полем K, V* — ермітове спряження унітарної матриці матриці V розміру n×n над полем K, Σ — діагональна матриця розміру m×n з числами σ на діагоналі, числа σ зазвичай розташовують в спадаючому порядку, тому матриця Σ однозначно визначається матрицею M. Сингулярні числа, для яких існують два і більше лінійно незалежних сингулярних векторів називаються виродженими. Невироджені сингулярні числа мають по одному лівому та правому сингулярному вектору з точністю до множника eiφ (в випадку дійсних чисел з точністю до знака). Властивості Стовпці U та V є сингулярними зліва та сингулярними справа векторами для M відповідно. Кількість ненульових чисел на діагоналі матриці Σ рівне rank Σ = rank M = r, тому можна скоротити матриці U та V до r стовпців, а матрицю Σ до розміру r×r і отримаємо:
SVD існує для всіх прямокутних матриць, на відміну від власних векторів і розкладу по ньому, що існує тільки для деяких квадратних матриць. Використавши формулу SVD для M та M*, отримаємо: 1.14. --------------------------------- 1.15. Добуток Кронекера — бінарна операція над матрицями довільного розміру, позначається
. Результатом є блочна матриця. Добуток Кронекера не слід путати зі звичайним множенням матриць. Операція названа в честь німецького математика Леопольда Кронекера. Якщо A — матриця розміру m×n, B — матриця розміру p×q, тоді добутком Кронекера є блочна матриця розміру mp×nq


Права сторона є розкладом по власних векторах лівої сторони: Квадрати ненульових елементів матриці Σ є власними значеннями для матриць MM * та M * M; Стовпці матриці U є власними векторами матриці MM * ; Стовпці матриці V є власними векторами матриці M * M. Цей же результат можна отримати з визначення сингулярних значень і векторів:
Всі власні значення матриць MM * та M * M є невід'ємними, тому ці матриці є невід'ємноозначеними матрицями (частковий випадок ермітових матриць). 3.1 Дати визначення системі алгебро-диференційних рівнянь в явній формі. 3.2. Описати систему алгебро-диференційних рівнянь в неявній формі. Для всіх моментів часу t
[0;T] є відомими скінченні множини дій з елементами (X
(t)(=[x
(t),x
(t),...,x
(t)], а також відповідних реакцій (Y
(t)(=[y
(t), y
(t),...,y
(t)] (інакше кажучи, для всіх моментів часу t з інтервалу спостереження T математичні описи вхідних та вихідних сигналів схеми відомі). Покладемо, що сигнали
та
узгоджені у часі і для них виконується умова причинності. Припустимо, що для
та
існує оператор
. Визначимо за заданими сигналами схеми x(t), y(t) структуру та параметри її математичної моделі. Розглянемо традиційне для опису нелінійних схем представлення у вигляді алгебро-диференціальних рівнянь у нормальній формі вигляду:
;
, (3.1) де
– дійсні вектор-функції відповідно вхідних сигналів (збурень), параметрів стану та вихідних сигналів (реакцій), а дійсна вектор-функція
є диференційовною за часом
при
. Узагальнимо систему рівнянь (3.1) для опису більш широкого класу систем. Здійснимо це спочатку для випадку автономної системи, тобто при відсутності дій
. Для цього ще раз перепишемо систему (3.1), однак без вектор-функції
, при цьому подамо перше рівняння (3.1) в неявній формі. Тоді система рівнянь (3.1) набуде вигляду
;
, (3.2) з початковими умовами
, де
– дійсна вектор-функція, диференційовна за часом
при
. 3.3. Що таке інтегро-диференційне рівняння? Інтегро-диференційні рівняння – це рівняння, які пов’язують функціональною залежністю диференціали та інтеграли від певних функцій. 3.4. Описати математичну модель у вигляді дискретного рівняння. На практиці для вхідних дій x(t) та вихідних реакцій системи y(t) їх аналітичні вирази можуть бути невідомими, тому такі сигнали можуть задаватись множинами дискретних часових точок. Крім цього, при реалізації процедури побудови математичних моделей на ЕОМ та для розв'язання задач створення цифрових систем формуються дискретні моделі у вигляді різницевих схем. Позначимо дискретні значення дій x(t) та рекцій схеми y(t), визначені у певних рівновіддалених часових точках t
=kh, де k – номер дискрети, h- крок дискретизації по часу, через x(k) та y(k) відповідно. Не порушуючи загальності, вважатимемо, що змінна
приймає лише цілочисельні значення 0,1,2,... Тоді за допомогою існуючих методів від опису (3.9) з певною похибкою можна перейти до її дискретного аналогу - різницевого рівняння виду:
(3.24) де
- скінченні різниці відповідного порядку. 3.5. Оцінки точності побудови математичної моделі. Отримаємо кількісні оцінки ефективності математичних моделей у формі алгебро-диференційних рівнянь. Для цього виконаємо спочатку кількісне порівняння методу побудови математичних моделей у формі алгебро-диференційних рівнянь з методом ідентифікації багатовимірних поліномів розщеплених сигналів та методом моделювання функціональними рядами Вольтерра. Порівняння здійснимо на прикладі ідентифікації моделі квадратичної системи, яка описується співвідношенням виду:
Використаємо в якості дій
сукупність тисячі реалізацій, які містять 64 дискретних відліки випадкових процесів з гаусівським та експоненціальним законами розподілу густини імовірності. При цьому гаусівський закон розподілу має середнє
та відхилення
, а експоненціальний - параметр розподілу
. Обчислимо за заданим співвідношенням дискрети відповідних реакцій системи
. Для відновлення моделі за відомими дискретами дій та реакцій системи сформуємо поліном в дискретній формі (3.19) при умові, що аргументами поліному є дії, реакції системи та їх зсуви
. Обмежившись другою степінню поліному, запишемо наступне неявне різницеве рівняння:
, де

. Коефіцієнти отриманого рівняння визначимо в результаті розв'язання за допомогою методу найменших квадратів апроксимаційної задачі виду:
, де
- дискретне значення вихідного сигналу моделі;
- оператор математичного сподівання. В результаті отримується модель системи у вигляді різницевого рівняння
3.6. Навести результати кількісного порівняння методу побудови математичних моделей у формі алгебро-диференціальних рівнянь з методом ідентифікації багатовимірних поліномів розщеплених сигналів та методом моделювання функціональними рядами Вольтерра. Результати кількісного порівняння побудови моделі у формі різницевого рівняння з методом ідентифікації багатовимірного поліному розщеплених сигналів другого степеня, а також з методом функціональних рядів Вольтерра другого степеня наведені в табл. 3.1, де MSEL, MSEQ та ( - похибки апроксимації лінійної, квадратичної передавальних функцій та різницевого рівняння системи відповідно; N - кількість коефіцієнтів математичних моделей. Значення похибок апроксимації для
дискретних точок
обчислені за виразом: Таблиця 3.1 Результати порівняння Показни- ки порів- няння Гаусівський сигнал Експоненціальний сигнал   Багато-вимірний поліном Функціо-нальний ряд Різницеве рівняння Багато-вимірний поліном Функціо- нальний ряд Різницеве рівняння  MSEL 0.07E-2 0.22E-2 ( 5.29E-2 5.2E-2 (  MSEQ 0.1E-2 1.88E-2 ( 2.33E-2 4.87E-2 (   ( ( ( 8.84E-5 ( ( 3.26E-7   N 246 850 64 264 850 64  
. Як можна побачити з отриманих даних, у випадку різницевого рівняння кількість коефіцієнтів моделі зменшується більше, ніж у 50 разів, а середньоквадратична похибка апроксимації зменшується не менше, ніж на 2 порядки. Отже, за допомогою алгебро-диференціального рівняння у дискретній формі побудова моделі здійснюється точніше, з меншими обчислювальними затратами, ніж іншими методами 3.7. Описати використання для моделювання пакету прикладних програм Matlab. Особливо ефективним є використання мови програмування високого рівня, призначеної для виконання технічних обчислень, Matlab. Отримані при цьому моделі легко інтегруються до бібліотеки Netlib та бібліотеки пакету Matlab. У складі цих бібліотек розроблені моделі можна використовувати та досліджувати при різних формах сигналів як автономно, так і в сукупності з іншими моделями. Високу ефективність дослідження моделей у середовищі Matlab дозволяють забезпечувати спеціалізовані професійні тулбокси (набори інструментальних засобів). Зокрема, за допомогою тулбоксу Simulink конструюються моделі аналогових, дискретних і гібридних динамічних схем та розв'язуються задачі їх аналізу. Введення моделей в Simulink та виконання їх аналізу здійснюється з використанням наступних бібліотек: Sources (джерел сигналів), Sinks (виводу результатів), Continuous (неперервних систем), Discontinuous (розривних систем), Discrete (дискретних систем), Linear (лінійних блоків), Nonlinear (нелінійних блоків), Connections (з'єднань), Functions & Tables (таблично заданих трансцендентних функцій, виразів та функцій), Math (математичних, логічних операцій та операцій відношення), Signals & Systems (систем і підсистем). Числове інтегрування систем звичайних диференціальних рівнянь в Matlab може виконуватись з постійним та змінним кроком. Метод можна вибирати з врахуванням типу моделі (неперервної або дискретної). Якщо модель не містить неперервного часу, програма використовує дискретний режим з фіксованим або змінним кроком. Параметри методів, прийняті за замовчуванням, приводять до швидкого отримання точних результатів при розв'язуванні більшості задач аналізу. Змінивши значення параметрів, можна додатково підвищити швидкість розв'язання задачі. Розв’язування систем лінійних, нелінійних рівнянь, побудова часових характеристик на основі пакету Matlab ефективно виконується за допомогою мови програмування Matlab, аналітично за допомогою тулбоксу Symbolic Math, а також шляхом використання тулбоксу Control System. Для моделювання за допомогою Matlab логіко-динамічних систем із змінною структурою використовується тулбокс Stateflow, а також бібліотеки блоків Simulink. В Stateflow зміна станів системи відображується у вигляді схеми, на якій показуються елементи системи і зв'язки-переходи між ними. Бібліотека Simulink містить набір блоків, призначених для побудови функціональних схем із змінною структурою. Логіко-динамічні системи із змінною структурою Matlab дозволяє моделювати також на основі сіток Петрі. 3.9. Розкрити суть використання для моделювання схемотехнічної САПР Micro-Cap (OrCAD або System View). Аналогові та цифрові моделі зручно досліджувати у середовищах САПР Micro-Cap версій V-VII. Система Micro-Cap призначена для аналізу і статистичних досліджень аналогових та цифрових радіоелектронних пристроїв у режимі постійного струму, в частотній області в режимі малого сигналу, у часовій області при дії вхідних сигналів будь-якої форми та амплітуди, в режимі спектрального аналізу (Фур'є-аналізу), а також статистичного аналізу методом Монте-Карло. Програма дозволяє на основі моделей будувати відповідні структурні схеми з конкретними значеннями параметрів елементів та заносити їх до бібліотеки моделей Micro-Cap. В системі реалізовано графічний ввід схем лінійних та нелінійних аналогових пристроїв, їх моделювання та динамічне відображення графіків різних характеристик. Програма є сумісною з пакетом PSPICE як за моделями компонентів, так і за текстовим описом схем. Система реалізована на платформі Windows, має зручний інтерфейс. Бібліотека моделей компонентів Micro-Cap містить більше 10 тис. аналогових та цифрових електрорадіоелементів ведучих фірм, включаючи найбільш популярні цифрові інтегральні схеми дискретної логіки та аналогові компоненти типу діодів, біполярних, польових та МОП-транзисторів, магнітних сердечників, ліній передачі з втратами, макромоделі операційних підсилювачів, кварцевих резонаторів, давачів Холла та ін. Всі моделі написані у стандартному форматі SPice і можуть використовуватись з програмами моделювання фірм Altium, Cadence, IntoSoft та ін. Макромоделі компонентів представляються у вигляді принципових електричних схем або у текстовому вигляді. Система містить спеціальну програму MODEL для розрахунку параметрів математичних моделей аналогових компонентів за довідковими або експериментальними даними. Максимальний об’єм схеми у професійній версії Micro-Cap 7 досягає 10 тис. вузлів. Є можливість параметричної оптимізації при аналізі перехідних процесів. Існує режим для аналізу нелінійних схем за постійним струмом та візуалізації безпосередньо на схемі вузлових потенціалів, струмів віток та розсіюваної потужності. В режимі багатоваріантного аналізу Micro-Cap допускає одночасну зміну до 10 параметрів і дозволяє будувати графіки залежностей характеристик схеми від зміни параметрів. Передбачена можливість оперативного налагоджування параметрів у режимі за постійним струмом за допомогою повзункових регуляторів без проведення повторного моделювання. Система має засоби синтезу пасивних та активних аналогових фільтрів. До Micro-Cap включено інтерфейс з програмами розробки друкованих плат OrCAD, P-CAD, Protel та ін. Система містить режим аналізу чутливості та передавальних функцій за постійним струмом, режим z-перетворення, давач випадкових чисел, режим анімації при аналізі цифрових пристроїв, режим параметричної оптимізації всіх основних видів аналізу. Для моделювання радіоелектронних систем аналогової, цифрової та аналогово-цифрової обробки сигналів, систем зв’язку, систем автоматичного керування та ін. використовується програма System View. System View є особливо зручною для моделювання аналогових, цифрових та гібридних радіотехнічних систем на рівні функціональних схем. Вона дозволяє створювати функціональні схеми пристроїв та виконувати моделювання пристроїв при дії на них сигналів різної форми та завад. System View дає можливість створювати макромоделі, бібліотеки користувача, написані на мові Сі та моделі, створені у середовищі програми Matlab. Після завершення моделювання цифрового пристрою дані про його структуру можуть бути передані спеціалізованій програмі синтезу ПЛІС фірми Xilinx, а також програмі Core Generator для його подальшої реалізації. Моделювання в System View грунтується на числовому розрахунку перехідних процесів в нелінійних аналогових, цифрових та аналогово-цифрових динамічних системах, які у загальному випадку можуть містити зворотні зв’язки. Бібліотека Source програми містить різноманітний набір джерел детермінованих та випадкових сигналів. Це – гармонічні, аперіодичні сигнали та сигнали, що описуються довільними математичними виразами. Бібліотека операторів Operator містить функціональні елементи, що виконують лінійні перетворення вхідних сигналів. Бібліотека Function містить елементи, які описуються математичними виразами. Програма дозволяє розв’язувати задачі параметричного синтезу лінійних аналогових та цифрових фільтрів.