Теоретичні відомості Цифрова фільтрація даних (сигналів) є одною з основних і найпоширеніших задач цифрової обробки інформації. Під фільтрацією будемо розуміти будь-яке перетворення інформації, в нашому випадку - сигналів, при якому у вхідній послідовності оброблюваних даних цілеспрямовано змінюються певні співвідношення (динамічні або частотні) між різними компонентами цих даних. До основних операцій фільтрації інформації відносять: згладжування; прогнозування; диференціювання; інтегрування; поділ на певні складові; виділення інформаційних (корисних) сигналів; придушення шумів (завад). У загальному випадку терміном цифровий фільтр (ЦФ) називають апаратну або програмну реалізацію математичного алгоритму, входом якого є цифровий сигнал, а виходом – інший цифровий сигнал з певним чином модифікованою формою і/або амплітудною і фазовою характеристикою. Класифікація цифрових фільтрів звичайно базується на функціональних ознаках алгоритмів цифрової фільтрації, відповідно до якого ЦФ підрозділяються на 4 групи: фільтри частотної селекції; оптимальні (квазіоптимальні); адаптивні; евристичні. Відомі методи цифрової обробки даних, які є методами цифрової фільтрації такі як метод згладжування відліків у ковзаючому вікні постійної довжини. Наприклад для лінійного згладжування даних за п’ятьма точками з однаковими ваговими коефіцієнтами використовується формула: yk = 0.2(xk-2+xk-1+xk+xk+1+xk+2). З точки зору цифрової фільтрації це двосторонній симетричний нерекурсивний фільтр: yk =
bn xk-n, bn = 0,2. Фільтрація зображень в часовій (просторовій) області В часовій і просторовій області процес фільтрації сигналів описується рівнянням одновимірної згортки:
, де: 
- вихідний сигнал;
 вхідний сигнал;
 імпульсна характеристика фільтру. Фільтрація зображень в часовій області зводиться до двовимірної лінійної згортки:
, де: 
- вхідне зображення;
- фільтроване зображення;
- імпульсна характеристика фільтру (маска, що визначає вид фільтрації);
- розмір зображення,

;
- розмір вікна фільтрації (апертури);
,
. Очевидно, що процес фільтрації – це послідовне обчислення згортки обраної маски з «вікном» (частиною) зображення. Елементи вікна, розташовані в області точки для якої обчислюється згортка. Таким чином, маска фільтру, її ще називають апертурою, «пробігає» всі елементи зображення, утворюючи вихідне зображення. Маски для низькочастотної та високочастотної фільтрації визначають тип фільтрації. Низькочастотна фільтрація забезпечує згладжування шуму, тобто усунення високочастотних складових. Вона досягається за рахунок використання масок з додатними елементами. Прикладом таких масок можуть бути наступні масиви, що мають розмір
точки. Зауважимо, що для того, щоб процедура пригашення шуму не приводила до зміщення середньої яскравості зображення ці масиви є нормованими.
;
;
. Для високочастотної фільтрації можна навести такі маски:
;
;
Особливістю таких апертур є те, що алгебраїчно сума елементів кожної з них дорівнює одиниці. Використання високочастотних масок приводить до виділення границь об’єктів, тому може бути використана, наприклад, маска Роберта, різницевий оператор Собеля, Кірша. Широке поширення набули методи контрастування (один з випадків високочастотної - фільтрації), в яких використовується оператор Лапласа. На практиці він заміняється згорткою зображення з однією з масок:
;
;
. Алгоритми лінійної фільтрації Виконувати лінійну фільтрацію двовимірних масивів (зображень) можна звикористанням алгоритмів, що приводяться нижче. Перший з них реалізовує процес безпосередньо за формулою згортки, а другий – зменшує необхідний об’єм пам’яті, що може суттєво впливати на швидкість обробки при великих розмірах вхідного зображення. В обох із запропонованих алгоритмів, границі зображень обробляються без фільтрації, тобто у вихідній матриці елементи крайніх рядків та стовпців співпадають з вхідними. Такий вид обробки найбільш прийнятний для тестових прикладів, хоча в реальних системах використовуються методи копіювання сусідів, або інші, складніші алгоритми доповнення. Алгоритм 1. Прямий. 1. Перший і останній рядки (верхня і нижня границі зображення) for (p = 0; p < M; p++) for (q = 0; q < Q; q++) { g[p, q]=x[p, q]; g[P-1-p, q]=x[P-1-p, q]}; 2. Решта рядків for (p = M; p < P - M; p++) { 2.1. Перші і останні M елементів рядка (ліва і права границі зображення) for (q=0; q < M; q++ ) { g[p, q]=x[p, q]; g[p, Q-1-q]=x[p,Q-1-q] }; 2.2. Решта елементів (основне перетворення) for (q=M; q < Q - M; q++ ) { Sum=0.0; for (i = - M; i < = M; i++ ) for (j = -M; j < = M; j++ ) Sum = Sum +h [i,j] * x[i+p,j+q]; g[p,q] = Sum; } } Алгоритм 2. Прямий, з мінімізацією необхідної пам’яті. 1. Ініціалізація додаткавої матриці xtemp[p, q] , розміру ( M+1) x Q for (p = 0; p <= M; p++) for (q = 0; q < Q; q++) xtemp[p, q]=x[p, q]; 2. Фільтрація for (p = M; p < P - M; p++) {for (q=M; q < Q - M; q++ ) { Sum=0.0; for (j = -M; j < = M; j++ ) {for (i = 1; i < = M; i++ ) Sum = Sum +h [i,j] * x[i+p,j+q]; for (i = -M; i < 1; i++ ) Sum = Sum +h[i,j] * xtemp[i+M,j+q]; } g[p,q] = Sum; } Модифікація матриці xtemp for (i = 1; q < M; q++) for (q = 0; q < Q; q++) xtemp[i-1, q]= xtemp[i, q]; for (q = 0; q < Q; q++) xtemp[M, q]= x[p+1, q]; } Приклад Виконати фільтрацію вхідного зображення та зробити висновок про властивості фільтра із заданою імпульсною характеристикою. Виконання: Для розв’язання поставленого завдання, обираємо перший алгоритм лінійної фільтрації, оскільки він є найбільш простим для реалізації і створюємо програму в середовищі MatLab. При цьому вхідне зображення подається у стандартному двійковому форматі (.raw), який опрацьовується стандартними засобами обраного пакету. В даному випадку тестовим є типове в практиці цифрової обробки сигналів, чорно-біле зображення “Lenna”, розмір якого 256 на 256 пікселів. Фільтрація виконується за граф-схемою, яка наведена на рис. 1. Повний текст програми, що реалізовує дану граф-схему обробки наведений в Додатку. Для того, щоб утворити вхідну матрицю, розроблено власну підпрограму <readim.m>, що дозволяє зчитати зображення у форматі .raw, переконатися у коректності відкриття/існування файлу, та присвоїти відповідні значення елементам матриці. Результатом роботи створеного програмного засобу є матриця, що містить елементи фільтрованого зображення. За допомогою розробленої підпрограми графічного виводу <autoimage.m>, ця матриця відображається як чорно-біле зображення, розміром 256 на 256 пікселів.
Блок-схема 1. Алгоритм лінійної фільтрації зображення.
Малюнок 1. Виконання програми.
Малюнок 2. Зображення, отримане в результаті застосування фільтру <filtr.m> clc clear all close all echo off x = readim('Hlynka.raw',[256,256]); subplot(111); title('in'); autoimage(x); P=256; Q=256; h=[-1 -1 -1;-1 -9 -1;-1 -1-1]; % задання імпульсної характеристики фільтру M=length(h); %1. Перший і останній рядки (верхня і нижня границі зображення) for p=1:1:M for q=1:1:Q g(p, q)=x(p, q); g(P-p, q)=x(P-p, q) ; end; end; %2. Решта рядків for p=M:1: P - M; %2.1. Перші і останні M елементів рядка (ліва і права границі зображення) for q=1:1:M g(p, q)=x(p, q); g(p, Q-q)=x(p,Q-q); end; % 2.2. Решта елементів (основне перетворення) for q=M:1: Q - M SUM=0.0; for ii =1:1: M; for jj = 1:1: M; SUM = SUM +h ( ii,jj) * x( (ii-round(M/2))+p,(jj-round(M/2))+q); end; end; g(p,q) = SUM; end end figure(2) subplot(111); title('out'); autoimage(g); <readim.m> function Image = readim(filename,par) fid = fopen(filename,'r'); if fid < 0, disp('Error reading.'); else Image = fread(fid,par); fclose(fid); end end <autoimage.m> function autoimage(img) mmin = min(min(img)); mmax = max(max(img)); image(256*(img-mmin)/(mmax-mmin)) axis('image') colormap(gray(256)) Висновок: Після виконання даної лабораторної роботи вдалося проілюструвати процес фільтрації зображення в просторовій області. А також познайомитися з методами та засобами фільтрації зображення.