Міністерство освіти і науки України Національний університет „Львівська політехніка” Кафедра електронних обчислювальних машин Звіт про виконання лабораторної роботи № 3 з курсу „ Обробка сигналів ” Тема: Перевірка систем функцій на ортогональність і нормованість Мета роботи: Дослідити систему функцій на ортогональність. Зробити висновок про можливість нормування. Завдання Варіант Інтервал дослідження Ф1 Ф2  9 [0;2*pi] A1* sin (32*t) A2*cos(t)  А1 та А2 – довільні додатні константи, при чому А1≠А2≠1. Порядок виконання роботи Дослідити задані функції на ортонормованість в аналітичному виді (1),(2). За допомогою системи MATLAB утворити дискретні послідовності Ф1 та Ф2, на заданому інтервалі дослідження (крок дискретизації становить pi/8). Вивести їх на спільному графіку. Користуючись засобами системи MATLAB перевірити умови ортогональності для системи дискретних функцій за формулами (2) та (3). Нормувати систему функцій за формулою (5) (у випадку, якщо вона не є нормованою). Вивести на спільному графіку систему отонормованих функцій. Порівняти отримані результати з аналітичними обрахунками. Теоретичні відомості Одним з можливих шляхів аналізу складного сигналу є подання його через контрольовану суму елементарних сигналів. Одним з найпотужніших апаратів для такого подання є системи ортогональних функцій. При введені систем ортогональних функцій виходять з того, щоб кожна функція системи була елементарним сигналом, і щоб складні сигнали можна було подати через цю суму якомога “компактніше” – зручніше. Аналоговий випадок. Розглянемо систему фукцій,
. Задану на інтервалі
,
- номер функції в системі. Система цих функцій називається ортогональною, якщо виконуються наступні умови:
(1) для будь-яких
при умові, що
(тут * - символ комплексного спряження).
(2) Якщо
, то система називається ортонормованою. Тривіальним прикладом ортонормованої системи функцій є система декартових координат : кожна функція відображає свій напрям, а всі напрями – взаємоперпендикулярні. Дискретний випадок. Розглянемо суму дискретних функцій
,
, де
- номер функції. Система називається ортогональною, якщо :
, коли
. (3)
(4) Якщо
- то система ортонормована. Очевидним є твердження, що будь-яку ортогональну систему можна нормувати, розглянувши систему, виду:
. Текст програми clear all %очистка пам’яті  close all %закриття всіх графічних вікон  clc %очистка екрану  T=2*pi; %період  N=2^12; %кількість точок  dt=T/(N); %крок дискретизації  t=0:dt:T; %вектор часу  A1=5; %амплітуда першої функції  f1=A1*sin(32*t); % обчислення першої функції  A2=3; %амплітуда другої функції  f2=A2*cos(t); %обчислення другої функції  plot(t,f1,'r',t,f2,'b') %вивід системи функцій на спільному графіку  w=sum(f1.*f2) s1=sqrt(dt*sum(f1.*f1)) s2=sqrt(dt*sum(f2.*f2)) %перевірка умов ортогональності та нормованості за формулами (3)-(4)  f1_new=f1./s1; f2_new=f2./s2; %нормування обох функцій за формулою (5)  w_new=sum(f1_new .* f2_new ) s1_new=sqrt(dt*sum(f1_new.*f1_new)) s2_new=sqrt(dt*sum(f2_new.*f2_new)) %повторна перевірка умов ортонормованості  figure(2) %створнення нового графічного вікна  plot(t,f1_new,'r',t,f2_new,'b') %вивід нормованої системи функцій на спільному графіку      Графік системи функцій
Результати аналітичного дослідження Результати, отримані за допомогою системи MATLAB Константи А1 та А2 прийняті такими: А1=5; А2=3. w = 1.1141e-012 s1 = 8.8623 s2 = 5.3187 w_new = -2.8982e-014 s1_new = 1.0000 s2_new = 1.0000 Оскільки
, а


, то можна стверджувати, що в дискретному випадку, за формулами (3) і (4), відповідно до яких написана програма, знайдені коефіцієнти співпадають з аналітичним розрахунком з достатньою точністю. При чому, значення s1 і s2 будуть наближатися до
і
відповідно, якщо зменшувати крок дискретизації. Графік нормованої системи функцій
Висновки: виконуючи дану лабораторну роботу я досліджував систему функцій на ортогональність і пронормував систему аналітичним способом та за допомогою системи MATLAB.