Міністерство освіти та науки України Національний університет “Львівська політехніка” Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій Кафедра автоматизованих систем управління
Розрахунково-графічна робота з курсу «Теоретичні основи управління» Львів – 2008



К  1 7 2 1 1   Завдання 1. Записати передатну функцію при даних коефіцієнтах: 2. Побудувати амплітудно - фазочастотну характеристику (АФЧХ). 3. Побудувати амплітудно - частотну характеристику (АЧХ). 4. Побудувати фазочастотну характеристику (ФЧХ). 5. Побудувати логарифмічну амплітудно - фазову частотну характеристику (лафчх). 6. Оцінити систему на стійкість за двома критеріями: а) алгебраїчним; б) частотним. 7. Знайти вираз перехідної функції h(t). Побудувати її графік. 8. Побудувати розміщення нулів і полюсів функції. 9. Здійснити корекцію системи: а) якщо система не стійка, то знайти коректуючі елементи, такі, щоб вона стала на межу стійкості; б) якщо система на межі стійкості, то внести такі елементи, щоб вона мала запас стійкості за фазою φ= π/12 = 15°; в) якщо система стійка, то внести коректуючі елементи, щоб запас стійкості збільшився вдвічі. . 10. Знайти вираз перехідної функції h(t) відкоректованої системи. 11. Здійснити декомпозицію системи третього порядку на типові ланки. 12. Побудувати фазовий портрет відкоректованої системи. Записати передатну функцію при даних коефіцієнтах. Передатною функцією називається відношення перетвореної за Лапласом вихідної дії до перетвореної за Лапласом вхідної дії при нульових умовах і відсутності збурень.
; За даними коефіцієнтами передатна функція має такий вигляд:
; 2. Побудувати амплітудно - фазочастотну характеристику (АФЧХ). Амплітудно - фазовою частотною характеристикою (АФЧХ) називається геометричне місце точок кінців вектора комплексної передатної функції системи при зміні частоти w від 0 до ∞. Для побудови АФЧХ представимо передатну функцію в алгебраїчній формі замінюючи р=j(, знаходимо: W(p)= W(j()=a(w)+jb((). a(() називається дійсною, a b(()- уявною частиною. Сам по собі вираз b(w) є дійсним і не повинен містити ніяких j.
Передатна функція набуде вигляду:
; Маючи залежності a((), b((), будемо будувати АФЧХ в декартових координатах. Змінюючи з деяким кроком частоту w від 0 до достатньо великих значень, відкладатимемо по осі ОХ значення a((),a по осі ОУ значення b(() для кожного (. Змінюючи ( від 0 до ( на комплексній площині будуємо графік АФЧХ (W(()) Графік побудови АФЧХ теоретичним шляхом зображений на рис.1. Для обчислення значень a(w), b(w) скористаємось програмою на мові Сі : #include <stdio.h> #include <conio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> void main() { FILE *f; double w,wl,dw,den,a,b; int t3=l,t2=7,tl=2,t0=1,k=1; wl=100; dw=0.1; f=fopen("test.m","wt"); fprintf(f,"a=["); for(w=0; w<=w1 ;w=w+dw) { den=t3*t3*w*w*w*w*w*w+(-2*t3*tl+t2*t2)*w*w*w*w+(-2*t0*t1+t1*t1)*w*w+t0*t0; a=(k*(-t2*w*w+t0))/den; fprintf(f,"\t%1.6f",a); } fprintf(f,"];"); fprintf(f,"\nb=["); for(w=0;w<=w1 ;w=w+dw) { den=t3*t3*w*w*w*w*w*w+(-2*t3*tl+t2*t2)*w*w*w*w+(-2*t0*t1+t1*t1)*w*w+t0*t0; b=(k*(t3*w*w*w-t1 *w))/den; fprintf(f,"\t%1.6f",b); } fprintf(f,"];\nplot(a,b),grid"); fclose(f); }
Рис.1. АФЧХ 3. Побудувати амплітудно - частотну характеристику (АЧХ). Амплітудо-частотною характеристикою називається залежність модуля передатної функції від частоти, при зміні частоти від 0 до (. Для побудови АЧХ у середовищі MATLAB виконуємо послідовність команд: num=[1]; den=[1 7 2 1 1]; [mag,phase,w]=bode(num,den); plot(w,mag(:)),grid Після виконання таких команд отримаємо графік АЧХ, зображений на рис.2.
Рис.2. АЧХ 4. Побудувати фазочастотну характеристику (ФЧХ). Фазочастотною характеристикою називається залежність фазового зсуву між вихідною та вхідною дією при гармонічному вхідному сигналі. Для побудови ФЧХ у середовищі MATLAB виконуємо послідовність команд: num=[1]; den=[1 7 2 1 1]; [mag,phase,w]=bode(num,den); semilogx(w,mag(:)),grid on Після виконання таких команд отримаємо графік ФЧХ, зображений на рис.3.
Рис.3. ФЧХ 5. Побудувати логарифмічну амплітудно - фазочастотну характеристику (лафчх). Логарифмічна амплітудно - фазочастотна характеристика є сукупність двох характеристик - ЛАЧХ та ФЧХ, побудованих на одному графіку.


Зручніше користуватись десятковим логарифмом і будувати окремо логарифмічно-амплітудну і фазову характеристики.
– одиниці вимірювання дБ (децибел) 1 Бел представляє собою логарифмічну одиницю, що відповідає десятикратному збільшенню потужності. Особливість логарифмічної характеристики, зображеної на рис. 4, полягає в тому, що вона відображається сукупністю відрізків прямої. Для побудови ФЧХ у середовищі MATLAB виконуємо послідовність команд: num=[1]; den=[1 7 2 1 1]; [mag,phase,w]=bode(num,den); semilogx(w,20*log10(mag(:))),grid on
Рис.4. ЛАФЧХ Оцінити систему на стійкість за двома критеріями Стійкість – здатність системи повертатись в стан рівноваги після припинення дії вимушуючих сил (вхідна дія, збурення). Для того, щоб оцінити систему на стійкість необхідно знаменник передатної функції прирівняти до 0. Критерії стійкості (кс) поділяються на дві групи: а) алгебраїчні (кс Вишнєградського, кс Рауса, кс Гурвіца); б)частотні (кс Михайлова, кс Найквіста, логарифмічний кс); Стійкість нас цікавить тому, що нестійкі системи – непрацездатні. Невеличкі збурення виводять їх з планової траєкторії, до якої вони ніколи не зможуть повернутися. Стійкість – внутрішня властивість системи, яка не залежить від величини вхідної дії чи від величини збурення. Для великих систем ця характеристика вироджується в надійність чи живучість. 6.1.Оцінити систему на стійкість за алгебраїчним критерієм. З алгебраїчних критеріїв для оцінки стійкості системи третього порядку доцільно використати критерій Вишнєградського. Цей критерій використовується для систем не вище третього порядку. Якщо різниця добутків середніх і крайніх коефіцієнтів поліному (характеристичного рівняння) більше від нуля і кожен з коефіцієнтів є додатним, то система стійка. Тобто якщо виконується умова: Т2*Т1-Т3*Т0>0; Згідно завдання : 1*р3+7*р2+2*Р+1=0 7*2-1>0 Отже, система стійка. 6.2.Оцінити систему на стійкість за частотним критерієм. Приймемо, що система незамкнута, тоді оцінити її на стійкість можна за критерієм Михайлова. Відокремлюючи дійсну і уявну частину, поліном D(p) приводимо до виду: D(p)=a(()+jb(()
– парні степені
– непарні степені Геометричне місце точок кінця вектора D(j() при зміні частоти 0<(<( називається годографом Михайлова. Динамічна система, що описується лінійним диференційним рівнянням n-го порядку стійка, якщо при зміні частоти від 0 до ( годограф Михайлова послідовно проходить в напрямку проти годинникової стрілки n квадрантів комплексної площини і не перетворюється в 0. Критерій Михайлова, зображений на рис. 6, використовується для розімкнених систем управління. Два наступних критерія, а саме – критерій стійкості Найквіста та логарифмічний критерій стійкості використовуються для оцінки на стійкість замкнутих систем управління. Оцінку стійкості почнемо з визначення коренів рівнянь:

Складемо таблицю значень: a=[1 0.93 0.72 0.37 -0.12 -0.75 -1.52 -2.43 -3.48 -4.67 -6 -7.47 -9.08 -10.83 -12.72 -14.75 -16.92]; b=[0 0.199 0.392 0.573 0.736 0.875 0.984 1.057 1.088 1.071 1 0.869 0.672 0.403 0.056 -0.375 -0.896]; plot(a,b),grid
Рис.5.Годограф Михайлова Як видно з рис.5 Годограф Михайлова для даної системи проходить в напрямку проти годинникової стрілки і не перетворюється в нуль, тому це свідчить про те що система є стійкою. 7. Знайти вираз перехідної функції h(t). Побудувати її графік. Перехідна функція – показує перехідний процес на виході ланки, якщо на вході діє одинична ступінчата функція. Одинична ступінчата функціямає розмірність таку, як і вхідна величина. Для побудови графіку перехідної функції h(t) у середовищі MATLAB виконуємо послідовність команд: num=[1]; den=[1 7 2 1 1]; t=0:0.1:35; y=step(num,den,t); plot(t,y),grid
Рис.6. Графік перехідної функції