Практичне заняття №1. Тема: Числові послідовності. Числові множини. Границя числової послідовності. Контрольні запитання (усне опитування) 1.Що називається множиною? 2.Що таке підмножини? 3.Які множини називаються рівними? 4.Назвати операції над множинами та охарактеризувати їх. 5.Що називається числовою множиною? Навести приклади. 6.Які ви знаєте точкові множини? 7.Що називається числовою послідовністю? 8.Дайте означення границі числової послідовності. 9.Сформулюйте основні теореми про послідовності. 10.Які існують невизначеності? Розв’язування вправ: 1. Екзамен з математики складали 250 абітурієнтів. Оцінки нижче «5» отримали 180 чоловік, а склали цей екзамен 210 осіб. Скільки чоловік отримали «3» і «4». Розв’язання: A-множина абітурієнтів, що склали екзамен, B- множина тих, хто склав екзамен нижче «5», m(A)-число всіх елементів m(A)=210, m(B)=180, m(A∪B)=250 Абітурієнти, що отримали «3» і «4»- A∩B m(A∩B)== m(A)+m(B)-m(A∪B)=210+180-250=140 2. Знайти загальний член послідовності 1,4,9,16,25… x n = n 2 3. Написати перші 10 членів послідовності, якщо її загальний член x n = n n+2 x 1 = 1 1+2 = 1 3 ; x 2 = 2 2+2 = 2 4 = 1 2 ; x 3 = 3 3+2 = 3 5 ; x 4 = 4 4+2 = 4 6 = 2 3 ; x 5 = 5 5+2 = 5 7 ; x 6 = 6 6+2 = 6 8 = 3 4 ; x 7 = 7 7+2 = 7 79 ; x 8 = 8 8+2 = 8 10 = 4 5 ; x 9 = 9 9+2 = 9 11 ; x 10 = 10 10+2 = 10 12 ; 4. За даними першими членами послідовності написати її загальний член: а) 6 7 , 9 10 , 14 15 , 21 22 , 30 31 x n = n 2 +5 n 2 +6 , в чисельнику квадрат номера+5,в знаменнику квадрат номера+6. б) 1 3 , 1 6 , 1 9 , 1 12 , 1 15 x n = 1 3n а) 3 5 , 7 8 , 11 11 , 15 14 , 19 17 x n = 4n−1 3n+2 5. Довести, що послідовність із загальним членом x n = n 2n+1 монотонно зростаюча. Знайдемо x n+1 : x n+1 = n+1 2 n+1 +1 = n+1 2n+3 . Зрівняємо x n і x n+1 .Для цього зведемо ці дроби до спільного знаменника (2n+1)(2n+3) x n = n(2n+3) (2n+1)(2n+3) = 2 n 2 +3n (2n+1)(2n+3) ; x n+1 = (n+1)(2n+1) (2n+1)(2n+3) = 2 n 2 +2n+n+1 (2n+1)(2n+3) = 2 n 2 +3n+1 (2n+1)(2n+3) 2 n 2 +3n (2n+1)(2n+3) < 2 n 2 +3n+1 (2n+1)(2n+3) ; x n < x n+1 , отже дана послідовність монотонно зростаюча. 6. Довести, що послідовність із загальним членом x n = n 4n−3 монотонно спадна. Знайдемо x n+1 : x n+1 = n+1 4 n+1 −3 = n+1 4n+4−3 = n+1 4n+1 . Зрівняємо x n і x n+1 .Для цього зведемо ці дроби до спільного знаменника (4n+1)(4n-3) x n = n(4n+1) (4n+1)(4n−3) = 4 n 2 +n (4n+1)(4n−3) ; x n+1 = (n+1)(4n−3) (4n+1)(4n−3) = 4 n 2 +n−3 (4n+1)(4n−3) 4 n 2 +n (4n+1)(4n−3) > 4 n 2 +n−3 (4n+1)(4n−3) ; x n > x n+1 ,отже дана послідовність монотонно спадна. Теореми про граничний перехід 1) lim n→∞ ( x n