Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Дослідження розв’язків лінійної системи другого порядку
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Кафедра Телекомунікацій
Інформація про роботу
Рік:
2019
Тип роботи:
Практична робота
Предмет:
Основи теорії систем
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти та науки України
Національний університет «Львівська політехніка» Кафедра «Телекомунікацій»
/
Практична робота 1
з дисципліни „Основи теорії систем”.
Дослідження розв’язків лінійної системи другого порядку.
Роботу
Львів – 2017
Теоретичний вступ Досліджуємо лінійну систему другого порядку з диференціальним рівнянням
d2y(t)/dt2+δ∙dy(t)/dt+ω2∙y(t)=ω2∙u(t) (1)
та початковими умовами y(0)=y0; dy(0)/dt=y10.
Відповідне однорідне диференціальне рівняння:
d2y(t)/dt2+δ∙dy(t)/dt+ω2∙y(t)=0; y(0)=y0; dy(0)/dt=y10. (2)
Якщо коефіцієнти δ, ω – константи, то загальний розв’язок рівняння (1) складається із загального розв’язку однорідного рівняння (2) та частинного розв’язку неоднорідного рівняння (1):
y(t)=a1exp(p1t)+a2exp(p2t)+u(t). (3)
Коефіцієнти a1 і a2 є сумісними розв’язками рівнянь початкових умов однорідного диференціального рівняння a1+a2=y0; a1p1+a2p2=y10:
a1=(y10–y0 p2)/(p1–p2); a2=y0(1+p2/(p1–p2))–y10/(p1–p2).
Характеристичне рівняння утворюється формальними замінами у рівнянні (2) d/dt → p; d2/dt2 → p2; та скорочення y(t):
p2+δp+ω2=0. (4)
Показники експонент у (3) p1 і p2 є розв’язками характеристичного рівняння (4):
. (5)
Є два суттєво відмінні види розв’язків лінійної системи другого порядку: коливний та аперіодичний. Коливний розв’язок є тоді, коли p1 і p2 комплексні спряжені, тобто підкореневий вираз у формулі (5) від’ємний: δ/2<ω. Аперіодичні розв’язки є при δ/2>ω. Граничному випадку відповідає рівність: δ/2=ω.
Розв’язки залежать також від вхідного сигналу u(t) та від початкових умов.
Лінійні системи зручно записувати за допомогою передавальних функцій (transfer functions), які утворюються формальною заміною оператора диференціювання у рівнянні системи (1) символом p (d/dt → p, d2/dt2 → p2):
(p2+δp+ω2) y(t)=ω2 u(t).
Звідси дробово-раціональна передавальна функція формально є відношенням вихідного сигналу до вхідного
W(p)=y(t)/u(t)=ω2/(p2+δp+ω2). (6)
Текст програми дослідження розв’язків системи другого порядку на мові MATLAB наведено далі.
clear;
delta=8; omega=2*pi*5;
t=[0:0.001:1.5]; u=1-exp(-t/0.001)+0.0*(rand(size(t))-0.5);
num=[0 0 omega^2]; den=[1 delta omega^2];
y=lsim(num, den, u, t);
plot(t, u, 'r', t, y, 'b');
Графіки числових експериментів
/
Графік коливного розв’язку
/
Графік аперіодичного розв’язку
/
Графік граничного розв’язку
/
Графік вхідного сигналу з шумовою добавкою 0.01
Висновок:
Під час виконання практичної роботи я досліджував розв’язки лінійного диференціального рівняння 2-го порядку, побудував графіки для трьох випадків, визначив вплив шумової добавки вхідного сигналу, а також знайшов значення шумового коефіцієнту при якому шум помітний на графіку.
20.05.2019 17:43
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора