Міністерство освіти і науки України Національний університет «Львівська політехніка» Кафедра інформаційних систем і технологій / Звіт до практичної роботи №1 З дисципліни: «Основи теорії систем» На тему: «Дослідження розв’язків лінійної системи другого порядку» Львів 2017 Теоретичні відомості Досліджуємо лінійну систему другого порядку з диференціальним рівнянням d2y(t)/dt2+δ∙dy(t)/dt+ω2∙y(t)=ω2∙u(t) (1) та початковими умовами y(0)=y0; dy(0)/dt=y10. Відповідне однорідне диференціальне рівняння: d2y(t)/dt2+δ∙dy(t)/dt+ω2∙y(t)=0; y(0)=y0; dy(0)/dt=y10. Якщо коефіцієнти δ, ω – константи, то загальний розв’язок рівняння (1) складається із загального розв’язку однорідного рівняння (2) та частинного розв’язку неоднорідного рівняння (1): y(t)=a1exp(p1t)+a2exp(p2t)+u(t). (3) Коефіцієнти a1 і a2 є сумісними розв’язками рівнянь початкових умов однорідного диференціального рівняння a1+a2=y0; a1p1+a2p2=y10: a1=(y10–y0 p2)/(p1–p2); a2=y0(1+p2/(p1–p2))–y10/(p1–p2). Характеристичне рівняння утворюється формальними замінами у рівнянні (2) d/dt → p; d2/dt2 → p2; та скорочення y(t): p2+δp+ω2=0. (4) Показники експонент у (3) p1 і p2 є розв’язками характеристичного рівняння (4):
. (5) Є два суттєво відмінні види розв’язків лінійної системи другого порядку: коливний та аперіодичний. Коливний розв’язок є тоді, коли p1 і p2 комплексні спряжені, тобто підкореневий вираз у формулі (5) від’ємний: δ/2<ω. Аперіодичні розв’язки є при δ/2>ω. Граничному випадку відповідає рівність: δ/2=ω. Розв’язки залежать також від вхідного сигналу u(t) та від початкових умов. Лінійні системи зручно записувати за допомогою передавальних функцій (transfer functions), які утворюються формальною заміною оператора диференціювання у рівнянні системи (1) символом p (d/dt → p, d2/dt2 → p2): (p2+δp+ω2) y(t)=ω2 u(t). Звідси дробово-раціональна передавальна функція формально є відношенням вихідного сигналу до вхідного W(p)=y(t)/u(t)=ω2/(p2+δp+ω2). (6) Звіт Спочатку в програмі MATHLAB задаю значення всіх параметрів, які потрібні для обчислення диференціального рівняння: delta=8; omega=2*pi*5; t=[0:0.001:1.5]; u=1-exp(-t/0.01)+0.0*(rand(size(t))-0.5); num=[0 0 omega^2]; den=[1 delta omega^2]; y=lsim(num,den,u,t); plot(t,u,t,y); / рис.1 Як ми бачимо, це коливний графік перехідного процесу. Спробуємо змінити значення δ та ω для отримання графіків аперіодичного та граничного процесів. Як вже сказано вище, для аперіодичного процесу треба мати δ/2>ω. При δ=40 та ω=2*pi*3 графік буде мати вигляд:/ рис.2 Тепер подивимось як буде виглядати графік для граничного процесу. Для цього дельта поділена на 2 має дорівнювати омега (δ/2=ω). Нехай, δ=12*pi*2, а ω=6*pi*2: / рис.3 На цьому графіку видно вплив шуму на вихідний сигнал. За це відповідає певний параметр, змінюючи який і можна прослідкувати як поводить себе шум. delta=8; omega=2*pi*5; t=[0:0.001:1.5]; u=1-exp(-t/0.01)+0.3*(rand(size(t))-0.5); num=[0 0 omega^2]; den=[1 delta omega^2]; y=lsim(num,den,u,t); plot(t,u,t,y); / рис.4 Висновок В ході даної лабораторної роботи я дослідила графіки перехідних процесів для коливного (див рис.1), аперіодичного(див рис.2) та граничного( див рис.3) випадків. Також за допомогою MATLAB я дослідила вплив шуму на вихідний сигнал. Наявність шуму дає певне відхилення кривої відносно прямої. Рівень шуму залежить від множника, чим більше значення множника, тим діапазон шуму буде більший. Для коливального процесу, чим більша різниця між дельтою та омегою, тим крива вихідного сигналу буде мати більшу амплітуду, а для аперіодичного навпаки - крива вихідного сигналу наближається до нуля і набуває прямолінійного вигляду.