Міністерство освіти і науки України Національний університет „Львівська політехніка” ІКТА, кафедра «Захисту інформації» Звіт З КУРСУ “ КОМП’ЮТЕРНІ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ ІНФОРМАЦІЙНИХ ПРОЦЕСІВ ТА СИСТЕМ ” НА ТЕМУ: “ МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ`ЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ“ Варіант 2 Мета роботи – ознайомлення з методами чисельного інтегрування диференційних рівнянь. КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ Диференціальним називається рівняння, в яке входять похідні невідомої функції. Приклад:

(1)
(2) Диференціальне рівняння (ДР), що містить лише одну незалежну змінну і похідні за нею, називають звичайними (ДР). Це, наприклад, рівняння (1). ДР, що містить декілька незалежних змінних і похідні за ними, називають рівняння в частинних похідних Порядком ДР називається найвищий порядок похідної (або диференціалу), який входить в рівняння. Звичайне ДР (ЗДР)
-го порядку в загальному випадку має незалежну змінну, невідому функцію та її похідні (або диференціал) до
-го порядку включно:
(3)
- незалежна змінна;
- невідома функція (залежна змінна);
- похідні цієї функції. Диференціальне рівняння
-го порядку, розв’язане відносно старшої похідної, може бути записано у вигляді:
(4) Щоб розв’язати ЗДР, необхідно мати значення залежної змінної та (або) її похідних при деяких значення незалежної змінної. Якщо ці значення задані при одному значенні незалежної змінної - така задача називається задачею з початковими умовами або задачею Коші. Якщо ці значення задаються при
або більше значеннях незалежної змінної - задача називається крайовою. Значення залежної змінної та її похідних називаються ще додатковими умовами, котрі в задачі Коші називаються початковими, а в крайовій задачі - граничними. Метод Рунге-Кутта-Мерсона з автоматичною зміною кроку Метод дозволяє оцінити похибку на кожному кроці інтегрування. Похибка інтегрування має порядок
. При цьому не потрібно зберігати в пам’яті обчислення значень функцій на кроці
і
для оцінки похибки - перевага порівняно з методом Рунге-Кутта з автоматичною зміною кроку. Алгоритм методу 1. Задаємо число рівнянь
, похибку
, початковий крок інтегрування
, початкові умови
. 2. За допомогою п’яти циклів з керуючою змінною
обчислюємо коефіцієнти

3. Знаходимо значення

та похибку
4. Перевіряємо виконання умов
Можливі випадки: а) Якщо перша умова не виконується, тобто
, то ділимо крок
на 2 та повторюємо обчислення з п.2, встановивши початкові значення
. б) Якщо виконується перша та друга умови, значення
та
виводяться на друк. Якщо друга умова не виконується, крок
збільшується вдвічі і тоді обчислення знову повторюється з п.2 (нема потреби обчислювати при малому кроці). Треба відмітити, що похибка
на кожному кроці методу Рунге-Кутта-Мерсона оцінюється приблизно. При розв’язуванні нелінійних ДР істинна похибка може відрізнятися в декілька разів від заданої
.
, де
.
- крок поділити на 2 і повернутися на початок.
для всіх рівнянь: виводимо на друк
, а крок збільшуємо удвічі. 2.ЗАВДАННЯ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ Розв’язати чисельним методом звичайне диференційне рівняння.

  СПИСОК ІДЕНТИФІКАТОРІВ КОНСТАНТ, ЗМІННИХ, ФУНКЦІЙ, ВИКОРИСТАНИХ У ПРОГРАМІ, ТА ЇХ ПОЯСНЕННЯ:                                                                   Текст програми на мові Паскаль: program runge_kut_merson; uses crt; const n=1;a=0;b=1;e=0.001; type vec=array[1..n] of real; var i,m,p :integer; x,h,k :real; y1,y,f,r,z :vec; Function dy(var k:integer;x,s:real):real; begin for i:=1 to n do z[i]:=y[i]+s; dy:=sin(sqrt(x*x+k*k)); end; Procedure Merson(var y1,r:vec; m:integer); var k0,k1,k2,k3,k4,s:real; begin m:=0; for i:=1 to n do begin k0:=h*dy(i,x,0); k1:=h*dy(i,x+h/3,k0/3); k2:=h*dy(i,x+h/3,k0/6+k1/6); k3:=h*dy(i,x+h/2,k0/8+3*k2/8); k4:=h*dy(i,x+h,k0/2-3*k2/2+2*k3); y1[i]:=h*(k0+4*k3+k4)/6; r[i]:=(-2*k0+9*k2-8*k3+k4)/30; if abs(r[i])>e then m:=m+1; end; end; BEGIN clrscr; for i:=1 to n do begin writeln ('Поч.­ знач.'); read(y[i]); end; x:=a; h:=0.1; repeat p:=0; repeat for i:=1 to n do begin Merson(y1,r,m); p:=p+1; h:=h/2; end; until m<>n; h:=2*h; if p=1 then h:=2*h; for i:=1 to n do y[i]:=y[i]+y1[i]; writeln ('x=', x:2:3); for i:=1 to n do writeln( 'y[',i,']=', y[i]:1:9, ' r[',i,']=',r[i]:1:9); x:=x+h; until x>b; repeat until keypressed; END. Результат роботи програми: y[1]=0.008423679 r[1]=-0.000000035 x=0.200 y[1]=0.043025754 r[1]=-0.000002985 x=0.600 y[1]=0.196087164 r[1]=-0.000053898 Висновок: Виконав[ім’я автора приховано]