Міністерство освіти і науки,молоді та спорту України Національний університет «Львівська політехніка» Кафедра ІВТ Розрахункова робота з курсу : «Комп’ютерне опрацювання вимірювальної інформації» на тему: «Комплексна частотна характеристика. Дослідження методом Монте-Карло» Варіант – 1  ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ Комплексну частотну характеристику лінійної стаціонарної динамічної системи можна отримати у вигляді прямого перетворення Фур’є вхідного та вихідного сигналів, взявши їх відношення. Нехай маємо вхідний сигнал x(t) та вихідний сигнал y(t). Потрібно знайти комплексну частотну характеристику
, де
- уявна одиниця (рис.7.1).
Візьмемо перетворення Фур’є від вхідного та вихідного сигналів:
, (7.1(
, (7.2( Тоді, комплексна частотна характеристика за означенням дорівнюватиме
. (7.3( Вираз для комплексної частотної характеристики можна також отримати, використавши перетворення Лапласа. Зображенням Лапласа функції х(t) дійсного аргумента t називається функція комплексного аргумента p=s+jτ, яка вираховується за формулою:
, (7.4( Властивості перетворення Лапласа Якщо дві функції f1(t) та f2(t) мають одне і теж зображення F(p) - f1(t)↔F(p), f2(t)↔F(p) то f1(t) = f2(t). Якщо f1(t)↔F1(p), a f2(t)↔F2(p) то лінійніq комбінаціїq af1(t)+bf2(t)↔aF1(p)+ bF2(p), що є наслідком лінійності інтегралу. Таблиці оригіналів та зображень Лапласа можна знайти у математичних довідниках. Якщо знайти зображення Лапласа вхідного та вихідного сигналів, взяти їх відношення та провести заміну комплексного аргумента p на
то отримаємо комплексну частотну характеристику. Комплексну частотну характеристику можна подати в алгебраїчній
, (7.5( тригонометричній
(7.6( та полярній
(7.7( формах. Дійсна та уявна частина комплексної частотної характеристики виходячи з (7.5( та (7.6( дорівнюють
(7.8( а геометричне представлення подано на рис.7.2.
Найбільш широко на практиці використовуються дві характеристики – амплітудно-частотна характеристика
, (7.9( та фазо-частотна характеристика.
. (7.10( Дані характеристики можна отримати безпосередньо з комплексної частотної характеристики. Наприклад, отримано наступний вираз комплексної частотної характеристики:
, (7.11( Домножимо чисельник та знаменник у (7.11( на комплексно спряжений вираз і згрупуємо елементи, отримавши дійсну та уявну частини комплексної частотної характеристики

, (7.12( Тоді, підставивши у вирази (7.9( та (7.10( значення
, отримані в (7.12(, знаходимо амплітудно-частотну характеристику
(7.13( та фазо-частотну характеристику
. (7.14( Якщо вираз комплексної частотної характеристики простий то отримати амплітудно-частотну та фазо-частотну характеристику легко. Проте бувають випадки, коли маємо складний вираз. У такому випадку можна не шукати математичні залежності для амплітудно-частотної та фазо-частотної характеристик, а скористатися наступним алгоритмом з використанням комплексного числення: Задаємо крок зміни кругової частоти

. (7.15( де
- максимальна частота,
- мінімальна частота,
- кількість розбиттів у діапазоні частот. 2. Знаходимо біжуче значення кругової частоти

. (7.16( 3. Шукаємо значення комплексного числа Ki для кругової частоти

, (7.17( 4. Рахуємо дійсну та уявну частини комплексного числа Ki
, (7.18( 5. Шукаємо значення амплітудно-частотної характеристики для кругової частоти

, (7.19( 6. Шукаємо значення фазо-частотної характеристики для кругової частоти

. (7.20( Повторивши пункти 2-6
разів отримуємо дискретні значення амплітудно-частотної та фазо-частотної характеристик з кроком
, які графічно можна вивести на монітор комп’ютера. Для дослідження похибок перетворення амплітудно-частотної характеристики в залежності від точності виготовлення елементів електронних схем можна використати метод Монте-Карло, який дозволяє досліджувати математичні моделі об’єктів, використовуючи математичний апарат статистичного аналізу випадкових процесів та величин. Якщо отримано д...