МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА" МЕТОДИ УТОЧНЕННЯ КОРЕНІВ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Лабораторна робота № 1 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" Львів – 2007 Мета роботи – ознайомлення з методами уточнення коренів нелінійних рівнянь з одним невідомим. 1. Короткі теоретичні відомості. Метод простої ітерації
Рис.6. У цьому методі рівняння
заміняється еквівалентним йому рівнянням

(13) Наприклад, рівняння
зводимо до виду
. Виберемо за початкове наближення кореня значення
і підставимо в праву частину рівняння (1). Одержимо деяке число
(14) Підставляючи в праву частину рівності (2) замість
значення
одержимо нове число
Повторюючи процес, будемо мати наступну послідовність
(15) Якщо ця послідовність збіжна, то границя цієї послідовності
– корінь рівняння
і може бути обчислений з будь-якою точністю. Достатня умова збіжності методу простої ітерації формулюється наступним чином: якщо для всіх
виконується нерівність
(16) то на проміжку
рівняння
має єдиний корінь і процес ітерації
збігається до цього кореня незалежно від вибору початкового наближення
. Таким чином при практичному знаходженні кореня за методом ітерації при переході від рівняння
до (13) необхідно зобразити
так, щоб похідна
за абсолютною величиною була якомога менша одиниці. Для зведення рівняння
до вигляду (13) може бути застосований загальний метод, котрий забезпечує виконання нерівності (16). Нехай
, при
, де m1 – найменше значення похідної
,
; М1 – найбільше значення похідної на відрізку [a, b],
Якщо похідна
– від’ємна, то замість рівняння
розглянемо рівняння –
. Замінимо це рівняння
еквівалентним йому рівнянням
і виберемо сталу λ так, щоб забезпечити виконання умови (16)
. 1)
Розкриваємо нерівність
Візьмемо праву нерівність
, з неї випливає, що
тобто
оскільки
З лівої нерівності
випливає, що
Отже, значення коефіцієнта λ знаходиться в межах
. Як правило за λ приймають значення
де М1 – максимальне значення похідної
на проміжку
. Відповідно, ітераційна формула буде мати вигляд
2) Якщо
то можна довести, що
(17) І відповідний ітераційний процес має вигляд
(18) Алгоритм методу простої ітерації
Метод Стефенсона Ітераційна формула методу:
(20) Зберігає квадратичну збіжність методу Ньютона в околі кореня без необхідності обчислення похідної
. .2.ЗАВДАННЯ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ Знайти корінь рівняння з граничною абсолютною похибкою Е = 10–4, відокремлений на відрізку [a, b]. Методи чисельного розв’язування задаються викладачем Варіант Рівняння Відрізок  1,1 ех + х = 0 [-1;0] -0.5671432904  2,2 ех + lnx = 0 [0.1;2] 0.2698741376  3,3 sin x – 1/x = 0 [1;1.5] 1.114157141  4,4 cos x – 1/(x + 2) = 0 [–1;0] -0.6964405997  5,5 cos x + 1/(x + 2) = 0 [1;2] 1.834627945  6,6 x3 + x – 3 = 0 [1;2] 1.213411663  7,7 x3 + x2 – 3 = 0 [1;2] 1.174559410  8,8 e–х – х = 0 [0;1]0 .5671432904  9,1 cos x + 1/(x – 2) = 0 [0;1]0 .6964405997  10,2 cos x – 1/(x – 2) = 0 [–2;–1] -1.834627945  11,3 x3 – x2 + 3 = 0 [–2;–1] -1.174559410  12,4  lnx + x = 0 [0.4;1] 0.5671432904  13,5 x3 + x + 3 = 0 [–2;–1] -1.213411663  14,6 lgx + x = 0 [0.2;1]0 .5671432904  15,7 x2 – cos x = 0 [–0.8;–0.7]0 .8241323123!  16,8 x3 + 3x2 – 3 = 0 [–3;–2.2] -2.532088886  17,1 x2 – cos x = 0 [0.7;0.8] 0.8241323123!  18,2 x3 – 3x – 1 = 0 [–2;–1] -1.532088886  19,3 cos(x – 1.1) – 3x + 2 = 0 [0.9;1.1] 0.9982768880  20,4 x2 + sin2x – 2 = 0 [–1.5;–1.4] -1.478009152  21,5 x3 + 6x2 + 9x + 1 = 0 [–1;0] -0.1206147584  22,6 4x2 – cos x – 4= 0 [1;1.2] 1.059408769  23,7 2x3 + 2x – 1 = 0 [0;1]0 .4238537991  24,8 x3 – 3x2 + 1 = 0 [–1;0] -0.5320888862  25,1 x3 + x2 + 3 = 0 [–2;–1] -1.863706528   3. Блок-схема алгоритму програми.
 4. Список ідентифікаторів констант, змінних, процедур і функцій, використаних в програмі, та їх пояснення. a,b,c-змінні яким присвоюється значення інтервалу та похибки відповідно. fx,fxx- змінні яким присвоюється значення функцій. xn,x-аргументи функцій. Writeln, readln-процедури вводу/виводу. 5. Остаточно відлагоджений текст програми. program KMDIP_7v_metod_stefensona; var a,b,c,fx,d,fxx,xn,x:real; begin writeln('a=,b=,c='); readln(a,b,c); x:=a; repeat begin fx:=x*x*x+x*x-3; fxx:=(x+fx)*(x+fx)*(x+fx)+sqr(x+fx)-3; xn:=x-fx*fx/(fxx-fx); d:=xn-x; x:=xn; end; until(abs(d)<c); writeln('x=',xn); readln; end. 6.Результати роботи програми. Turbo Pascal Version 7.1 Copyright (c) 1983,97 Borland International a=,b=,c= 1 2 0.0001 x= 1.1745594278E+00