МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
МЕТОД ГАУССА ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ
ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
Методичні вказівки
до лабораторної роботи № 2
з курсу
"Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем"
для студентів спеціальності 125 «Кібербезпека»
"
Затверджено
на засіданні кафедри
«Безпека інформаційних
технологій»
Протокол № 13 від 15.05.2018р.
Львів – 2018
Метод Гаусса для розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь: Методичні вказівки до лабораторної роботи №2 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем " для студентів спеціальності 125 «Кібербезпека» / Укл.: Л.В. Мороз, А.Я. Горпенюк, Н.М. Лужецька - Львів: Видавництво НУ“ЛП”, 2018.- 14 с.
Укладачі: Л.В. Мороз, к.т.н., доц.
А.Я. Горпенюк, к.т.н., доц.
Н.М. Лужецька, асист.
Відповідальний за випуск: В.М. Максимович, д.т.н., проф.
Рецензент: В.А. Мельник, д.т.н., проф.
І.М. Журавель, к.т.н., доц.
Мета роботи – ознайомлення з прямими методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
Методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Нехай задано систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
,
де А – квадратна невироджена матриця розмірності , X – вектор-стовпець невідомих розмірності n, В – вектор-стовпець вільних членів розмірності n.
Методи розв’язування систем такого виду поділяються на дві групи : прямі та ітераційні.
1) Прямі методи зводяться до скінчених алгоритмів для обчислення коренів рівнянь (тобто розв’язки шукають за певними формулами). Вони дають розв’язки після виконання відомого для даного n (n – порядок системи) числа арифметичних операцій.
Іншими словами, прямими методом розв’язування лінійної системи називають будь-який метод, котрий дозволяє знайти елементи вектора X з допомогою скінченого числа елементарних математичних операцій: додавання, віднімання, ділення, множення, та, можливо, кореня квадратного.
Оцінити ефективність будь-якого методу можна за допомогою таких основних характеристик:
числа операцій, необхідних для реалізації даного методу;
об’єму пам’яті;
чутливості до переносу похибок заокруглення (або обчислювальної стійкості).
Практично всі прямі методи розв’язування систем базуються на зведені матриці А до матриці простішої структури – діагональної (тоді розв’язок очевидний) або трикутної, та методів розв’язування таких систем.
До групи прямих методів розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь належать:
– метод Гаусса та його різновиди:
а) класичний метод Гаусса із зведенням матриці А до верхньої трикутної матриці і одержанням розв’язків з допомогою обернених підстановок. Число операцій (вартість методу) – операцій додавання, множення та операцій ділення (можна ними знехтувати в порівнянні з ).
б) метод Гаусса з вибором головного елемента (частковим або повним). Число арифметичних операцій при цьому складає ~ додавань та ~ множень.
Повна вартість методу в основному визначається вартістю зведення матриці А до трикутного вигляду, оскільки вартість розв’язку вже самої трикутної системи незначна в порівнянні з вартістю зведення матриці до трикутного вигляду.
– LU-розклад (lower-upper –нижній-верхній)
Якщо використовувати алгоритм Краута, то число операцій складе .
З точки зору об’єму обчислень метод LU- розкладу еквівалентний методу Гаусса з частковим вибором головного елемента; його переваги – це можливість роботи з різними векторами вільних членів В та з транспонованими матрицями (розв’язок рівняння знаходиться за тим же LU-розкладом).
– метод (схема) Халецького.
При розкладі симетричних матриць можна зменшити число операцій і необхідний об’єм пам’яті. Повна вартість методу Халецького складає половину вартості методу Гаусса + n обчислень квадратного кореня. Метод чисельно стійкий.
– метод Жордана (роблять діагональну матрицю замість трикутної). Метод рідко використовується на практиці.
До прямих методів відносяться також методи для кліткових та розріджених матриць.
2) Ітераційні (а...
