Міністерство освіти і науки України Національний університет «Львівська політехніка» Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій Кафедра автоматизованих систем управління
Звіт до лабораторної роботи №2 з дисципліни “Основи цифрової обробки сигналів” на тему СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛІЗ МЕТОДОМ ПЕРІОДОГРАМ Мета роботи: навчитися проводити спектральний аналіз методом періодограм. 1. Непараметричні оцінки спектру Періодограмою (periodogram) називається оцінка спектральної густини потужності:
Якщо при обчисленнях спектру використовується вагова функція (вікно)
, одержана оцінка спектру називається модифікованою періодограмою (modified periodogram):
,
Можна показати, що періодограма не є слушною оцінкою спектру, оскільки дисперсія такої оцінки співставима їз квадратом її математичного чекання при довільному N:
Бартлетт (Bartlett) запропонував разділяти сигнал на сегменти, що не перекрываються, обчислювати для кожного сегменту періодограму і потім ці періодограми усереднювати (рис.10). амплітуда частота час оцінка Бартлета Рис.10 Уэлч (Welch) вніс в метод Бартлета два удосконалення: використання вагової функції й розбиття сигналу на сегменти, що перекриваються. Застосування вагової функції дозволяє ослабити розтікання спектру й зменшити зміщення оценки спектру ціною незначного погіршення разрішаючої здатності. Перекриття сегментів дозволяє зменшити дисперсію оцінки. 2. Обчислення непараметричних оцінок спектру в Matlab’і В пакеті Signal Processing програми Matlab реалізовані три методи непараметричного оцінювання спектру — періодограма, метод Уелча й метод Томсона (MTM). Обчислення періодограмми (в тому числі модифікованої) здійснюється за допомогою функції periodogram, синтаксис котрої має вигляд: [Pxx,f] = periodogram(x,window,nfft,fs) де вхідні дані - масив x відліків СВП, масив відліків вікна window, число точок БПФ nfft, частота дискретизації fs; вихідні дані – масиви значень перідограми Pxx та її аргумента f. Метод Уелча є найбільш популярним періодограмним методом спектрального аналізу. В пакете Signal Processing він реалізується за допомогою функції pwelch: [Pxx,f] = pwelch(x,window,noverlap,nfft,fs), де noverlap – число відліків, що перекрываються. 3. Параметричні методи Використання параметричних методів означає наявність математичної моделі випадкового процесу, що аналізується, а саме: СВП представляють як результат проходження білого шуму через фільтр (рис.11). Білый шум
Забарвлений шум
Рис.11 Оскільки спектри СВП вхідного й вихідного процесів лінійної системи пов’язані співвідношенням:
, для випадку білого шуму на вході, тобто
, маемо
. Таким чином, задачу вимірювання спектру потужності процесу
можна підмінити задачею вимірювання АЧХ деякого фільтру й потужності
білого шуму
на його вході. Оскільки цифрові фільтри прийнято ділити на три типи, - нерекурсивні, рекурсивні й авторегресивні, - одержуєм три моделі процесу
: ковзаючого середнього (КС); автор[ім’я автора приховано] автор[ім’я автора приховано] Спектральний аналіз зводиться в даному випадку до рішення оптимізаційної задачі, тобто до пошуку таких параметрів моделі, при яких вона найбільш близька до реального сигналу. В Matlab, в пакеті Signal Processing, реалізовані декілька авторегресійних оцінок спектру, а також оцінки, що базуються ще на двух методах, - на аналізі власних чисел й векторів кореляційної матриці сигналу: MUSIC (MUltiple SIgnal Classification) і EV (EigenVectors). 4. Реалізація обчислень в пакеті Matlab Кожному методу авторегресійного аналізу в пакеті Signal Processing відповідають дві функції — функція обчислення коефіцієнтів моделі й функція власне спектрального аналізу. Функція спектрального аналізу викликає функцію обчислення коефіцієнтів моделі, а потім виконує обчислення спектру. Імена функцій зведено в наступну таблицю. Метод Функція розрахунку коефіцієнтів моделі Функція спектрального аналізу  Коваріаційний arcov pcov  Модифікований коваріаційний armcov pmcov  Берга arburg pburg  Авторегресійний Юла-Уолкера aryule pyulear   Синтаксис функцій спектрального аналізу дуже схожий. Для авторегресійної оцінки Юла-Уолкера: [Pxx,f] = pyulear(x,p,nfft,fs) де p – порядок моделі. Інші позначення співпадають з такими для непараметричних оцінок спектру. Оскільки складові частини процесу
статистично незалежні, враховуючи співвідношення Вінера-Хінчіна
, одержуємо
, (2) де
, (3)
- верхня гранична частота шуму
. Графік спектру суміші (2) побудувати неможливо, оскільки спектр необмеженого в часі гармонічного сигналу складається з двох дельта-функцій, що приймають безкінечно великі значення при
(рис.1). На практиці завжди маємо відрізок, довжиною
, реалізації випадкового процесу. Тому замість спектру потужності на практиці оперуємо із оцінкою спектру:
,
. Можна показати, що математичне чекання відповідної оценки відрізку гармонічного процесу має вигляд:
(4) Тепер маємо ситуацію, максимально наближену до реальності, що дозволяє обчислити відношення сигнал-шум на виході спектроаналізатору. Якщо за сигнал на виході спектроаналізатору прийняти висоту піку математичного чекання (4), а за шум - математичне чекання рівня спектру шуму (насправді за рівень шуму приймають не рівень спектру шуму, а середньоквадритчну похибку оцінки спектра шуму – але можна показати, що для оцінки у вигляді періодограми ці два різні визначення відношення сигнал-шум співпадають), маємо:
, (5) тобто виграш у відношенні сигнал-шум за рахунок спектрального аналізу сягає величини
. (6) Звідси
,
. Обрахувавши
та враховучи, що за теоремою Котельнікова неперервний процес можна дискретизувати з кроком
, одержуємо корисну для планування експерименту формулу, що дозволяє обрахувати потрібну кількість відліків процесу:
Результати виконаної роботи Періодограми білого гауссового шуму при різній довжині використовуваного запису даних: (А) N = 8; (Б) N = 32; (В) N = 128; (Г) N = 512. Із зростанням довжини запису даних періодограма не сплющується, а починає все сильніше флуктуювати. (СПМ – спектральна густина потужності).

X0 = randn(1, 1000); a = 0.9; X = filter(1, [1 -a], X0); periodogram(X, [], [], 1)
Висновок Під час лабораторної роботи я навчилась проводити спектральний аналіз методом періодограм.