Міністерство освіти та науки України Національний університет «Львівська політехніка» Кафедра автоматизованих систем управління
Звіт про виконання лабораторної роботи №1 з курсу МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМ на тему: “Ідентифікація законів розподілу та оцінювання параметрів вибіркових даних при моделюванні випадкових процесів”  Мета роботи: вивчення методів ідентифікації характеристик випадкових величин та процесів при статистичному моделюванні систем. Теоретичні положення Точкове оцінювання математичного сподівання та дисперсії Точкові оцінки являють собою числа, отримані шляхом підстановки значень вибірки
у формулу для оцінюваного параметру. Математичне сподівання mx та дисперсію
оцінюють за допомогою співвідношень:

Інтервальне оцінювання математичного сподівання та дисперсії Точкові оцінки параметрів не дозволяють оцінити, наскільки близька оцінка
до відповідного значення теоретичного параметру g. Більш інформативний спосіб полягає в побудові інтервалу, в якому з заданою достовірністю виявиться оцінюваний параметр, тобто в визначенні інтервальної оцінки параметру g. Інтервальною оцінкою параметру g називається інтервал, межі якого l1 та l2 являють собою функції значень вибірки
і який з заданою ймовірністю Р накриває оцінюваний параметр:
Інтервал
називається довірчим, а його межі l1 та l2 - випадкові величини - нижня та верхня довірчі межі відповідно. Р називається довірчяою ймовірністю, а величина α=1-P - рівнем значимості, який використовується при побудові довірчого інтервалу. Таким чином інтервальна оцінка характеризується шириною довірчого інтервалу L=l2-l1 та довірчою ймовірністю Р, яка характеризує степінь надійності результатів. Побудова гістограми Гiстограма
являє собою емпіричний аналог функції густини закону розподілу f(x). Побудова гістограми відбувається наступним чином: Визначаємо попередню кількість інтервалів розбиття осі ординат К за формулою
заокруглюючи отримане число до найближчого більшого цілого. Визначаємо довжину інтервалів за формулою (x = (xmax - xmin)/K Для зручності обчислень значення можна дещо скоректувати. Середину області зміни вибірки приймаємо як центр деякого інтервалу (xmax - xmin)/2, після чого знаходимо межі та остаточну кількість інтервалів таким чином, щоб вони в сукупності перекривали цілу область від xmin до xmax. Підраховуємо кількість спостережень Nm, які потрапляють в кожен інтервал: Nm дорівнює числу членів варіаційного ряду, для яких справедлива нерівність xm ( xi ( xm + (x, де xm , xm + (x - межі т-го інтервалу. Значення xi, які потрапляють на межу між т-м та (т-1)м інтервалами, відносимо до т - го інтервалу. Підраховуємо відносну кількість спостережень Nm/N, які потрапляють в даний інтервал. Будуємо гістограму, яка являє собою криву зі сходинок, значення якої на т-му інтервалі (xm, xm + (x) постійне та дорівнює Nm/N. Стандартний метод моделювання неперервної випадкової величини (метод Монте-Карло) Загальний розподіл дійсної випадкової величини ξ описується в термінах інтегральної функції закону розподілу F(x) = Pξ(ξ≤x) - ймовірність того, що випадкова величина ξ прийме значення (x. F(x) - монотонно неспадна функція, межі зміни якої від 0 до 1 (F(-()=0, F(+()=1). Загальний спосіб генерації випадкової величини ξ з функцією F(x), яка має обернену функцію F-1, полягає в тому, що реалізацію випадкової величини ξ обчислюють за формулою
, де y - рівномірно розподілене в інтервалі (0,1) число. Методи моделювання нормально розподілених випадкових величин Модифікація метода полярних координат дозволяє отримати дві незалежних нормально розподілених випадкових величини. Генерація проводиться за допомогою наступного алгоритму: І. Згенерувати два рівномірно розподілених в інтервалі (0,1) випадкових числа (1 та (2. Обчислити
. 2. Обчислити
. 3. Якщо S(1 то перейти до кроку 1. 4. Обчислити два значення нормально розподілених випадкових величин з параметрам...