Міністерство освіти і науки України Відкритий міжнародний університет розвитку людини «Україна» Івано-Франківська філія Розрахунково-графічна робота З дисципліни Програмування алгоритмів цифрової обробки сигналів та зображень 1. Спектральний аналіз та швидке перетворення Фур’є В математиці окрім статечних рядів широко використовується розкладання періодичних функцій в ряди Фур’є. У Maple не існує спеціального пакету для побудови подібного розкладання функцій. Проте, враховуючи, що всі необхідні коефіцієнти ряду Фур’є функції представляються через інтеграли від твору розкладаної функції на тригонометричні функції синуса і косинуса різної періодичності, розробити процедуру розкладання функції в ряд Фур’є порівняно легко. Нагадаємо необхідні формули. Рядом Фур’є періодичної з періодом 2/ функції f(x) називається тригонометричний ряд вигляду
у якому коефіцієнти обчислюються по наступних формулах:


Для зручності роботи розробимо процедуру розкладання в ряд Фур’є виразу алгебри. Її параметрами будуть сам вираз, ім'я незалежної змінної, по якій вираз розкладається в ряд Фур’є, значення напівперіоду / і кількість утримуваних членів п. Процедура достатня проста— командою sum про обчислюються кінцеві суми, що входять у вираз ряду Фур’є функції, її текст представлений в прикладі. У процедурі fourieseries () розкладана в ряд функція задається у вигляді виразу алгебри f, її незалежна змінна задається другим параметром х, який повинен бути не обчисленим ім'ям. Параметр 1, визначаючий половину періоду функції, можна задавати як у вигляді конкретного числа, так і у формі константи, наприклад, pi, або невизначеної величини, що дозволяє одержувати розкладання функції в ряд Фур’є при довільному невідомому періоді 21. Останній параметр п визначає кількість утримуваних членів у ряді Фур’є і не може бути негативним. Якщо функція задається у вигляді процедури, то в цьому випадку наша процедура розкладання в ряд Фур’є небагато зміниться — перший параметр повинен бути типу procedure, а в тілі процедури замість виразу f слід використовувати звернення до функції f (х) Задача Розкласти в ряд Фур’є періодичну функцію f(x) з періодом 2я, яка визначена за функцією
Розв’язання . Перш за все давайте побудуємо графік цієї шматково-безперервної функції:
Для обчислення семи членів ряду Фур’є заданої функції звернемося до процедурі


Тут нам довелося обчислити вираз f при i=Pi, а також скористатися командою normal () для скорочення одержуваного в результаті обчислення процедурою виразу для ряду Фур’є. Зверніть увагу, оскільки функція непарна, то її ряд Фур’є не містить членів з косинусами. 2.Дискретне перетворення лапласа і Z-перетворення Зручним для розв’язку різнецевих рівннянь є операційним методом, який базується на дискретному перетворені Лапласа, яке представляє собою узагальнення звичайного перетвореняЛапласа на дискретні функції Звичайне пряме перетворення:

Імпульсний сигнал на виході найпростішого імпульсного елемента можна представити у вигляді промодульованої послідовності фнкції:
Таким чином кожна ординатадискретної функції представляє собою функцію, площа якої визначається функцією X(t). Тільки в цьому випадку існує формальна відміністьміж функціями x*(t) і х(пТ), але без цього неможливо ввести поняття зв'язані із зображенням дискретних сигналів. Зображення сигналу x*(t) взначенні дискретного перетворення Лапласа визначається за формою;
Як видно з цієї формули, дискретне перетворення встановлює функціональний звязок між дискретними формулами і їх зображеннями. Не важко помітити, аналогію між виразами 1,1 і 1,3. Інтеграла з нескінченними межами не відповідає сума, неперервному аргументу t-дискретний аргумент, а неперервному значенню функції x*(t)~ дискретна функція По суті вираз 1,3 є сума зображень усіх функцій, які входять в формулу 1,2. Під знак суми потрібно ставити відповідну дискретну функцію х(пТ). Дуже зручним на практиці виявилося Z-перетворення, яке отримуємо, як дискретне перетворення Лапласа Z=ept

Тут нам довелося обчислити вираз f при i=Pi, а також скористатися командою normal () для скорочення одержуваного в результаті обчислення процедурою виразу для ряду Фур’є. Зверніть увагу, оскільки функція непарна, то її ряд Фур’є не містить членів з косинусами. Практичні завдання 1).Визначити період квантування в системі БЦК, якщо:
(за принципом Джурі)
2). Визначити період квантування в системі БЦК, якщо:
3). Визначити період квантування в системі БЦК, якщо: