МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА» / Звіт до лабораторної роботи № 6 з курсу: «Методи синтезу та оптимізації» на тему: «Методи умовної оптимізації»  Мета роботи: навчитися використовувати методи умовної оптимізації при знаходженні екстремумів функцій багатьох змінних з обмеженнями. 1.Короткі теоретичні відомості: Критерії оптимальності в задачах з обмеженнями У методичних вказівках до лабораторної роботи № 4 було розглянуто необхідні і достатні умови оптимальності рішень оптимизаційних задач без обмежень. Однак ряд інженерних задач пов'язаний з оптимізацією при наявності деякої кількості обмежень на керовані змінні. Такі обмеження істотно зменшують розміри області, у якій проводиться пошук оптимуму. На перший погляд може здаатися, що зменшення розмірів доустимої області повинне спростити процедуру пошуку оптимуму. Тим часом, навпаки, процес оптимізації стає більш складним, оскільки установлені вище критерії оптимальності не можна використовувати при наявності обмежень. При цьому може порушуватися навіть основна умова, відповідно до якого оптимум повинний досягатися в стаціонарній точці, що характеризується нульовим градієнтом. Наприклад, безумовний мінімум функції f(x)=(x—2)2 має місце в стаціонарній точці х=2. Але якщо задача мінімізації розв’язується з урахуванням обмеження х>4, то буде знайдений умовний мінімум, якому відповідає точка х=4. Ця точка не є стаціонарною точкою функції f, тому що f’(4)=4. Нижче досліджуються необхідні і достатні умови оптимальності рішень задач з обмеженнями. Виклад починається з розгляду, задач оптимізації, що містять тільки обмеження у виді рівностей. Задачі з обмеженнями у виді рівностей Розглянемо загальну задачу оптимізації, що містить декілька обмежень у виді рівностей: мінімізувати
при обмеженнях .
. (1) Ця задача в принципі може бути вирішена як задача безумовної оптимізації, отримана шляхом виключення з цільової функції
незалежних змінних за допомогою заданих рівностей. Наявність обмежень у виді рівностей фактично дозволяє зменшити розмірність вихідної задачі з N до N-K. Оскільки при цьому виникає задача безумовної оптимізації, то для ідентифікації точки оптимуму можна використовувати методи для оптимізації без обмежень. Умови Куна-Таккера У попередньому розділі було встановлено, що множники Лагранжа можна використовувати при побудові критеріїв оптимальності для задач оптимізації з обмеженнями у виді рівностей. Кун і Таккер узагальнили цей підхід на випадок загальної задачі нелінійного програмування з обмеженнями як у виді рівностей, так і у виді нерівностей. Розглянемо наступну загальну задачу нелінійного програмування мінімізувати f(x) (2) при обмеженнях
, (3)
. (4) Обмеження у виді нерівності
називається активним чи зв’язуючим у точці х, якщо g}(x)=0, і неактивним, чи незв’язуючим, якщо
. Якщо існує можливість знайти обмеження, що неактивні в точці оптимуму, до безпосереднього рішення задачі, то ці обмеження можна виключити з моделі і тим самим зменшити її розмірність. Основні труднощі полягають при цьому в ідентифікації неактивних обмежень, що передує рішенню задачі. Кун і Таккер побудували необхідні і достатні умови оптимальності для задач нелінійного програмування, виходячи з припущення про диференційованість функцій
,
і
. Ці умови оптимальності, широко відомі як умови Куна-Таккера, можна сформулювати у виді задачі знаходження рішення деякої системи нелінійних рівнянь і нерівностей, чи, як іноді говорять, задачі Куна-Таккера. 2.Індивідуальне завдання: (Варіант 13). Розв’язати задачу умовної багатопараметричної оптимізації для функції двох змінних
з наступними обмеженнями:
3.Результат виконання: Записую функцію Лагранжа: L(X,v) = 3*x12-x1*x2+x2*x2-23*x1-9*x2+10-v1*(-(x1*x1-x2-15))+v2*(-(7*x1-x2-27)) Складаю систему рівнянь з часткових похідних: ∂L/∂x1 = -23-x2-7*v2+6*x1+2*v1*x1 = 0∂L/∂x2 = -9+v2-v1-x1+2*x2 = 0∂L/∂v1 = x1*x1-x2-15 = 0 (X10)∂L/∂v2 = 7*x1-x2-27 = 0 (X20)v1 ≥ 0; v...