Міністерство освіти і науки України Національний університет «Львівська політехніка» кафедра САПР
Звіт до практичної роботи №2 на тему: «КООРДИНАТНІ СИСТЕМИ. КООРДИНАТНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ» Мета роботи Мета роботи – ознайомитись з координатними системами, які використовуються у геометричному моделюванні. Вивчити методи опису координат, набути практичних навиків переводу координат з однієї системи в іншу. Теоретичні відомості Полярна система координат визначається заданням деякої точки О, яка називається полюсом, променя ОА, що виходить з цієї точки, який називається полярною віссю, та масштабу для вимірювання довжин. Крім цього, при заданні полярної системи повинно бути вказано, які повороти навколо точки О вважаються додатніми (на кресленнях додатніми вважаються повороти проти годинникової стрілки). Полярними координатами довільної точки М (відносно заданої системи) називаються числа ρ = OM та ϕ = ∠AOM . Кут ϕ при цьому слід розуміти як це прийнято у тригонометрії. Число ρ називається першою координатою, чи полярним радіусом, число ϕ – другою координатою, чи полярним кутом точки М (ϕ називають також амплітудою). Величина ОМ позначає довжину відрізку, що приймається як у елементарній геометрії (тобто абсолютно, без врахування знаку). Перехід від прямокутної декартової системи координат до полярної Якщо полюс полярної системи координат співпадає з початком декартових прямокутних координат, а полярна вісь співпадає з додатною піввіссю абсцис, то перехід від полярних координат довільної точки до декартових координат тої самої точки здійснюється за формулами. Залежність між полярними координатами (ρ,ϕ) точки та прямокутними декартовими координатами (x, y) тої самої точки, якщо полюс прийнятий за початок координат, а полярна вісь за вісь абсцис виражається формулами: x = ρ*cosϕ , y = ρ*sinϕ . Практичне завдання 1. Ознайомитись з координатними системами, що застосовуються у геометричному моделюванні та комп’ютерній графіці. 2. Отримати індивідуальне завдання (див. Додаток). 3. Розв’язати індивідуальне завдання згідно формул представлений у методичних вказівках. 4. Розробити програмну реалізацію індивідуального завдання 5. Здійснити аналіз результатів та сформулювати висновки по роботі. 6. Оформити результати по роботі ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ Варіант 30 а) Визначити полярні координати точки, що симетрична відносно полярної вісі точки E(3;−2) б) Задані точки: А(0,0), В(+5,-3). Визначити координати цих точок при умові, що одиниця довжини буде взята вчетверо більше початкової. в) Полюс полярної системи координат співпадає з початком декартових прямокутних координат, а полярна вісь направлена по бісектрисі першого координатного кута. Задані декартові прямокутні координати точки D(− 3;1) . Визначити полярні координати цієї точки. г) Перевести координати точки Р з однорідного представлення у вигляді: (6, 4, 6, 4) в систему афінних координат. ґ) Задані дві точки : А(3; -5) та В(2;-9). Початок координат перенесено в точку В, а вісі координат повернуті так, що додатній напрямок нової вісі абсцис співпадає з напрямком відрізка AB . Вивести формули перетворення координат. Виконання роботи а) Визначити полярні координати точки, що симетрична відносно полярної вісі точки D (3; -2); Полярними координатами точки D будуть такі координати: -2/3,14=-0,64
D’ А O D (3;-0.64) Полярні координати симетричної точки D’ будуть (3, 2,34) б) Задані точки: А(0, 0), В(+5, -3) . Визначити координати цих точок при умові, що одиниця довжини буде взята вчетверо більше початкової. При умові, що одиниця довжини буде збільшена у 4 рази, то координати точок будуть А´(0, 0), В´(20, -12). A’=A 1 X -1 B B’ Y в) Полюс полярної системи координат співпадає з початком декартових прямокутних координат, а полярна вісь направлена по бісектрисі першого координатного кута. Задані декартові прямокутні координати точки D(− 3;1) . Визначити полярні координати цієї точки.
Розглянемо трикутник АОМ: y АО=3; АМ=1; Отже ОМ=



x
Отже нові координати точки М(3,16; 1,5). г) Перевести координати точки Р з однорідного представлення у вигляді: (6, 4, 6, 4) в систему афінних координат.
x = 6/4=1.5; y = 4/4=1; z = 6/4=1.5. ґ) Задані дві точки : А(3; -5) та В(2;-9). Початок координат перенесено в точку В, а вісі координат повернуті так, що додатній напрямок нової вісі абсцис співпадає з напрямком відрізка AB . Вивести формули перетворення координат. x = x'*cosα − y'*sinα + a , y = x'*sinα + y'*cosα + b . 1 -1 А також можна визначити нові координати за допомогою малюнку. Оскільки новий центр став у точці В, то координати точки В будуть (0, 0). А координати точки А можна визначити, визначивши довжину відрізка АВ. АВ=
Оскільки напрямок АВ співпадає з напрямком осі абсцис, то значення 4,12 буде координатою по цій осі, а по осі ординат буде мати значення 0.
Кут
знайдемо з
:
;
Отже нові координати точок: А (-4,12;0), В (0, 0). Тому формули перетворення координат запишуться так: Для точки А: x = -4,12*cos104о − 0*sin104о + 2, y = -4,12*sin104о + 0*cos104о - 9 . Для точки В: x = 0*cos104о − 0*sin104о + 2, y = 0*sin104о + 0*cos104о - 9 . ВИСНОВОК На цій практичній роботі, я ознайомилася з координатними системами, які використовуються у геометричному моделюванні. Вивчила методи опису координат, набула практичних навиків переводу координат з однієї системи в іншу. Зробила своє індивідуальне завдання, навела відповідні обчислення та малюнки.