Міністерство освіти і науки України Національний університет “Львівська політехніка” Кафедра автоматизованих систем управління
Розрахунково-графічна робота з курсу «Теоретичні основи управління» Завдання 1. Записати передатну функцію при даних коефіцієнтах:



К  1 3 6 10 5   2. Побудувати амплітудно - фазочастотну характеристику (АФЧХ). 3. Побудувати амплітудно - частотну характеристику (АЧХ). 4. Побудувати фазочастотну характеристику (ФЧХ). 5. Побудувати логарифмічну амплітудно - фазову частотну характеристику (лафчх). 6. Оцінити систему на стійкість за двома критеріями: а) алгебраїчним; б) частотним. 7. Знайти вираз перехідної функції h(t). Побудувати її графік. 8. Побудувати розміщення нулів і полюсів функції. 9. Здійснити корекцію системи: а) якщо система не стійка, то знайти коректуючі елементи, такі, щоб вона стала на межу стійкості; б) якщо система на межі стійкості, то внести такі елементи, щоб вона мала запас стійкості за фазою φ= π/12 = 15°; в) якщо система стійка, то внести коректуючі елементи, щоб запас стійкості збільшився вдвічі. . 10. Знайти вираз перехідної функції h(t) відкоректованої системи. 11. Здійснити декомпозицію системи третього порядку на типові ланки. 12. Побудувати фазовий портрет відкоректованої системи. Записати передатну функцію при даних коефіцієнтах. Передатною функцією називається відношення перетвореної за Лапласом вихідної дії до перетвореної за Лапласом вхідної дії при нульових умовах і відсутності збурень.
; За даними коефіцієнтами передатна функція має такий вигляд:
; 2. Побудувати амплітудно - фазочастотну характеристику (АФЧХ). Амплітудно - фазовою частотною характеристикою (АФЧХ) називається геометричне місце точок кінців вектора комплексної передатної функції системи при зміні частоти w від 0 до ∞. Для побудови АФЧХ представимо передатну функцію в алгебраїчній формі замінюючи р=j(, знаходимо: W(p)= W(j()=a(w)+jb((). a(() називається дійсною, a b(()- уявною частиною.
Маючи залежності a((), b((), будемо будувати АФЧХ в декартових координатах. Змінюючи з деяким кроком частоту w від 0 до достатньо великих значень, відкладатимемо по осі ОХ значення a((),a по осі ОУ значення b(() для кожного (. Змінюючи ( від 0 до ( на комплексній площині будуємо графік АФЧХ (W(()) Графік АФЧХ побудований теоретичним шляхом зображений на рис.1.
Рис.1. АФЧХ 3. Побудувати амплітудно - частотну характеристику (АЧХ). Амплітудо-частотною характеристикою називається залежність модуля передатної функції від частоти, при зміні частоти від 0 до (. Для побудови АЧХ у середовищі MATLAB виконуємо послідовність команд: num=[5]; den=[1 3 6 10]; [mag,phase,w]=bode(num,den); plot(w,mag(:)),grid Після виконання таких команд отримаємо графік АЧХ, зображений на рис.2.
Рис.2. АЧХ 4. Побудувати фазочастотну характеристику (ФЧХ). Фазочастотною характеристикою називається залежність фазового зсуву між вихідною та вхідною дією при гармонічному вхідному сигналі. Для побудови ФЧХ у середовищі MATLAB виконуємо послідовність команд: num=[5]; den=[1 3 6 10]; [mag,phase,w]=bode(num,den); semilogx(w,mag(:)),grid on Після виконання таких команд отримаємо графік ФЧХ, зображений на рис.3.
Рис.3. ФЧХ 5. Побудувати логарифмічну амплітудно - фазочастотну характеристику (лафчх). Логарифмічна амплітудно - фазочастотна характеристика є сукупність двох характеристик - ЛАЧХ та ФЧХ, побудованих на одному графіку.


Зручніше користуватись десятковим логарифмом і будувати окремо логарифмічно-амплітудну і фазову характеристики.
– одиниці вимірювання дБ (децибел) 1 Бел представляє собою логарифмічну одиницю, що відповідає десятикратному збільшенню потужності. Для побудови ФЧХ у середовищі MATLAB виконуємо послідовність команд: num=[5]; den=[1 3 6 10]; [mag,phase,w]=bode(num,den); semilogx(w,20*log10(mag(:))),grid on
Рис.4. ЛАФЧХ Оцінити систему на стійкість за двома критеріями Стійкість – здатність системи повертатись в стан рівноваги після припинення дії вимушуючих сил (вхідна дія, збурення). Для того, щоб оцінити систему на стійкість необхідно знаменник передатної функції прирівняти до 0. Критерії стійкості (кс) поділяються на дві групи: а) алгебраїчні (кс Вишнєградського, кс Рауса, кс Гурвіца); б)частотні (кс Михайлова, кс Найквіста, логарифмічний кс); Стійкість нас цікавить тому, що нестійкі системи – непрацездатні. Невеличкі збурення виводять їх з планової траєкторії, до якої вони ніколи не зможуть повернутися. Стійкість – внутрішня властивість системи, яка не залежить від величини вхідної дії чи від величини збурення. Для великих систем ця характеристика вироджується в надійність чи живучість. 6.1.Оцінити систему на стійкість за алгебраїчним критерієм. З алгебраїчних критеріїв для оцінки стійкості системи третього порядку доцільно використати критерій Вишнєградського. Цей критерій використовується для систем не вище третього порядку. Якщо різниця добутків середніх і крайніх коефіцієнтів поліному (характеристичного рівняння) більше від нуля і кожен з коефіцієнтів є додатним, то система стійка. Тобто якщо виконується умова: Т2*Т1-Т3*Т0>0; Згідно завдання : 1*р3+3*р2+6*p+10=0 3*6-1*10>0 Отже, система стійка. 6.2.Оцінити систему на стійкість за частотним критерієм. Приймемо, що система незамкнута, тоді оцінити її на стійкість можна за критерієм Михайлова. Відокремлюючи дійсну і уявну частину, поліном D(p) приводимо до виду: D(p)=a(()+jb(()
– парні степені
– непарні степені Геометричне місце точок кінця вектора D(j() при зміні частоти 0<(<( називається годографом Михайлова. Динамічна система, що описується лінійним диференційним рівнянням n-го порядку стійка, якщо при зміні частоти від 0 до ( годограф Михайлова послідовно проходить в напрямку проти годинникової стрілки n квадрантів комплексної площини і не перетворюється в 0. Критерій Михайлова, зображений на рис. 6, використовується для розімкнених систем управління. Оцінку стійкості почнемо з визначення коренів рівнянь:


Рис.5.Годограф Михайлова Як видно з рис.5 Годограф Михайлова для даної системи проходить в напрямку проти годинникової стрілки і не перетворюється в нуль, тому це свідчить про те що система є стійкою. 7. Знайти вираз перехідної функції h(t). Побудувати її графік. Перехідна функція – показує перехідний процес на виході ланки, якщо на вході діє одинична ступінчата функція. Одинична ступінчата функція має розмірність таку, як і вхідна величина. Для побудови графіку перехідної функції h(t) у середовищі MATLAB використовуємо Control System Toolbox:
Рис.6. Графік перехідної функції Для знаходження аналітичного виразу перехідної характеристики скористаємося пакетом MathCAD. В ньому слід набрати послідовність:





Запасом стійкості за фазою Θ називається різниця π-
, де
при w=wзр. wзр – частота зрізу wзр – це така частота, при якій L(w)=0.
Визначити запас стійкості за фазою та частотою зрізу можна таким способом: сформувати m-файл і набрати в ньому послідовність команд num=5; den=[1 3 6 10]; h=tf(num,den); margin(h)
Знайти розміщення нулів і полюсів системи Нулі системи – це ті р, при яких чисельник передатної функції перетворюється в нуль, а полюси – це р, при яких знаменник перетворюється в нуль. Розміщення нулів і полюсів системи можна отримати, користуючись засобами MATLAB: num=[5]; den=[1 3 6 10]; [mag, phase, w]=bode(num, den); t=0:0.1:16; y=step(num, den, t); [p, z]=pzmap(num, den); hold; plot (p, ’bx’); grid;
Рис.7. Нулі і полюси системи Для знаходження числових полюсів системи потрібно набрати в середовищі MATLAB послідовність команд: w=tf([5],[1 3 6 10]); pole(w) Отримаємо ans = -2.2879 -0.3560 + 2.0601i -0.3560 - 2.0601i 9. Провести корекцію системи Будемо збільшувати запас стійкості за амплітудою. Оскільки система стійка, то згідно із завданням наявний запас треба збільшити вдвічі. Для цього обчислимо значення дійсної частини передатної функції коли уявна частина рівна 0.

Запас стійкості 0,37. Запас стійкості відкоректованої системи 0,74 Отже маємо умови для коефіцієнтів відкоректованої системи
Коректуюча асинхронна ланка матиме таку передатну функцію
Ввівши цю ланку в початкову передатну функцію отримаємо вирази

Прийнявши

знаходимо

Приймаємо
, тоді



Рис.8. АФЧХ відкоректованої системи в порівнянні із невідкоректованою 10. Знайти вираз перехідної функції відкоректованої системи



11. Здійснити декомпозицію системи третього порядку на типові ланки При знаходженні нулів і полюсів функції виявилося, що система має один дійсний і два комплексних корені. Тому систему можна декомпонувати на дві типові ланки, що проілюсровано на Рис.9.
Рис.9. Декомпонована система в середовищі MATLAB Simulink
Рис.10. Результат моделювання роботи окремих компонентів системи 12. Побудувати фазовий портрет системи Для наочного зображення складних процесів управління застосовують поняття фазового простору, яке полягає в наступному: диференційне рівняння замкнутої системи n-го порядку приводиться до системи рівнянь І порядку. Система n-го порядку замкнута і описується системою n рівнянь І порядку, та вводиться поняття зображуваної точки М0, а траєкторія руху точки називається фазовим портом. Побудуємо фазовий портрет за допомогою середовища MATLAB Simulink.
Рис.11. Схема для побудови фазового портрету
Рис.12. Фазовий портрет системи