Міністерство освіти і науки Національний університет «Львівська політехніка» Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій Кафедра автоматизованих систем управління / Лабораторна робота №8 з дисципліни «Математичні методи дослідження операцій» на тему «Класичні методи оптимізації»  Львів 2018 Лабораторна робота №8 Класичні методи оптимізації: основні методи їх розв’язку та аналізу Мета роботи: закріпити навики дослідження функцій з використанням класичних методів оптимізації. 1. Теоретичні відомості Лабораторна робота базується на лекційному матеріалі з курсів “Математичні методи дослідження операцій” (ММДО) і “Методи оптимізації та дослідження операцій” (МОДО), “Математичного аналізу”, задачах, методах і алгоритмах, наведених у відповідних збірниках і довідниках. Приклади розв’язування окремих задач Приклад 1. Дослідити на екстремум функцію y = x3 – 3x + 5. Розв’язування. Похідна даної функції має вигляд: y′ = 3х2 – 3 = 3 (х +1) (х –1). Оскільки похідна існує при всіх значеннях аргументу, то точками екстремуму можуть бути лише корені рівняння (х + 1) (х –1) = 0; корені цього рівняння: –1 і 1. Похідна y′ > 0 для всіх х < –1 і для всіх х >1, а для всіх х, які задовольняють –1< х <1, похідна y′ < 0. Тому робимо висновок: точки х = – 1 і х = 1 є точками відповідно максимуму та мінімуму функції y = x3 – 3x + 5. Приклад 2. Дослідити на екстремум функцію y =

Розв’язувння. Якщо х ≠ 0, то маємо:
Отже,


Тому в усіх точках х ≠ 0 похідна функції y =
має вигляд:
У точці х = 0 дана функція не має похідної. Справді, маємо:

і, отже, не існує границі
, коли
. Функція y =
може мати екстремум лише в точці х = 0. З виразу для похідної бачимо, що вона від’ємна в усіх точках x < 0 і додатна в усіх точках x > 0, тому точка х = 0 – точка мінімуму функції y =
Отже, екстремум (мінімум) розглядуваної функції дорівнює нулю. Приклад 3. Знайти найменше та найбільше значення функції у = 2х3 – 3х2 – 12х + 6, х
[– 3; 1]. Розв’язувння. Досліджувана функція є неперервною на відрізку [–3; 1] і диференційовною в інтервалі (– 3; 1) (як многочлен). Її похідною буде y′ = 6х2 – 6х – 12. Рівняння 6х2 – 6х – 12 = 0 має корені х = – 1 і х = 2. Знаходимо у ( – 1) = 13. Точка х = 2 не належить відрізку [–3; 1], тому значення функції y в цій точці нас не цікавить. Обчислюємо у ( –3) = – 39 і у (1) = – 7. Залишилося вибрати найменше і найбільше серед чисел у ( – 3) = – 39, у ( – 1) = 13 і у (1) = – 7. Бачимо, що найменшого значення досліджувана функція у набуває в точці – 3 і воно дорівнює – 39, а найбільшого – в точці – 1 і воно дорівнює 13. Коротко це прийнято записувати так:
Приклад 4. Знайти найменше і найбільше значення функції y =
, х
[–1; 2]. Розв’язування. Скориставшись розв’язком прикладу 2, маємо:
Приклад 5. Дослідити на найменше значення функцію у = х3 – 10х2 – 2, х
(0; 10). Розв’язування. Ця функція не належить до класу функцій, для якого ми маємо алгоритм знаходження найменшого значення. Тому спочатку знайдемо найменше значення функції у = х3 – 10х2 – 2, х
[0; 10]. Вона неперервна на відрізку [0; 10] і диференційовна в інтервалі (0; 10) (як многочлен). Її похідна y′ = 3х2 – 20х. Єдиним розв’язком рівняння 3х2 – 20х = 0, який належить інтервалу (0; 10), є х =
. Знаходимо
=
. Обчислюємо у(0) = – 2 і у (10) = – 2. Отже, функція у = х3 – 10х2 – 2, х
[0; 10] має
. Очевидно, що знайдене найменше значення буде і найменшим значенням функції у = х3 – 10х2 – 2, х
(0; 10), оскільки точка х =
— внутрішня точка відрізку [0; 10]. Індивідуальне завдання: Варіант 57 Серед усіх трикутників із спільною стороною а і периметром 2р знайти той, що має найбільшу площу. Роз`язання задачi Площа трикутника обраховується за формулою Герона: