Міністерство освіти та науки України Національний університет «Львівська політехніка» Кафедра «Телекомунікацій» / Практична робота 1 з дисципліни „Основи теорії систем”. Дослідження розв’язків лінійної системи другого порядку. Роботу Львів – 2017 Теоретичний вступ Досліджуємо лінійну систему другого порядку з диференціальним рівнянням d2y(t)/dt2+δ∙dy(t)/dt+ω2∙y(t)=ω2∙u(t) (1) та початковими умовами y(0)=y0; dy(0)/dt=y10. Відповідне однорідне диференціальне рівняння: d2y(t)/dt2+δ∙dy(t)/dt+ω2∙y(t)=0; y(0)=y0; dy(0)/dt=y10. (2) Якщо коефіцієнти δ, ω – константи, то загальний розв’язок рівняння (1) складається із загального розв’язку однорідного рівняння (2) та частинного розв’язку неоднорідного рівняння (1): y(t)=a1exp(p1t)+a2exp(p2t)+u(t). (3) Коефіцієнти a1 і a2 є сумісними розв’язками рівнянь початкових умов однорідного диференціального рівняння a1+a2=y0; a1p1+a2p2=y10: a1=(y10–y0 p2)/(p1–p2); a2=y0(1+p2/(p1–p2))–y10/(p1–p2). Характеристичне рівняння утворюється формальними замінами у рівнянні (2) d/dt → p; d2/dt2 → p2; та скорочення y(t): p2+δp+ω2=0. (4) Показники експонент у (3) p1 і p2 є розв’язками характеристичного рівняння (4):
. (5) Є два суттєво відмінні види розв’язків лінійної системи другого порядку: коливний та аперіодичний. Коливний розв’язок є тоді, коли p1 і p2 комплексні спряжені, тобто підкореневий вираз у формулі (5) від’ємний: δ/2<ω. Аперіодичні розв’язки є при δ/2>ω. Граничному випадку відповідає рівність: δ/2=ω. Розв’язки залежать також від вхідного сигналу u(t) та від початкових умов. Лінійні системи зручно записувати за допомогою передавальних функцій (transfer functions), які утворюються формальною заміною оператора диференціювання у рівнянні системи (1) символом p (d/dt → p, d2/dt2 → p2): (p2+δp+ω2) y(t)=ω2 u(t). Звідси дробово-раціональна передавальна функція формально є відношенням вихідного сигналу до вхідного W(p)=y(t)/u(t)=ω2/(p2+δp+ω2). (6) Текст програми дослідження розв’язків системи другого порядку на мові MATLAB наведено далі. clear; delta=8; omega=2*pi*5; t=[0:0.001:1.5]; u=1-exp(-t/0.001)+0.0*(rand(size(t))-0.5); num=[0 0 omega^2]; den=[1 delta omega^2]; y=lsim(num, den, u, t); plot(t, u, 'r', t, y, 'b'); Графіки числових експериментів / Графік коливного розв’язку / Графік аперіодичного розв’язку / Графік граничного розв’язку / Графік вхідного сигналу з шумовою добавкою 0.01 Висновок: Під час виконання практичної роботи я досліджував розв’язки лінійного диференціального рівняння 2-го порядку, побудував графіки для трьох випадків, визначив вплив шумової добавки вхідного сигналу, а також знайшов значення шумового коефіцієнту при якому шум помітний на графіку.