МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА" МЕТОД ГАУСА ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ Лабораторна робота № 2 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" Львів – 2007 Мета роботи – ознайомлення з прямими методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. 1.Короткі теоретичні відомості. Методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Ці методи поділяються на дві групи : прямі та ітераційні. 1) Прямі методи зводяться до скінчених алгоритмів для обчислення коренів рівнянь (тобто розв’язки шукають за певними формулами). Вони дають розв’язки після виконання відомого для даного n (n – порядок) числа арифметичних операцій. Іншими словами, прямим методом розв’язування лінійної системи
називають будь-який метод, котрий дозволяє знайти елементи вектора
з допомогою скінченого числа елементарних математичних операцій: додавання, віднімання, ділення, множення, та, можливо, кореня квадратного. Оцінити ефективність будь-якого методу можна за допомогою двох – трьох важливих характеристик: числа операцій, необхідних для реалізації даного методу; об’єму пам’яті; чутливості до переносу похибок заокруглення (або обчислювальної стійкості). Практично всі прямі методи розв’язування систем базуються на зведені матриці А до матриці більш простішої структури – діагональної (тоді розв’язок очевидний) або трикутної – та методів розв’язування таких систем. До групи прямих методів розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь належать: – метод Гауса та його різновиди: а) класичний метод Гауса із зведенням матриці А до верхньої трикутної матриці і одержанням розв’язків з допомогою обернених підстановок. Число операцій (вартість методу) –
операцій сумування, множення та
операцій ділення (можна ними знехтувати в порівнянні з
). б) метод Гауса з вибором головного елемента (частковим або повним). Число арифметичних операцій при цьому складає ~
сумувань та ~
множень. Саме цим визначається повна вартість методу, оскільки вартість розв’язку вже самої трикутної системи незначна в порівнянні з вартістю зведення матриці до трикутного вигляду. – LU-розклад (lower-upper –нижній-верхній)


Якщо використовувати алгоритм Краута, то число операцій складе
. З точки зору об’єму обчислень методу LU- розкладу еквівалентний методу Гауса з частковим вибором головного елемента; його переваги – це можливість роботи з різними векторами вільних членів
та з транспонованими матрицями
(рівняння
– розв’язок знаходиться за тим же LU-розкладом). – метод Халецького (схема). При розкладі симетричних матриць можна зменшити число операцій і об’єм пам’яті. Повна вартість складає половині вартості методу Гауса + n обчислень квадратного кореня. Метод чисельно стійкий. – метод Жордана (роблять діагональну матрицю замість трикутної). Досить рідко використовується на практиці. До прямих методів відносяться також методи для кліткових та розріджених матриць. 2) Ітераційні (або наближені) методи – це методи послідовних наближень. В них необхідно задати деякий наближений розв’язок – так зване початкове наближення. Після цього з допомогою деякого алгоритму проводиться один цикл обчислень, котрий називається ітерацією. В результаті ітерації знаходять нове наближення. Ітерації проводять до тих пір, доки не одержать розв’язок із заданою похибкою. Об’єм обчислень при цьому наперед не відомий. З використанням ітераційних методів виникає проблема збіжності чисельного методу. Вона (збіжність) означає близькість одержаного після проведення ітерації розв’язку до істинного розв’язку. Збіжність ітераційного процесу: якщо в результаті проведення ітерацій одержуємо деяку послідовність
(не важливо, це скалярні чи векторні величини), та якщо ця послідовність збігається до точного розв’язку
, тобто існує границя цієї послідовності
, то метод є збіжним. Чому виникла потреба в ітераційних методах? Чим не влаштовують прямі методи? Основний недолік прямих методів – це нагромадження похибок в процесі розв’язування, оскільки обчислення на будь-якому етапі використовують результати (з похибками) попередніх операцій. Це особливо небезпечно для великих систем (
і більше) – наростає число операцій, а також для погано обумовлених систем (
) (малі похибки обчислень або вхідних даних можуть породити значні похибки в розв’язку). Тому прямі методи використовують для відносно невеликих (
) систем з густо заповненою матрицею та
. Перевагою ітераційних методів над прямими є те, що окремі похибки, що виникають при обчисленнях, не впливають на кінцевий результат (ітерації закінчуються тільки тоді, коли одержано розв’язок із наперед заданою точністю), а ведуть лише до збільшення числа необхідних ітерацій. Крім того, розв’язування систем ітераційними методами спрощується ще й тому, що на кожній ітерації розв’язується система з одними і тими ж матрицями. До ітераційних належить: метод простої ітерації, метод Зейделя, метод верхньої релаксації, та інші. 2. ЗАВДАННЯ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гауса.

3. Блок-схема алгоритму програми. 4. Список ідентифікаторів констант, змінних, процедур і функцій, використаних в програмі, та їх пояснення. 5. Остаточно відлагоджений текст програми.