ВАРІАНТ______01 МАП 1.1 Знайти границі функцій:
1.1_б)
1.1_в)
1.1_г)

Застосуємо правило Лопіталя:
1.1_д)

1.1_е)_

1.2 дослідити на неперервність функцію:
функція невизначена при
та
з’ясуємо характер розриву:

тоді:
точка усувного розриву;
отже:
точка розриву другого роду.
«Підозрілою» на розрив є точка, ліворуч та праворуч від якої функція задана різними аналітичними виразами, тобто точка

але в точці
функція
має значення
Отже,
точка неперервності, а функція
є неперервна. 1.3 Знайти похідні:

логарифмуємо дану функцію:
МАП_01 тоді:
отже,

1.4 Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої:
знайдемо

тоді:
Отже рівняння дотичної:
рівняння нормалі:
1.5 Для функції
записати формулу Тейлора (Маклорена) другого порядку в околі точки
із залишковим членом у формі Лагранжа, якщо:
Диференціал другого порядку:
тоді:
отже диференціал другого порядку:
Задана функція в околі точки
визначена і неперервна разом зі своїми похідними, тому її можна розкласти за формулою Тейлора:
де
- залишковий член у формі Лагранжа. Знайдемо

Тоді:
Отже, запишемо формулу Тейлора:
1.6 Дослідити функції і побудувати їх графіки:
Область визначення функції
; Функція ні парна, ні непарна; неперіодична. Знайдемо нулі функції: При
при
Вертикальних асимптот функція немає. Знайдемо похилу (горизонтальну) асимптоту у=Kх+b.
отже похилих асимптот функція теж немає Знайдемо похідну функції:
тоді якщо:
то
(функція зростає); якщо:
то
(функція спадає) отже,
- точка максимуму:

- точка мінімуму:
Знайдемо похідну другого порядку:
абсциса «підозрілої» на перегин точки; якщо:
то
(графік опуклий); якщо:
то
(графік вгнутий) Отже
точка перегину,
За результатами дослідження будуємо графік: 1.6_б)_
МАП_01 Область визначення функції
; Функція ні парна, ні непарна; неперіодична. Знайдемо нулі функції:
отже,
Знайдемо вертикальні асимптоти:
отже вертикальних асимптот функція немає; Знайдемо похилу (горизонтальну) асимптоту у=Kх+b.
отже похилих асимптот функція теж немає Знайдемо похідну функції:
але точка
не входить в область визначення функції; тоді якщо:
то
(функція спадає); якщо:
то
(функція зростає) отже,
- точка мінімуму:
Знайдемо похідну другого порядку:
при:
то
(функція опукла); при:
то
(функція ввігнута); Отже
точка перегину, тоді
За результатами дослідження будуємо графік: 1.7_Розвязати задачі на застосування похідної: а)_Колода завдовжки 20м має форму зрізаного конуса, діаметри основ якого відповідно 2 і 1м Потрібно вирізати з колоди балку з квадратним поперечним перерізом так; щоб вісь балки збігалась з віссю колоди, а об’єм балки був найбільшим. Якими повинні бути розміри балки?
де
діагональ основи балки; Потрібно знайти
а ще краще


отже:

Отже:
тоді сторона балки:
абсциса балки:
ВІДПОВІДЬ:
1.7_б)_Знайти найменший за площею еліпс, що описаний навколо заданого трикутника зі сторонами
(площа еліпса з півосями а і b дорівнює
)
1.7_б)_
МАП_01 отже, підставимо отримане:


отже:
розміри еліпса:
1.7_в)_(………..немає в наявності розв’язаного………)