Міністерство освіти і науки України Національний університет «Львівська політехніка» Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій Кафедра автоматизованих систем управління
Звіт до лабораторної роботи №3 з дисципліни “Основи цифрової обробки сигналів” на тему ДОСЛІДЖЕННЯ СПЕКТРІВ АР-МОДЕЛЕЙ Мета роботи: навчитися досліджувати спектри АР-моделей. Автор[ім’я автора приховано] Оскільки цифрові фільтри прийнято ділити на три типи, - нерекурсивні, рекурсивні й авторегресивні, - одержуєм три моделі процесу
: ковзаючого середнього (КС); автор[ім’я автора приховано] автор[ім’я автора приховано] Спектральний аналіз зводиться в даному випадку до рішення оптимізаційної задачі, тобто до пошуку таких параметрів моделі, при яких вона найбільш близька до реального сигналу. В Matlab, в пакеті Signal Processing, реалізовані декілька авторегресійних оцінок спектру, а також оцінки, що базуються ще на двух методах, - на аналізі власних чисел й векторів кореляційної матриці сигналу: MUSIC (MUltiple SIgnal Classification) і EV (EigenVectors). Кожному методу авторегресійного аналізу в пакеті Signal Processing відповідають дві функції — функція обчислення коефіцієнтів моделі й функція власне спектрального аналізу. Функція спектрального аналізу викликає функцію обчислення коефіцієнтів моделі, а потім виконує обчислення спектру. Імена функцій зведено в наступну таблицю. Метод Функція розрахунку коефіцієнтів моделі Функція спектрального аналізу  Коваріаційний arcov pcov  Модифікований коваріаційний armcov pmcov  Берга arburg pburg  Авторегресійний Юла-Уолкера aryule pyulear   Синтаксис функцій спектрального аналізу дуже схожий. Для авторегресійної оцінки Юла-Уолкера: [Pxx,f] = pyulear(x,p,nfft,fs) де p – порядок моделі. Інші позначення співпадають з такими для непараметричних оцінок спектру. Оскільки складові частини процесу
статистично незалежні, враховуючи співвідношення Вінера-Хінчіна
, одержуємо
, (2) де
, (3)
- верхня гранична частота шуму
. Графік спектру суміші (2) побудувати неможливо, оскільки спектр необмеженого в часі гармонічного сигналу складається з двох дельта-функцій, що приймають безкінечно великі значення при
(рис.1). На практиці завжди маємо відрізок, довжиною
, реалізації випадкового процесу. Тому замість спектру потужності на практиці оперуємо із оцінкою спектру:
,
. Можна показати, що математичне чекання відповідної оценки відрізку гармонічного процесу має вигляд:
(4) Тепер маємо ситуацію, максимально наближену до реальності, що дозволяє обчислити відношення сигнал-шум на виході спектроаналізатору. Якщо за сигнал на виході спектроаналізатору прийняти висоту піку математичного чекання (4), а за шум - математичне чекання рівня спектру шуму (насправді за рівень шуму приймають не рівень спектру шуму, а середньоквадритчну похибку оцінки спектра шуму – але можна показати, що для оцінки у вигляді періодограми ці два різні визначення відношення сигнал-шум співпадають), маємо:
, (5) тобто виграш у відношенні сигнал-шум за рахунок спектрального аналізу сягає величини
. (6) Звідси
,
. Обрахувавши
та враховучи, що за теоремою Котельнікова неперервний процес можна дискретизувати з кроком
, одержуємо корисну для планування експерименту формулу, що дозволяє обрахувати потрібну кількість відліків процесу:
Результати виконаної роботи X0 = randn(1, 1000); a = 0.5; X = filter(1, [1 -a], X0); pyulear(X, 3, [], 1);
Висновок Під час лабораторної роботи я навчилась досліджувати спектри АР-моделей.