МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ НУ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА» Кафедра ЕОМ
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №3 з предмету “ Паралельні та розподілені обчислення ” на тему: “ ПАРАЛЕЛЬНІ АЛГОРИТМИ МНОЖЕННЯ МАТРИЦІ НА ВЕКТОР ” Варіант №19  Львів 2017 Мета. Ознайомитись з методами організації паралельного множення матриці на вектор та розробити паралельну програму з використанням технології MPI. ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ Матриці та операції над ними широко використовуються при математичному моделюванні найрізноманітніших процесів, явищ і систем. Матричні обчислення складають основу багатьох наукових і інженерних розрахунків. Враховуючи важливість ефективного виконання матричних обчислень багато стандартних бібліотек програм містять процедури для різних матричних операцій. Об'єм програмного забезпечення для операцій над матрицями постійно збільшується - розробляються нові оптимальні структури даних для зберігання матриць спеціального типу (трикутних, стрічкових, розріджених тощо), створюються різні високоефективні машинно-залежні реалізації алгоритмів, проводяться теоретичні дослідження для пошуку швидших методів матричних обчислень. Будучи обчислювально трудомісткими, матричні обчислення є класичною областю застосування паралельних обчислень. З одного боку, використання високопродуктивних багатопроцесорних систем дозволяє істотно підвищити складність завдань, які розв’язуються. З іншого боку, через своє достатньо просте формулювання матричні операції надають прекрасну можливість для демонстрації багатьох прийомів і методів паралельного програмування. У даній лабораторній роботі аналізуються методи паралельних обчислень для операції векторно-матричного множення. 1. Принципи розпаралелювання Для багатьох методів матричних обчислень характерним є повторення одних і тих же операцій для різних даних. Дана властивість свідчить про наявність паралелізму за даними при виконанні матричних обчислень, і, як результат, розпаралелювання матричних операцій зводиться, в більшості випадків, до розбиття оброблюваних матриць між процесорами використовуваної обчислювальної системи. Вибір способу поділу матриць приводить до визначення конкретного методу паралельних обчислень; існування різних схем розподілу даних породжує ряд паралельних алгоритмів матричних обчислень. Найбільш загальні і широко використовувані способи поділу матриць полягають в розбитті даних на смуги (по вертикалі або горизонталі) або на прямокутні фрагменти (блоки). 1.2. Блокове розбиття матриці. При блоковому (chessboard block) розбитті матриця ділиться на прямокутні набори. Хай кількість процесорів складає p = s·q, кількість рядків матриці є кратним s, а кількість стовпців - кратним q, тобто m = k·s і n = l·q. Представимо початкову матрицю A у вигляді набору прямокутних блоків таким чином (3):
(3) де Aij - блок матриці, що складається з елементів:
(4) При такому підході доцільно, щоб обчислювальна система мала фізичну або, принаймні, логічну топологію процесорних граток з s рядків і q стовпців. При такому розбитті даних, сусідні в структурі граток процесори, обробляють суміжні блоки початкової матриці. Треба зазначити, що і для блокової схеми може бути застосоване циклічне чергування рядків і стовпців. У лабораторній роботі розглядаються три паралельні алгоритми для множення квадратної матриці на вектор. Кожен підхід заснований на різному типі розбиття початкових даних (елементів матриці і вектора) між процесорами. Розбиття даних міняє схему взаємодії процесорів, тому кожен з представлених методів істотним чином відрізняється від решти.
а) б) в) Рис. 1. Способи розбиття елементів матриці між процесорами обчислювальної системи На рис. 1 схематично неведені способи розбиття матриць між процесорами: а) горизонтальне розбиття, б) вертикальне розбиття та в) блокове розбиття матриці. 2. Постановка задачі В результаті перемноження матриці А розмірності m х n і вектора b, що складається з n елементів, отримує...